HEFEI UNIVERSITY
信号与系统项目设计报告
系别电子信息与电子工程系
题目项目第十题
专业电子信息工程
班级 11电子信息工程（2）班
小组成员钟文俊（1105012012）谢伟明（1105012041)授课老师纪平
完成时间 2014.01.02
用MATLAB仿真离散系统差分方程
一、设计题目
-n
f
-
+
-
n
n
n
y
y
n
=
y
f
(-
(
)2
)
(
)1
(
5.0
.0
)
25
(
)1
+
系统输入序列为)
f nε
=。
n
(n
)5.0(
)
(
二、设计要求
1、试用MATLAB绘出输入序列的时域波形；
2、用MATLAB求出该系统0～20区间的样值；
3、用MATLAB画出系统的零状态响应波形。
三、功能分析
差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引路系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进步再结合其他分析，得到原问题的解。
四、设计原理分析
1、差分方程定义
含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。
2、差分方程的意义与应用
差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似逼
近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群数量结构规律分析、疫病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律，性质，就可以适当的用差分方程模型来表现体与分析求解。
3、用MATLAB仿真时用的相关函数说明
在用MATLAB仿真离散系统的差分方程时可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真，用y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应。
3.1利用filter函数实现差分方程说明：
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1]
y[1]=x[1]+2*0=1%(x[1]之前状态都用0)
y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4
3.2用filter函数求该差分方程y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]的单位冲激响应和单位阶跃响应说明：
单位冲激响应：
a1=[1,0.75,0.125];
b1=[1,-1];
n=0:20;
x1=[1 zeros(1,20)];
y1filter=filter(b1,a1,x1);
stem(n,y1filter);
title('y1filter');
xlabel('x');
ylabel('y');
单位阶跃响应：
a1=[1,0.75,0.125];
b1=[1,-1];
n=0:20;
x2=ones(1,21);
y1filter=filter(b1,a1,x2); stem(n,y1filter); title('y1filter_step'); xlabel('x'); ylabel('y');
3.3用impz 函数求差分方程y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]的单位冲击响应和单位阶跃响应说明： 单位冲击响应： a1=[1,0.75,0.125]; b1=[1,-1]; impz(b1,a1,21); 单位阶跃响应： a=[1,0.75,0.125]; b=1; impz(b,a)；
即y=filter(p,d,x)用来实现差分方程，d 表示差分方程输出y 的系数，p 表示输入x 的系数，而x 表示输入序列。输出结果长度数等于x 的长度。y=impz(p,d,N)是用来实现冲击响应的，d 和p 的定义见filter ，N 表示冲击响应输出的序列个数。
五、详细设计
1、设计函数思路
利用MATLAB 软件实现这个仿真过程，其中应用到filter 函数来实现差分方程的零状态响应，利用impz 函数来实现差分方程0～20区间的样值的取样。 2、理论计算
由)1()()2(5.0)1(25.0)(-+=-+--n f n f n y n y n y 两边Z 变换得
)1)(()21411)((1
21---+=+-Z Z F Z Z Z Y ?2
141214111)(22211+-+=+-+=
---Z Z Z Z Z Z Z Z H ?
j
Z K j
Z K j Z j Z Z Z
Z H 8
31
818
31
81)
8
3181)(83181(1
)
(2
1
--+
+-=
--+-+=
求得：
31
29311j
K +=
，j j K 3129312-+-=?
)(])8311)(312931()8311)(312931[(
)(n j j
j j j n h n
n ε+-+-+-+=
再由2
1
)(-
=
Z Z Z F 得
)5.025.0)(5.0()1()(2+--+=
Z Z Z Z Z Z Y ?
