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2020年湖北省武汉市青山区中考数学备考复习试卷(二) 解析版

2020年湖北省武汉市青山区中考数学备考复习试卷(二)

一、选择题

1.(4分)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始6min内既出水又进水,在随后的4min内只出水不进水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则7min容器内的水量为()

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A.35L B.37.5L C.40L D.42.5L

2.(4分)对于任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互相不同,且都不为零,将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n),则F(468)的值为()

A.12B.14C.16D.18

3.(4分)如图,点C是半圆O的中点,AB是直径,CF⊥弦AD于点E,交AB于点F,若CE=1,EF=,则BF的长为()

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A.B.1C.D.

4.(4分)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:x﹣301

y44n

当n<0时,下列结论中一定正确的是(填序号即可).

①abc<0;

②当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小;

③a<﹣1;

④当n=﹣时,关于x的不等式ax2+(b+)x+c<0的解集为x<﹣3或x>1.

二、填空题

5.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D为△ABC外一点,且∠D=45°,过点A作AF∥BC交DC于点F,交BD于点E,若EF=,AE=2,则BC=.

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三、解答题

6.(8分)在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(5,3),C(1,5).仅用无刻度的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:(1)画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD(D在AB下方);

(2)连接CD交AB于点E,则∠ACE的度数为°;

(3)在直线AB下方找一个格点F,连接CF,使∠ACF=∠AEC,直接写出F点坐标为;

(4)根据上述作图,直接写出tan∠AEC的值为.

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7.(8分)已知,⊙O过矩形ABCD的顶点D,且与AB相切于点E,⊙O分别交BC,CD

于H,F,G三点.

(1)如图1,求证:BE﹣AE=CG;

(2)如图2,连接DF,DE.若AE=3,AD=9,tan∠EDF=,求FC的值.

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8.(10分)某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售,因为杨梅不耐储存,在运输储存过程损耗率为.为了得到日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:

销售价格x(元/千克)2025303540

日销售量y(千克)300225150750

(1)这批杨梅的实际成本为元/千克,每千克定价为元时,这批杨梅可获得5000元利润;

(2)①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式.

②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格,才能使日销售利润w1最大?

(3)该水果经销商参与电商平台助农活动,开展网上直销,可以完全避免运输储存过程中的损耗成本,但每销售1千克杨梅需支出a元(a>0)的相关费用,销售量与销售价格之间关系不变.当25≤x≤30,该水果经销商日获利w2的最大值为1200元,求a的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用)

9.(10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠B=n,CD⊥AB于点D.(1)如图1,求证:=n2;

(2)如图2,AF⊥CE于点G,交BC于点F,若n=,=,求的值;

(3)如图3,A为CM中点,MD交BC于点N,若MC=3CN,则n=.

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10.(12分)已知,直线l:y=kx+2与y轴交于点M,且与抛物线C:y=x2交于A,B两点(A在B的右边).

(1)如图1,求S△AOB(用含k的式子表示);

(2)如图2,当k=时,过O点的另一条直线与直线y=kx+2交于点Q(Q在线段AB 上),与抛物线C交于点N.若sin∠OQM=,求点N的坐标;

(3)如图3,作抛物线y=x2的任意一条切线(不含x轴)与直线y=2交于点N1,与直线y=﹣2交于点N2.求MN22﹣MN12的值.

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参考答案与试题解析

一、选择题

1.(4分)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始6min内既出水又进水,在随后的4min内只出水不进水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则7min容器内的水量为()

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A.35L B.37.5L C.40L D.42.5L

【分析】根据题意和函数图象中的数据,可以求得当6≤x≤10时,y与x的函数关系式,然后将x=7代入函数解析式,得到相应的y的值,即7min容器内的水量,本题得以解决.

【解答】解:当6≤x≤10时,设y与x的函数关系式为y=kx+b,

∵点(6,50),(10,0)在此函数图象上,

∴,

解得,,

即当6≤x≤10时,y与x的函数关系式为y=﹣12.5x+125,

当x=7时,y=﹣12.5×7+125=37.5,

即7min容器内的水量为37.5L,

故选:B.

2.(4分)对于任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互相不同,且都不为零,将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n),则F(468)的值为()

A.12B.14C.16D.18

【分析】按照题目规则,分别调换数字,求出三个数字,求和后除以111,即可求解.【解答】解:n=468,对调百位与十位上的数字得到648,对调百位与个位上的数字得到864,对调十位与个位上的数字得到486,

这三个新三位数的和为648+864+486=1998,

1998÷111=18,

所以F(468)=18.

故选:D.

3.(4分)如图,点C是半圆O的中点,AB是直径,CF⊥弦AD于点E,交AB于点F,若CE=1,EF=,则BF的长为()

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A.B.1C.D.

