2.2 平面波导中的模间色散和波导色散
A. 波导色散图和群速度
一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。从0 导最大值的每一个m 对应于一个不同的解和一个可能的传播常数βm 。可以看到，即使是单色光波入射，每种模式都以一个不同的传播常数传播。图 2.7 的实验给人们留下的印象是，轴线光波的反射次数最少，因此到达端面的速度更快（更短）于高阶模式光波。高阶模式光波沿着波导方向z 字形曲折传播，传播路径更长。然而，这种观点有两个严重的误解。第一，波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度V g。第二，高阶模式渗透进入包层较多，包层折射率较低，因此光波传播较快。
从第一章可以知道，群速度Vg由dω/d决定，其中ω是频率，β是传播常数。对每一一个模式m，模式角θ可以明显由式（2.1.3）的波导条件求取，即取决于光波波长（也是频率ω）和波导特性（n 1,n2,a）。因此，θ=务
(ω) , βm=kιSin m= βm ( ω)是关于ω 的函数，给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。可以看到，即使折射率为常数
(与频率或波长无关) ，一个给定的模式群速度v g 仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。
根据式( 2.1.3)的波导条件，在给定折射率
(nι和n2)和波导尺寸(a)的条件下，可以计算出每个m和ω的βm值，并可以得到波导的ω 与βm 的关系图，即色散图，如图 2.10 所示。在任何频率ω 处的切线dω /d mβ 就是群速度V g O所有允许的传输模式都被包含在斜率c/n1 和c/n2 的两条线之间。截止频率3cutoff对应于当V= π /2时的截止条件
(λ =λ)c当ω >ωutoff时，波导中不只存在一个模式。从图 2.10 的实验可以直接看出两点：首先，相同频率的不同模式的群速度不同；其次，一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。
因此，群速度不仅与频率有关，还与波导特性参数有关。其实，可以把V值和群速度联系起来，下面会讨
论。
可以用斜率 d
ω /d β乍
为ω的一个
函数来计算
三个不同模
式的群速度
V g,如图2.11所示。注意，当模式尚未被激发时，V g刚开始很大，数值接近于c/n（包层中的相速度）；当模式被激发时，V g降低并小于c/n i （纤芯层相速度），并最终在更高的频率下到达c/n i。
图2.10平板波导中不同Tem模式的ω相对于β的色散示意图。ωcutoff对应于V= ∏2。在任何频率ω处的群速度V g等于ω相对于β 的曲线在该频率点的斜率
图2.11平面介质波导中三个模式的群速度
V g与角频率的关系图。该平面介质波导中，
n1=1.455,n2=1.440,a=10 μm°m=O 对应着TE G 模式等。
B. 模间色散
多模传播过程中，即光波频率大于ωcutoff
在最低模式（m=0时）具有最慢的群速度，接近c∕nι,而在最高模式具有最快的群速度。其原因是，高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。最低模式基本上包含在纤芯层内。因此，各模式在整个光纤中传输的时间不同，这种现象被称为模态色散或模间色散。模间色散的一个直接后果就是：如果
一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中，该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。这些模式将以不同的群速度传输。在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽，如图 2.7所示。很显然，只允许一种模式（m=0的模式）传播的单模波导中不存在模间色散。
为了评估沿着波导传播信号的模间色散，需
要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间，这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。如果Δτ表示最高与最低模
式通过距离L的传播时间差值，则模间色散
L L
定义为Δι=（模间色散）
VgmIn VgmaX
（2.2.1 ）式中，V gmin是最低模式对应的最慢群速度，V gmaX是最高模式对应的最快群速度。
从图2.10和图2.11可以明显看出，当ω >
ωtoff时，最低模式（m=0）的群速度为
V gmin=C/n1。最快的传输对应着最高模式，它的群速度大约为c/n2。因此，近似有
nl-n2
Δτ /L ≈（2.2.2）仅考虑两种极端的模式（最低模式和最咼模式），而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/山?c∕n2范围之外。另外，式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。取nι=1.480 （纤芯层）和
n2=1.460 （包层），可以发现Δτ /L 7≈60-11s m-1或者6.7ns.km-1。一般情况下，由于模间耦合”即不同传播模式能量交换，模间色散没有预计的那么高。
式子（2.2.2中展宽）分布Δτ是指展宽输出光脉冲两个极值的时间差值。在光电子学中，通常对小于全宽度的半高强度点的分布Δτ 1感兴趣。Δτ 1/2大小取决于输出光脉冲的瞬间形状。但当存在许多模式时，可以取一阶近似，有Δτ 1/2 ≈Δτ
C. 模
内色 散
图 2.10 和图
2.11显示了最低
模式（m=0）时的
群速度取 决于频
率ω或波长λ
因此，即使在波导处 于单模工作的情况下， 只需要激发源具有有 限的光谱，光波就含有不同的频率（即事实 上没有完美的单色光波源） 。由图 2.11 可以 明显看出， 这些频率光波以不同的群速度传 播，其到达波导输出端面的时间不同。光波 波长越大（频率越低） ，电场渗入包层越多， 如图 2.12 所示。因此，光波的相速度越大， 其渗入包层的能量越多。即便对于相同模 式，光波波长越大，传播越快。这种现象称 为波导色散， 这是因为它来源于介电结构的 波导特性，而和与折射率相关的频率（或者 光波波长）无关。由于光波波长增大时， V 值减小是波导的一个特性， 故色散也可以描 述为是光波波长对 V 值的依赖关系。 由于需 要结合输入光谱并由图 2.10 所示的色散图 来计算群色散，因此没有计算波导色散的简 便方法。
α?
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