j Z K j Z K Z K Z Z Y 8
31818318121)(32
1--++-+-= 求得：
56
1=
K ，j 31331-j 315-11-2+=K ，j
313-31-j 31511-3+=K 求得：
)(])8311(3133131511)83181(3133131511)21)(56[()(n j j
j j j j n y n
n n ε+--+-+-+---+=
3、设计过程记录
第一次：
a=[1 -0.25 0.5]; %差分方程系数 b=[1 1]; %差分方程系数 n=0:20; %序列个数 fn=0.5.^n; %输入序列 y=filter(b,a,fn); %系统零状态响应 subplot(1,3,1),stem(n,fn,'filled');title('输入序列');grid on subplot(1,3,2),stem(n,y,'filled');title('0～20区间的样值');grid on subplot(1,3,3),stem(n,y,'filled');title('零状态响应');grid on
这一次的程序代码编写完后仿真得出上面的图形我们发现0～20区间阶跃响应仿真图不对，经过讨论后发现程序中没有写0～20区间阶跃响应的代码，经过完善程序后，进行第二次仿真，如下所示：
第二次：
a=[1 -0.25 0.5]; %差分方程系数 b=[1 1]; %差分方程系数
b1=1; n=0:20; %序列个数 fn=0.5.^n; %输入序列 y1=filter(b,a,fn); %系统零状态响应 y2=impz(b1,a,0:20); %0～20区间阶跃响应 subplot(1,3,1),stem(n,fn,'filled');title('输入序列');grid on subplot(1,3,2),stem(n,y2,'filled');title('0～20区间的样值');grid on subplot(1,3,3),stem(n,y1,'filled');title('零状态响应');grid on
10
20
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91输入序列01020
-0.500.511.52
0～20区间的样值
01020
-0.5
0.5
1
1.5
2
零状态响应
这次仿真之后我们讨论了得到的波形图，一开始我们以为是正确的，后来发现0～20区间样值的波形图错了，经过上网查阅相关资料才知道是这里的程序代码写错了，经过修改后我们经行第三次仿真实验；
第三次：
a=[1 -0.25 0.5]; %差分方程系数 b=[1 1]; %差分方程系数 n=0:20; %序列个数 fn=0.5.^n; %输入序列 y1=filter(b,a,fn); %系统零状态响应 y2=impz(b,a,0:20); %0～20区间冲激响应
subplot(1,3,1),stem(n,fn,'filled');title('输入序列');grid on subplot(1,3,2),stem(n,y2,'filled');title('0～20区间的样值');grid on subplot(1,3,3),stem(n,y1,'filled');title('零状态响应');grid on
10
20
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9101020
-0.500.51
01020
-0.5
0.5
1
1.5
2
这一次仿真后经过我们核对，这次的仿真是正确。
六、总结
这次的课程设计项目是用MATLAB 仿真实现差分方程，在我们出现过许多错误，这其中主要的错就是在编写0～20区间冲激响应的相关程序代码，导致这一部分在第一次生成仿真图与零状态响应相同；而在第二次仿真时生成的是阶跃响应的波形；然后经过修改在第三次仿真时得出的结果与理论上一致，我们得出正确的结果。
刚开始着手用MATLAB 做课程设计时感觉有点一头雾水，没有方向，不知该从哪开始，后来经过仔细研究，慢慢感觉不太难做，最后也还算是顺利完成课程设计。
在做课程设计之前一定要将课本上的相关知识点理解，因为这是基础，要多看相关的例题，否则相关知识点不清楚会给设计加大难度，浪费很多时间。
10
20
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9101020
-1-0.500.511.5
01020
-0.5
0.5
1
1.5
2