【分析】如图,连接AC,BC,OC,过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H,设OC交AD于J.利用全等三角形的性质证明CJ=BF,OJ=OF,设BF=CJ=x,OJ=OF=y,构建方程组解决问题即可.

【解答】解:如图,连接AC,BC,OC,过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H,设OC 交AD于J.

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∵=,

∴AC=BC,OC⊥AB,

∵AB是直径,

∴ACB=90°,

∴∠ACJ=∠CBF=45°,

∵CF⊥AD,

∴∠ACF+∠CAJ=90°,∠ACF+∠BCF=90°,

∴∠CAJ=∠BCF,

∴△CAJ≌△BCF(ASA),

∴CJ=BF,AJ=CF=1+=,

∵OC=OB,

∴OJ=OF,设BF=CJ=x.OJ=OF=y,

∵∠AEC=∠H=90°,∠CAE=∠BCH,CA=CB,∴△ACE≌△CBH(AAS),

∴EC=BH=1,

∵∠ECJ=∠FCO,∠CEJ=∠COF=90°,

∴△CEJ∽△COF,

∴==,

∴==,

∴EJ=,

∵BF=CJ,∠H=∠CEJ,∠CJE=∠BFH,

∴△BHF≌△CEJ(AAS),

∴FH=EJ=,

∵AE∥BH,

∴=,

∴=,

整理得,10x2+7xy﹣6y2=0,

解得x=y或x=﹣y(舍弃),

∴y=2x,

∴=,

解得x=或﹣(舍弃).

∴BF=,

故选:A.

4.(4分)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:x﹣301

y44n

当n<0时,下列结论中一定正确的是②③④(填序号即可).

①abc<0;

②当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小;

③a<﹣1;

④当n=﹣时,关于x的不等式ax2+(b+)x+c<0的解集为x<﹣3或x>1.

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=﹣1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.

【解答】解:①∵n<0,由图表中数据可得出二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x==﹣1.5,

∴a<0,b<0,

又∵x=0时,y=4,

∴c=4>0,

∴abc>0,故①错误;

②∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x=﹣1.5,

∴当x>﹣1时,y的值随x值的增大而减小,故②正确;

③∵c=3,

∴二次函数y=ax2+bx+4,

∵当x=1时,y=n<0,

∴a+b+4<0,

∵﹣=﹣1.5,

∴b=3a,

∴a+3a+4<0,

解答a<﹣1,故③正确;

④∵点(﹣3,4)和(1,﹣)是直线y=﹣x上的点,且二次函数y=ax2+bx+c经过

这两个点,

∴抛物线与直线y=﹣x的交点为(﹣3,4),(1,﹣),

∴关于x的不等式ax2+(b+)x+c<0的解集为x<﹣3或x>1,故④正确.

故答案为②③④.

二、填空题

5.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D为△ABC外一点,且∠D=45°,过点A作AF∥BC交DC于点F,交BD于点E,若EF=,AE=2,则BC=5.

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【分析】如图,连接AD,过点F作FH⊥BC于H.过点E作EK⊥AD于K,EJ⊥DF于J.设AB=BC=x.首先证明AD:DF=7:3,再证明∠DAF=∠CFH,根据tan∠CFH =tan∠DAF构建方程求解即可.

【解答】解:如图,连接AD,过点F作FH⊥BC于H.过点E作EK⊥AD于K,EJ⊥DF于J.设AB=BC=x.

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∵BA=BC,∠ABC=90°,

∴∠BAC=∠ACB=45°,

∵∠BDC=45°,

∴∠BAC=∠BDC,

∴A,B,C,D四点共圆,

∴∠ADB=∠ACB=45°,

∴∠ADE=∠EDF,

∵EK⊥AD,EJ⊥DF,

∴EK=EJ,

∵====,

∵AF∥BC,FH⊥BC,

∴∠BAF=∠ABC=∠FHB=90°,

∴四边形ABHF是矩形,

∴BH=AF=2+=,AB=FH=x,CH=x﹣,

∵∠FCH+∠HFC=90°,∠DAF+∠BAF+∠FCH=180°,

∴∠DAF=∠CFH,

∴tan∠CFH=tan∠DAF==,

∴=,

∴=,

解得x=5,

∴BC=5,

故答案为5.

三、解答题

6.(8分)在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(5,3),C(1,5).仅用无刻度的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:

(1)画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD(D在AB下方);

(2)连接CD交AB于点E,则∠ACE的度数为45°;

(3)在直线AB下方找一个格点F,连接CF,使∠ACF=∠AEC,直接写出F点坐标为(6,0);

(4)根据上述作图,直接写出tan∠AEC的值为3.

