初三数学圆动点问题
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在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
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（
设经过t秒，PQ与圆O且于点E，此时：AP = t CQ = 2t BQ = 15 - 2t PD = 13 - t
根据切线长定理可得：PE = PA QE = QB
∴ PQ = 15 - t
过A点作PQ的平行线，交BQ于F，则：BF = 15 - 3t
于是，根据AB2 +BF2 = PQ2可以列出关于t的方程。【AB的长应该告诉了的吧】
2011-11-20 19:27
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存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t 1=4+，t2=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．
图示
圆所有经典难题 一，选择题 1.下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97° B ．104° C ．116° D ．142° 3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。 B 、一个三角形只有一个外接圆。 C 、和半径垂直的直线是圆的切线。 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。 4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A 、60o或120o B. 30o或120o C. 60o D. 120o 5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５ 6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。 7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。 8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含 9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ）， A B P O
此文档下载后即可编辑 1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. （2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形 111 OA B C的边长为1，以O为圆心、1 OA为半径作扇形? 1111 OAC AC ，与1 OB相交于点2B，设正方形111 OA B C与扇形11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S；然后以2 OB为对角线作正方形222 OA B C，又以O为圆心，、2 OA为半径作扇形22 OA C，? 22 A C与1 OB相交于点3B，设正方形 222 OA B C与扇形22 OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形 n n n OA B C与扇形n n OA C之间的阴影部分面积为n S．（1）求 123 S S S ，，； （2）写出 2008 S； 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3
（3）试猜想 S（用含n的代数式表示，n为正整数）． n 3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ ABC 的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：I D=BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x=，DE y=，当点A 在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的 取值范围．
(第4题图) 4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧?BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △； （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． （3分） 5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为?BC 上的一动点．
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切 点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
4.
5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂 足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB； （2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点 8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）
初三数学圆典型难题及答案
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2006年中考“圆” 热点题型分类解析 1．（2006，泉州）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ O https://www.doczj.com/doc/6513741999.html, D C B A (1) (2) (3) (4) 2．（2006，哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，?GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm．4．（2006，旅顺口区）如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（2006，盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，?则该圆的半径是________． (5) (6) (7) (8) (9) 8．如图6，⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm． 9．（2006，重庆）如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、?∠ACB的角平分线分别交AC、AB 于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________．10．（2006，海淀区）如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是（） A．40° B．50° C．80° D．200° 11．（2006，温州）如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°
5．已知：如图所示，直线l 的解析式为3 34 y x = -，并且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。 （1） 求A 、B 两点的坐标； （2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x 轴正方向运动， 问在什么时刻与直线l 相切； （3） 在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个 单位/秒的速度运动，问在整个运动过程中，点P 在动圆的圆面（圆上和圆内部）上，一共运动了多长时间？ 6．如图16，已知直线y = 2x(即直线1l )和直线42 1 +- =x y (即直线2l )，2l 与x 轴相交于点A 。点P 从原点O 出发，向x 轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从A 点出发，向x 轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t 秒. (1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示). (2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图16). ①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否相切？若能，求出t 值；若不能，说明理由. ②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中心、Q 为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t 值；若不能，说明理由.(同学可在图17中画草图)
7．已知：如图，直线交轴于，交轴于，⊙与轴相切于O点， 交直线于P点，以为圆心P为半径的圆交轴于A、B两点，PB交⊙于点F，⊙的弦BE＝BO，EF的延长线交AB于D，连结PA、PO。 （1）求证：； （2）求证：EF是⊙的切线； （3）的延长线交⊙于C点，若G为BC上一动点，以为直径作⊙交 于点M，交于N。下列结论①为定值；②线段MN的长度不变。只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值。 8．如图12，直线 3 3 4 y x =-+与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，点C(m，n)是第二 象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x 轴相切于点E，与直线AB相切于点F. ⑴当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标； ⑵如图13，若⊙C与y 轴相切于点D，求⊙C的半径r； ⑶求m与n之间的函数关系式；
20PP 年中考“圆”热点题型分类解析 1．（20PP ，泉州）如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ https://www.doczj.com/doc/6513741999.html, B A (1)(2)(3)(4) 2．（20PP ，哈尔滨市）在△ABC 中，AB=AC=5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为________． 3．（20PP ，南京市）如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，?GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF=_______cm ． 4．（20PP ，旅顺口区）如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（20PP ，盐城）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（20PP ，大连）如图4，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（20PP ，盐城）如图5，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1 ，AB=4 ， ?则该圆的半径是 ________． (5)(6)(7)(8)(9) 8．如图6，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ． 9．（20PP ，重庆）如图7，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、?∠ACB 的角平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ．①cos ∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD ；③EF=FD ；④BF=2DF ．其中结论一定正确的序号是________． 10．（20PP ，海淀区）如图8,已知A 、B 、C 是⊙O 上，若∠COA=100°，则∠CBA 的度数是（） A ．40°B ．50°C ．80°D ．200° 11．（20PP ，温州）如图9，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B=70°，则∠A 的度数是（） A ．20° B ．25° C ． 30 °D ．35° (10)(11)(12)(13)(14)
经典难题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度 求证：△PBC是正三角形． 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点． 求证：四边形A2B2C2D2是正方形． 4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC 于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO． 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ． 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF． 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF． 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知?ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G 为切点，已知⊙O的半径为3．求?ABCD的面积． 【答案】203 【解析】 【分析】 首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答. 【详解】 设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F； 平行四边形ABCD的面积为S； 则S=2S△ABD=2×1 2 (AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3（AB+AD+BD）； ∵平行四边形ABCD的周长为26， ∴AB+AD=13， ∴S=3(13+BD)；连接OA； 由题意得：∠OAE=30°， ∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE； ∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7， 即BD=7， ∴S=3（13+7）=203． 即平行四边形ABCD的面积为203． 2．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O． （1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形； （2）如图②，若BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）π2 【解析】 试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式