实验3离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析 一 一、实验目的 1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。 二、实验原理 离散系统 ] [n x ] [n y Discrete-time systme 其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 0 ][][ 输入信号分解为冲激信号 ∑-=∞ -∞=m m n m x n x ][][][δ 记系统单位冲激响应 ] [][n h n →δ 则系统响应为如下的卷积计算式 ∑∞ -∞ =-= *=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当 N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为 FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。 在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。 二、实验内容 编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。 ] 1[][]2[125.0]1[75.0][--=-+-+n x n x n y n y n y ]}4[]3[]2[]1[{25.0][-+-+-+-=n x n x n x n x n y 程序1： A=[1,0.75,0.125];B=[1,-1]; x2n=ones(1,65); x1n=[1,zeros(1,30)]; y1n=filter(B,A,x1n); subplot(2,1,1);y='y1(n)'; stem(y1n,'g','.'); title('单位冲击响应') 课程名称 实验成绩 指导教师 实 验 报 告 院系 班级 学号 姓名 日期
信号与系统的MATLAB 仿真 一、信号生成与运算的实现 1.1 实现)3(sin )()(π±== =t t t t S t f a )(sin )sin()sin(sin )()(t c t t t t t t t S t f a '=' '== ==πππ π ππ m11.m t=-3*pi:0.01*pi:3*pi; % 定义时间范围向量t f=sinc(t/pi); % 计算Sa(t)函数 plot(t,f); % 绘制Sa(t)的波形 运行结果： 1.2 实现)10() sin()(sin )(±== =t t t t c t f ππ m12.m t=-10:0.01:10; % 定义时间范围向量t f=sinc(t); % 计算sinc(t)函数 plot(t,f); % 绘制sinc(t)的波形 运行结果： 1.3 信号相加：t t t f ππ20cos 18cos )(+= m13.m syms t; % 定义符号变量t f=cos(18*pi*t)+cos(20*pi*t); % 计算符号函数f(t)=cos(18*pi*t)+cos(20*pi*t) ezplot(f,[0 pi]); % 绘制f(t)的波形 运行结果：
1.4 信号的调制：t t t f ππ50cos )4sin 22()(+= m14.m syms t; % 定义符号变量t f=(2+2*sin(4*pi*t))*cos(50*pi*t) % 计算符号函数f(t)=(2+2*sin(4*pi*t))*cos(50*pi*t) ezplot(f,[0 pi]); % 绘制f(t)的波形 运行结果： 1.5 信号相乘：)20cos()(sin )(t t c t f π?= m15.m t=-5:0.01:5; % 定义时间范围向量 f=sinc(t).*cos(20*pi*t); % 计算函数f(t)=sinc(t)*cos(20*pi*t) plot(t,f); % 绘制f(t)的波形 title('sinc(t)*cos(20*pi*t)'); % 加注波形标题 运行结果：
课程设计报告 题目PID控制器应用 课程名称控制系统仿真院部名称龙蟠学院 专业自动化 班级M10自动化 学生姓名 学号 课程设计地点 C208 课程设计学时一周 指导教师应明峰 金陵科技学院教务处制成绩
一、课程设计应达到的目的 应用所学的自动控制基本知识与工程设计方法，结合生产实际，确定系统的性能指标与实现方案，进行控制系统的初步设计。 应用计算机仿真技术，通过在MATLAB软件上建立控制系统的数学模型，对控制系统进行性能仿真研究，掌握系统参数对系统性能的影响。 二、课程设计题目及要求 1．单回路控制系统的设计及仿真。 2．串级控制系统的设计及仿真。 3．反馈前馈控制系统的设计及仿真。 4．采用Smith 补偿器克服纯滞后的控制系统的设计及仿真。 三、课程设计的内容与步骤 (1)．单回路控制系统的设计及仿真。 （a）已知被控对象传函W(s) = 1 / (s2 +20s + 1)。 （b）画出单回路控制系统的方框图。 （c）用MatLab的Simulink画出该系统。
（d）选PID调节器的参数使系统的控制性能较好，并画出相应的单位阶约响应曲线。注明所用PID调节器公式。PID调节器公式Wc（s）=50(5s+1)/(3s+1) 给定值为单位阶跃响应幅值为3。 有积分作用单回路控制系统PID控制器取参数分别为：50 2 5 有积分作用单回路控制系统PID控制器取参数分别为：50 0 5
大比例作用单回路控制系统PID控制器取参数分别为：50 0 0 （e）修改调节器的参数，观察系统的稳定性或单位阶约响应曲线，理解控制器参数对系统的稳定性及控制性能的影响？ 答：由上图分别可以看出无积分作用和大比例积分作用下的系数响应曲线，这两个PID调节的响应曲线均不如前面的理想。增大比例系数将加快系统的响应，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏；