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【分析】(1)取格点M,N,连接AM,BN交于点D,点D即为所求.

(2)利用四点共圆的性质解决问题即可.

(3)取格点G,作直线CG可得点F.

(4)在Rt△ACF中,求出AF,AC即可解决问题.

【解答】解:(1)如图,△ABD即为所求.

(2)∠ACE=45°.

理由:∵∠ACB+∠ADB=180°,

∴A,C,B,D四点共圆,

∵DA=DB,

∴=,

∴∠ACD=∠BCD=45°.

故答案为45°.

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(3)点F即为所求.F(6,0).

理由:在△ACE和△ACG中,

∵∠CAE=∠CAG,∠ACE=∠AGC=45°,

∴∠AEC=∠ACG,

即∠ACF=∠AEC.

故答案为(6,0).

(4)在Rt∠ACF中,tan∠ACF===3,

∵∠ACF=∠AEC,

∴tan∠AEC=3.

故答案为3.

7.(8分)已知,⊙O过矩形ABCD的顶点D,且与AB相切于点E,⊙O分别交BC,CD 于H,F,G三点.

(1)如图1,求证:BE﹣AE=CG;

(2)如图2,连接DF,DE.若AE=3,AD=9,tan∠EDF=,求FC的值.

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【分析】(1)连接OE,延长EO与CD交于点M,证明四边形AEMD和四边形BEMC 都是矩形,得AE=DM,BE=CM,由垂径定理得DM=GM,再由线段和差便可得结论;

(2)连接EO,延长EO交⊙O于点N,交CD于点M,连接OD,EF,FN,过点N作

NH⊥BC,与BC的延长线交于点H,设⊙O的半径为r,在Rt△OMD中,由勾股定理列出r的方程求得半径r,再在Rt△EFN中,由勾股定理求得EF与FN,再证明△BEF∽△HFN,由相似三角形的性质求得结果.

【解答】解:(1)连接OE,延长EO与CD交于点M,

∵⊙O与AB相切于点E,

∴OE⊥AB,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB∥CD,

∴EM⊥CD,

∴∠EMD=∠EMC=90°,DM=GM,

∴四边形AEMD和四边形BEMC都是矩形,

∴AE=DM,BE=CM,

∵CM﹣CG=GM,

∴BE﹣AE=CG;

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(2)连接EO,延长EO交⊙O于点N,交CD于点M,连接OD,EF,FN,过点N作NH⊥BC,与BC的延长线交于点H,如图2,

由(1)知,四边形AEMD为矩形,

∴AE=DM=MG=3,AD=EM=9,

设⊙O的半径为r,则OD=r,OM=9﹣r,

∵OD2﹣OM2=DM2,

∴r2﹣(9﹣r)2=32,

解得,r=5,

∴BH=EN=2r=10,

∴CH=BH﹣BC=BH﹣AD=1,

∵EN为⊙O的直径,

∴∠EFN=90°,

∵∠ENF=∠EDF,tan∠EDF=,

∴tan∠ENF=,

设EF=4x,则FN=3x,

∵EF2+FN2=EN2,

∴16x2+9x2=100,

解得,x=2,或x=﹣2(舍),

∴EF=8,FN=6,

设CF=y,BE=HN=z,则BF=9﹣y,FH=y+1,

∵∠EFN=90°,∠B=∠H=90°,

∴∠BFE+∠HFN=∠BFE+∠BEF=90°,

∴∠BEF=∠HFN,

∴△BEF∽△HFN,

∴,即,

解得,y=,

即CF=.

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8.(10分)某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售,因为杨梅不耐储存,在运输储存过程损耗率为.为了得到日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:

销售价格x(元/千克)2025303540

日销售量y(千克)300225150750

(1)这批杨梅的实际成本为24元/千克,每千克定价为30元时,这批杨梅可获得5000元利润;

(2)①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式.

②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格,才能使日销售利润w1最大?(3)该水果经销商参与电商平台助农活动,开展网上直销,可以完全避免运输储存过程中的损耗成本,但每销售1千克杨梅需支出a元(a>0)的相关费用,销售量与销售价格之间关系不变.当25≤x≤30,该水果经销商日获利w2的最大值为1200元,求a的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用)

【分析】(1)由题意得:成本价为20÷(1﹣)=24(元),设当定价为x元/千克时获利为5000元,则1000×(1﹣)(x﹣24)=5000,即可求解;

(2)①假设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(20,300)、(25,225)代入上式即可求解,最后把其它点代入验证即可;

②由题意得:w1=y(x﹣24)=(﹣15x+600)(x﹣24)=﹣15(x﹣40)(x﹣24),求函数的最大值即可;

(3)由题意得:w2=y(x﹣20﹣a),函数的对称轴为x=30+a>30,故当25≤x≤30时,在x=30时,w2取得最大值为1200,进而求解.