即可得出结论． 试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形； （2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1 32 OF AD = =，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC = CG CD =1 2 ，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802 AE ππ ??= =． 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键． 3．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B . (1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 3 ，求FC 的长． 【答案】（1）见解析 【解析】 分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）根据正切的性质求出EC 的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可． 详解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠OCB ＋∠ACO ＝90°. ∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB. 又∵∠FCA ＝∠B ，∴∠FCA ＝∠OCB ， ∴∠FCA ＋∠ACO ＝90°，即∠FCO ＝90°，
初二数学几何经典难题 初二数学几何经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 F
G D 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A
38.（2009年凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40)-，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴 于C 点，以点2(135)O ， 为圆心的圆与x 轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式； （2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间． 39.（2009年枣庄市） 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点 D ，已知6OA OB == ，AB = （1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积． 40.(2009年上海市)．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径． 第23题图 C O A B D
1．如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. ⑴ 求点C 的坐标； ⑵ 连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得AB 2 ＝ BP ·BE ，能否推出AP ⊥BE ？ 请给出你的结论，并说明理由； ⑶ 在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2 ＝BQ ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. 2．已知：如图，抛物线m x x y +-= 3 32312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. x b
2006年中考“圆”热点题型分类解析 1．（2006，泉州）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ O https://www.doczj.com/doc/6513741999.html, D C B A (1) (2) (3) (4) 2．（2006，哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，?GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm．4．（2006，旅顺口区）如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（2006，盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，?则该圆的半径是________． (5) (6) (7) (8) (9) 8．如图6，⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm． 9．（2006，重庆）如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、?∠ACB的角平分线分别交AC、AB 于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________．10．（2006，海淀区）如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是（） A．40° B．50° C．80° D．200° 11．（2006，温州）如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°
深圳中考数学圆的综合(大题培优易错难题) 一、圆的综合 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长． 【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线； （2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此解答即可． 【详解】 （1）如图所示，连接OD． ∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴?? BD CD =，∴OD⊥BC． 又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM． 又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线． （2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE． ∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即 ∠BED=∠DBE，∴BD=DE． 又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB DB DA =，即DB2=DF?DA． ∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=23． 【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2 ，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4 【解析】 【分析】 （1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得 ??? CD PB PD ==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论； （3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则 OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3 4 x，代入面积公式可得结 论． 【详解】 （1）连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠BCD=90°， ∵AD⊥CG， ∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，
20XX 年中考“圆” 热点题型分类解析 1．（2006，泉州）如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______ https://www.doczj.com/doc/6513741999.html, B A (1) (2) (3) (4) 2．（2006，哈尔滨市）在△ABC 中，AB=AC=5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为________． 3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，?GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF=_______cm ． 4．（2006，旅顺口区）如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______． 7．（2006，盐城）如图5，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1 ，AB=4 ，? 则该圆的半径是________ ． (5) (6) (7) (8) (9) 8．如图6，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ． 9．（2006，重庆）如图7，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、?∠ACB 的角平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ．①cos ∠BFE= 1 2 ；②BC=?BD ；③EF=FD ；④BF=2DF ．其中结论一定正确的序号是________． 10．（2006，海淀区）如图8,已知A 、B 、C 是⊙O 上，若∠COA=100°，则∠CBA 的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．200° 11．（2006，温州）如图9，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠B=70°，则∠A 的度数是（ ） A ．20° B ．25° C ．30 ° D ． 35° (10) (11) (12) (13) (14) 12．（2006，陕西）如图10，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r= 3 2 ，AC=2，则cosB
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
初中数学圆的难题汇编及答案解析 一、选择题 1．下列命题错误的是（） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形一定有外接圆和内切圆 C．等弧对等弦 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】 根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】 A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题； B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题； C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题； D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题； 故选C． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】
解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴OB=22 OC BC =5， ∵OE=OC=4， ∴BE=OB-OE=5-4=1. 故选A. 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理. 3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出
中考数学分类汇编——与圆有关的压轴题 【题1】（年江苏南京,26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O 为△ABC的内切圆． （1）求⊙O的半径； （2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． （2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．【解】：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF． ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形CEOF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形CEOF是正方形． 设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm， ∴AB==5cm． ∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r=5， 解得r=1，即⊙O的半径为1cm． （2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G． ∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t， ∴PG=，BG=． 若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切． ①当⊙P与⊙O外切时， 如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°， ∴四边形PHEG是矩形， ∴HE=PG，PH=CE， ∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣． 在Rt△OPH中， 由勾股定理，， 解得t=． ②当⊙P与⊙O内切时， 如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M． ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°， ∴四边形OEGM是矩形， ∴MG=OE，OM=EG， ∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣， 在Rt△OPM中， 由勾股定理，，解得t=2． 综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s． 【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目． 【题2】（?泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)附答案 一、圆的综合 1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan A=1 2 ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论； （3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3 2 x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理 即可得出结论． 试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF， ∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下： ∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A， ∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BD AE DE AD ==．∵Rt△ABD 中，tan A=BD AD = 1 2 ，∴ DE BE AE DE == 1 2 ， ∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE； （3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3 2 x．∵OF=1，∴OE=1+2x． 在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（3 2 x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣ 2 9 （舍）或x=2， ∴圆O的半径为3．