信息工程学院实验报告 课程名称：数字信号处理 实验项目名称：离散序列的卷积和系统差分方程的MATLAB 实现 实验时间： 班级：电信131 姓名： 学号：201311404113 一、 实 验 目 的: 熟悉序列的卷积运算及其MATLAB 实现；熟悉离散序列的傅里叶变换理论及其MATLAB 实现；加深对离散系统的差分方程和系统频率响应的理解。 二、实 验 原 理 1、MA TLAB 提供了一个内部函数conv(x,h)来计算两个有限长序列之间的卷积。 2、对于时域离散系统，可用差分方程描述或研究输入、输出之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程。一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示： ()() N M i i i i b y n i a x n i ==-=-∑∑ 当 0,1,2,,i b i N == 时，[]h n 是有限长度的，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。 在MA TLAB 中，可以用函数filter(a,b,x)求解差分方程，其中参数a,b 分别系统函数的分子和分母多项式的系数。 三、实 验 内 容 与 步 骤 实验内容： 1、已知 1(){1,1,1,1,1}x n =，2(){1,1,1,1,1,1,1}x n =，计算12()()*()y n x n x n =。 2、在0到π区间画出矩形序列 10()R n （其定义见例1-3）的离散时间傅里叶变换（含幅度和相位）。 3、求系统：()0.5((1)(2)(3)(4))y n x n x n x n x n =-+-+-+-的单位冲激响应和阶跃响应。 实验步骤: 1、
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
1.设离散控制系统差分方程为x采样周期T。试求：（1） 系统的脉冲传递函数。（2）系统的频率特性表达式。 解：差分方程两边取Z变换，得 脉冲传递函数 频率特性 2.假设离散系统差分方程为。其中; ，，，。试求:(1)分析系统的稳定性。（2），，。 解：（1）对差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，即系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 3.某离散控制系统的差分方程为，其中： ，，，，，，。试求：（1），。（2）分析稳定性。 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。
（2）n=0时， n=1时。 4.离散控制系统的差分方程为：，其中 ，，时，时。试求：(1)，，。（2）脉冲传递函数。 解：（1）差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 5.已知：离散控制系统的差分方程为。试求：脉冲传 递函数。系统频率特性 解：对差分方程Z变换，得 频率特性 6.某离散系统的差分方程为=，其中 ，。试求（1）脉冲传递函数，并分析稳定。（2） ，，。 解：对差分方程两边Z变换，得 （）
特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 (2)n=0时， n=1时， n=2时，y 7.已知离散系统的差分方程为，试求：（1）脉冲传递 函数。（2）分析系统稳定性 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 (2)特征方程：=0 解得：； 由于，所以系统临界稳定。 8.离散系统差分方程为，其中 ，；。试求：，，。（）分析稳定性。 解：(1)n=0时， n=1时， n=2时， (2)对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 9.某离散系统差分方程为，其中：， 时，；时，。试求：，，。（2）分析
系统仿真与MATLAB语言 实验指导书
对参加实验学生的总要求 1、认真复习有关理论知识，明确每次实验目的，了解实验相关软件操作，熟悉实验内容和方法。 2、实验过程中注意仔细观察，认真记录有关数据和图像，并经由指导教师查验后方可结束实验。 3、应严格遵守实验室规章制度，服从实验室教师的安排和管理。 4、对实验仪器的操作使用严格按照实验室要求进行。
实验总要求 1、封面：注明实验名称、实验人员班级、学号（全号）和姓名等。 2、内容方面：注明实验所用设备、仪器及实验步骤方法；记录清楚实验所得的原始数据和图像，并按实验要求绘制相关图表、曲线或计算相关数据；认真分析所得实验结果，得出明确实验结论。并注明该结论所依据的原理和理论；对实验进行反馈回顾，总结出实验方法要领和注意事项，对实验失败的原因进行分析剖解，总结出实验的经验和教训。 3、文字方面，撰写规范，杜绝错别字。 4、杜绝抄袭，杜绝提供不真实的实验内容。