【解答】解:(1)由题意得:成本价为20÷(1﹣)=24(元),

设当定价为x元/千克时获利为5000元,则1000×(1﹣)(x﹣24)=5000,

解得x=30(元/千克),

故答案为24,30;

(2)①假设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,

将点(20,300)、(25,225)代入上式得,解得,

故函数的表达式为y=﹣15x+600,

把其它点代入验证,表达式也成立,

故函数的表达式为y=﹣15x+600;

②由题意得:w1=y(x﹣24)=(﹣15x+600)(x﹣24)=﹣15(x﹣40)(x﹣24),

∵﹣15<0,故函数w1有最大值,当x=(40+24)=32(元/千克)时,w1的最大值为960(元),

即销售价格为32元/千克时,日销售利润w1最大值为960元;

(3)由题意得:w2=y(x﹣20﹣a)=﹣15(x﹣40)(x﹣20﹣a),

函数的对称轴为x=(40+20+a)=30+a>30,

故当25≤x≤30时,在x=30时,w2取得最大值为1200,

即﹣15(30﹣40)(30﹣20﹣a)=1200,

解得a=2.

9.(10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠B=n,CD⊥AB于点D.(1)如图1,求证:=n2;

(2)如图2,AF⊥CE于点G,交BC于点F,若n=,=,求的值;

(3)如图3,A为CM中点,MD交BC于点N,若MC=3CN,则n=1或.

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【分析】(1)证明△ADC∽△CDB,推出=,推出CD2=AD?DB,因为tan B==n,可得=n2,由此可得结论.

(2)如图2中,过点E作EH⊥BC于H.设FH=4x,设CF=4k,BE=5k,利用平行线分线段成比例定理国际关系在求出x与k的关系即可解决问题.

(3)如图3中,连接BM,过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T.设CD=x,AD=y.证明△MAD∽△BAM,推出∠AMD=∠ABM,推出tan∠AMD=tan∠ABM==,由此构建关系式,求出x与y的关系即可解决问题.

【解答】(1)证明:如图1中,

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∵∠ACB=90°,CD⊥AB,

∴∠ADC=∠CDB=90°,

∴∠ACD+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°,

∴∠ACD=∠B,

∴△ADC∽△CDB,

∴=,

∴CD2=AD?DB,

∵tan B==n,

∴=n2,

∴=n2,

∴=n2.

(2)解:如图2中,过点E作EH⊥BC于H.设FH=4x,

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∵=,

∴可以假设CF=4k,BE=5k,

∵tan B==,

∴EH=3k,BH=4k,

∴BC=CF+BH+FH=8k+4x=4(2k+x),

∵tan B==,

∴AC=3(2k+x),

∵CE⊥AF,

∴∠AGC=90°,

∵∠GCF+∠GCA=90°,∠GCA+∠CAG=90°,

∴∠CAG=∠GCF,

∴tan∠CAF=tan∠ECH,

∴=,

∴=,

∴x=k,

∴CH=4k+k=k,

∴tan∠ECH=tan∠CAF==,

由(1)可知,=(tan∠CAF)2=.

(3)如图3中,连接BM,过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T.设CD=x,AD=y.

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∵∠CAD=∠BAC,∠ACD=∠ABC,

∴△ACD∽△ABC,

∴=,

∴AC2=AD?AB,

∵AC=AM,

∴=,

∵∠MAD=∠MAB,

∴△MAD∽△BAM,

∴∠AMD=∠ABM,

∴tan∠AMD=tan∠ABM==,

∵MT⊥TA,CD⊥AB,

∴∠T=∠CDA=90°,

∵∠MAT=∠CAD,MA=AC,

∴△MTA≌△CDA(AAS),

∴MT=CD=x,AT=AD=y,

∵tan∠MBT==,

∴BT=3x,DB=3x﹣2y,

由△ADC∽△CDB,可得CD2=AD?DB,

∴x2=y(3x﹣2y),

∴x2﹣3xy+2y2=0,

解得x=y或x=2y,

当x=y时,∠ABC=45°,n=tan45°=1,

当x=2y时,n=tan∠ABC====,

综上所述,n的值为1或.

故答案为1或.

10.(12分)已知,直线l:y=kx+2与y轴交于点M,且与抛物线C:y=x2交于A,B两点(A在B的右边).

(1)如图1,求S△AOB(用含k的式子表示);

(2)如图2,当k=时,过O点的另一条直线与直线y=kx+2交于点Q(Q在线段AB 上),与抛物线C交于点N.若sin∠OQM=,求点N的坐标;

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