实验一 MATLAB 语言工作环境和基本操作 1 实验目的 1）．熟悉MATLAB 的开发环境； 2）．掌握MATLAB 的一些常用命令； 3）．掌握矩阵、变量、表达式的输入方法及各种基本运算。 2 实验器材 计算机WinXP 、Matlab7.0软件 3 实验内容 (1). 输入 A=[7 1 5;2 5 6;3 1 5]，B=[1 1 1; 2 2 2;3 3 3]， 在命令窗口中执行下列表达式，掌握其含义： A(2, 3) A(:,2) A(3,:) A(:,1:2:3) A(:,3).*B(:,2) A(:,3)*B(2,:) A*B A.*B A^2 A.^2 B/A B./A (2).输入 C=1:2:20，则 C （i ）表示什么？其中 i=1,2,3,…,10； （3）掌握MA TLAB 常用命令 >> who %列出工作空间中变量 >> whos %列出工作空间中变量，同时包括变量详细信息 >>save test %将工作空间中变量存储到test.mat 文件中 >>load test %从test.mat 文件中读取变量到工作空间中 >>clear %清除工作空间中变量 >>help 函数名 %对所选函数的功能、调用格式及相关函数给出说明 >>lookfor %查找具有某种功能的函数但却不知道该函数的准确名称 如： lookfor Lyapunov 可列出与Lyapunov 有关的所有函数。 （4） 在MATLAB 的命令窗口计算: 1) )2sin(π 2) 5.4)4.05589(÷?+ (5). 试用 help 命令理解下面程序各指令的含义： clear t =0:0.001:2*pi; subplot(2,2,1); polar(t, 1+cos(t)) subplot(2,2,2); plot(cos(t).^3,sin(t).^3) subplot(2,2,3); polar(t,abs(sin(t).*cos(t))) subplot(2,2,4); polar(t,(cos(2*t)).^0.5) （6）（选做）设计M 文件计算: x=0:0.1:10 当sum>1000时停止运算，并显示求和结果及计算次数。 i i i x x sum 2100 2 -= ∑ =
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
实验2 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析 一、实验目的 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。 二、实验原理 离散系统可表示为 其输入、输出关系可用以下差分方程描述： ∑∑==-=-M k m N k k m n x b k n y a 00][][ 输入信号分解为冲激信号， ∑∞ -∞=-= m m n m x n x ][][][δ。 记系统单位冲激响应 ][][n h n →δ， 则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞ -∞=-= *=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k a k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。 在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积，用y=impz(b,a,N)求系统的冲激响应。 对于N 阶差分方程∑∑==-=-M k m N k k m n x b k n y a 00][][， 1) 当给定函数的系数和输入序列时，差分方程的递推过程在MA TLAB 中用函数y=filter(b,a,x)来实现，其中，b 为右端x 的系数,a 为左端y 的系数，a 0=1。求得的输出序列y 和输入序列x 的长度相等。若x 的长度太短，需要补零。用conv 函数计算能在输入序列后自动补零，而filter 函数不能。 2) MATLAB 中有一个求离散系统脉冲响应的专门函数y=impz(b,a,N)，其中，b 为右端x 的系数,a 为左端y 的系数，a 0=1。N 为要求的点数。键入impz(b,a)，程序将自动给出脉冲响应的曲线。 3) 当输入序列和脉冲响应序列都是以数值方式给出时，可以用MATLAB 中的卷积函数y=conv(x,h)来计算。
在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上的连续性这一基本问题。 从根本意义上讲，数字计算机所进行的数值计算仅仅是“数字”计算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质上是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到的离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。 设系统模型为：),,(t u y f y =&，其中u (t )为输入变量，y (t )为系统变量；令仿真时间间隔为h ，离散化后的输入变量为)(?k t u ，系统变量为)(?k t y ，其中k t 表示t=kh 。如果)()(?k k t u t u ≈，)()(?k k t y t y ≈，即0)()(?)(≈-=k k k u t u t u t e ，0)()(?)(≈-=k k k y t y t y t e （对所有k=0,1,2,…），则可认为两模型等价，这称为相似 原理（参见图）。 实际上，要完全保证0)(,0)(==k y k u t e t e 是很困难的。进一步分析离散化引的误差，随着计算机技术的发展，由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真建模方法。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求： （1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。关于稳定性的详细讨论将在节中进行。 （2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则：δ≤-=)()(?)(k k k y t y t y t e 相对误差准则：δ≤-= )(?)()(?)(k k k k y t y t y t y t e 其中 规定精度的误差量。 原连续模型 仿真模型 )(≈k y t e 图 相
自动控制原理 二阶系统性能分析Matlab 仿真大作业附题目+ 完整报告内容
设二阶控制系统如图 1所示，其中开环传递函数 ) 1(10 )2()(2+=+=s s s s s G n n ξωω 图1 图2 图3 要求： 1、分别用如图2和图3所示的测速反馈控制和比例微分控制两种方式改善系统的性能，如果要求改善后系统的阻尼比ξ =0.707，则t K 和 d T 分别取多少？ 解： 由)1(10 )2()(2 += +=s s s s s G n n ξωω得10 21,10,102===ξωωn 22n n () s s ωξω+R (s )C (s ) -
对于测速反馈控制，其开环传递函数为：) 2()s (2 2n t n n K s s G ωξωω++=； 闭环传递函数为：2 2 2)2 1(2)(n n n t n s K s s ωωωξωφ+++= ； 所以当n t K ωξ2 1+=0.707时，347.02)707.0(t =÷?-=n K ωξ； 对于比例微分控制，其开环传递函数为：)2()1()(2 n n d s s s T s G ξωω++=； 闭环传递函数为：) )2 1(2)1()(2 22 n n n d n d s T s s T s ωωωξωφ++++=； 所以当n d T ωξ2 1 +=0.707时，347.02)707.0(=÷?-=n d T ωξ； 2、请用MATLAB 分别画出第1小题中的3个系统对单位阶跃输入的响应图； 解： ①图一的闭环传递函数为： 2 22 2)(n n n s s s ωξωωφ++=，10 21 ,10n ==ξω Matlab 代码如下： clc clear wn=sqrt(10); zeta=1/(2*sqrt(10)); t=0:0.1:12; Gs=tf(wn^2,[1,2*zeta*wn,wn^2]); step(Gs,t)
实验2 离散系统的差分方程、单位脉冲响应和卷积分析 一、 实验目的 1、 熟悉并掌握离散系统的差分方程表示法； 2、 加深对单位脉冲响应和卷积分析方法的理解。 二、 实验原理 (一), 1. 单位采样序列 ???=01 )(n δ 0 0≠=n n 在MATLAB 中可以利用zeros()函数实现。 ; 1)1();,1(==x N zeros x 如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即： ???=-01 )(k n δ 0≠=n k n 2．单位阶跃序列 1()=0 u n ??? 00<≥n n 在MATLAB 中可以利用ones()函数实现。 );,1(N ones x = 3．正弦序列 )/2sin()(?π+=Fs fn A n x 在MATLAB 中 ) /***2sin(*1:0fai Fs n f pi A x N n +=-=
4．复指数序列 n j e n x ?=)( 在MATLAB 中 ) **exp(1:0n w j x N n =-= 5．实指数序列 n a n x =)( 在MATLAB 中 n a x N n .^1:0=-= (二) 在时域中，离散时间系统对输入信号或者延迟信号进行运算处理，生成具有所需特性的输出信号，具体框图如下: 其输入、输出关系可用以下差分方程描述： 00()()N M i i i i a y n i b x n i ==-=-∑∑ 输入信号分解为单位采样序列的移位加权和，即： ()()()m x n x m n m δ∞ =-∞= -∑ 记系统单位脉冲响应 ()()n h n δ→ 则系统响应为如下的卷积计算式：
Matlab 实训设计（一） 二阶系统变阻尼比的动态仿真系统的设计 一.设计一个二阶系统的变阻尼比的动态仿真系统 二.步骤 （1）程序功能描述 1. 典型二阶系统的传递函数为 ω ωωξ22 2 2)(n n n S s ++= Φ 2. 归一化二阶系统的单位阶跃响应 1、ζ=0（无阻尼）时，系统处于等幅振荡，超调量最大，为100%，并且系统发生不衰减的振荡，永远达不到稳态。 2、0<ζ<1（欠阻尼）时，系统为衰减振荡。为了获得满意的二阶系统的瞬态响应特性，通常阻尼比在0.4~0.8的范围内选择。这时系统在响应的快速性、稳定性等方面都较好。 3、在ζ=1（临界阻尼）及ζ>1（过阻尼）时，二阶系统的瞬态过程具有单调上升的特性，以ζ=1时瞬态过程最短。 （2）程序界面设计 图形界面中的grid on 、grid off 分别是网格和绘图框的打开和关闭按钮
（3）程序测试运行 在编辑框中+还可以输入如0:0.1:0.8的阻尼系数数组，这表示把0到0.8之间的长度以0.1为跨距等份，再以每点的数据得到响应曲线，上式就包含了 ze-ta=0、0.1、0.2···、0.8总共8个阻尼比下的响应曲线
三.控件属性设置 （1）String %显示在控件上的字符串 （2）Callback 回调函数 （3）enable 表示控件是否有效 （4）Tag 控件标记，用于标识控件 四.设计：实现如下功能的系统界面 （1）在编辑框中，可以输入表示阻尼比的标量成行数组、数值，并在按了Enter 键后，在轴上画出图形，坐标范围x[1，15],y[0，2]。 （2）在点击grid on或者grid off键时，在轴上显示或删除“网格线”。（3）在菜单[options]下，有两个下拉菜单[Box on]和[Box off]，缺省值为off。（4）所设计界面和其上图形，都按比例缩放。 五.各个控件属性设置 （1）在图形窗中设置 Name 我的设计 Rize on %图窗可以缩放 Tag figure1 %生成handles. figure1 （2）在轴框中 Units normalizen Box off坐标轴不封闭 Tag axes1 XLim[0,15]%x范围 YLim[1,2]%y范围 （3）静态文件框1 fontsize 0.696 fritunits normalizen String“归一化二阶阶跃响应” Tag text1 Horizontalignment Center
数字信号处理课程设计 题目：试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师：
题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 ()(1)()f k f k f k ?=+- （3.1—1） 一阶后向差分定义为 ()()(1)f k f k f k ?=-- （3.1—2） 式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为 ()(1)f k f k ?=?- （3.1—3） 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则 1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()() a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ?+=+--+-=--+--=?+? （3.1—4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 2()[()][()(1)]()(1) ()2(1)(2) f k f k f k f k f k f k f k f k f k ?=??=?--=?-?-=--+- （3.1—5） 类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
simulink仿真 -1<ξ<0 >> step(tf(4^2,[1,2*(-0.5)*4,4^2])) ξ<-1 >> step(tf(4^2,[1,2*(-1.5)*4,4^2])) ξ＝0 >> step(tf(4^2,[1,2*0*4,4^2])) 0<ξ<1 >> figure >> step(tf(4^2,[1,2*0.1*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.2*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.3*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.4*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.5*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.6*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.7*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.8*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*0.9*4,4^2]))
ξ=1 >> figure >> step(tf(4^2,[1,2*1*4,4^2]))
ξ>1 >> hold on >> step(tf(4^2,[1,2*2.0*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*4.0*4,4^2])) >> step(tf(4^2,[1,2*8.0*4,4^2])) ωn不变，ζ减小
ξ＝0.5，改变ωn时的情况： >> figure >> step(tf(1^2,[1,2*0.5*1,1^2])) （ωn＝1） >> hold on >> step(tf(2^2,[1,2*0.5*2,2^2])) （ωn＝2）>> step(tf(4^2,[1,2*0.5*4,4^2])) （ωn＝4）>> step(tf(8^2,[1,2*0.5*8,8^2])) （ωn＝8）
利用simulink进行仿真的步骤 1.双击桌面图标打开Matlab软件； 2.在Command Window命令行>>后输入simulink并回车或点击窗口上 部图标直接进入simulink界面； 3.在simulink界面点击File-New-Model就可以在Model上建立系统 的仿真模型了； 4.在左面的器件模型库中找到所需模型，用鼠标将器件模型拖到建立 的Model上，然后用鼠标将它们用连线连起来，系统的仿真模型就建立起来了； 5.点击界面上部的图标‘’进行仿真，双击示波器就可以看到仿真结 果。 实验要用到的元件模型的图标及解释如下： 阶跃信号：在simulink-source中可以找到，双击可以设定阶跃时间。 sum：在simulink-math operations中可以找到，双击可以改变器属性以实现信号相加还是相减； 比例环节：在simulink-math operations中可以找到，双击可以改变器属 性以改变比例系数； 积分环节：在simulink-continues中可以找到； 传函的一般数学模型表达形式：在simulink-continues中可以找到，双击可以对传递函数进行更改（通过设定系数）。 示波器：在simulink-sinks中可以找到。
传递函数的Matlab 定义 传递函数以多项式和的形式（一般形式、标准形式）给出 10111011()m m m m n n n n b s b s b s b G s a s a s a s a ----+++=+++ 用如下语句可以定义传递函数G(s) >> num=[b 0,b 1,b 2…b m ] ；只写各项的系数 >> den=[a 0,a 1,a 2,…a n ] ；只写各项的系数 >> g=tf(num,den) 或 >>g=tf([b0,b1,b2…bm],[a0,a1,a2,…an]) 例：用Matlab 定义二阶系统 2 223()(0.6,3)2*0.6*33n G s s s ζω===++ 并用Matlab 语句绘制此二阶系统在单位阶跃信号输入下的输出曲线c(t)（即单位阶跃响应）。 （1）定义函数： >> num=3^2 >> den=[1,2*0.6*3, 3^2] >> g=tf(num,den) （2）求系统的单位阶跃响应c(t)： >> step(g) 可得到系统的单位阶跃响应 上述语句实现的功能也可以以一条语句实现： Time (sec)A m p l i t u d e
实验二用MATLAB实现线性系统的时域分析 [实验目的] 1．研究线性系统在典型输入信号作用下的暂态响应； 2．熟悉线性系统的暂态性能指标； 3．研究二阶系统重要参数阻尼比ξ对系统动态性能的影响； 4．熟悉在MATLAB下判断系统稳定性的方法； 5．熟悉在MATLAB下求取稳态误差的方法。 [实验原理] MATLAB中有两类用于求解系统时域响应的方法。 其一是利用MATLAB中的控制系统工具箱(Control System Toolbox)提供的函数（命令）； 其二是Simulink仿真，它主要用于对复杂系统进行建模和仿真。 一、用MATLAB函数（命令）进行暂态响应分析 1求取线性连续系统的单位阶跃响应的函数——step 基本格式为： step(sys) step(num,den) step(A,B,C,D) step(sys,t) step(sys1,sys2,…,t) y=step(sys,t) [y,t]=step(sys) [y,t,x]=step(sys) 其中模型对象的类型如下： sys=tf(num,den)多项式模型 sys=zpk(z,p,k)零点极点模型 sys=ss(a,b,c,d)状态空间模型
参数无t，表示时间向量t的范围自动设定。 参数有t，表示给定时间向量t，应该有初值，时间增量，末值，如t=0:0.01:2。 前5种函数可以绘出阶跃响应曲线；后3种函数不绘阶跃响应曲线，而是返回响应变量y，时间向量t，以及状态变量x。 2求取线性连续系统的单位脉冲响应的函数——impulse 基本格式为： impulse(sys) impulse(num,den) impulse(sys,tf) impulse(sys,t) impulse(sys1,sys2,…,t) y=impulse(sys,t) [y,t]=impulse(sys) [y,t,x]=impulse(sys) 3求取线性连续系统的单位斜坡响应 MATLAB没有直接求系统斜坡响应的功能函数。在求取控制系统的斜坡响应时，通常用阶跃响应函数step()求取传递函数为G(s)/s的系统的阶跃响应，则其结果就是原系统G(s)的斜坡响应。原因是，单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。4．求取线性连续系统对任意输入的响应的函数——lsim 其格式为 y=lsim(sys,u,t) 其中，t为仿真时间，u为控制系统的任意输入信号。 5．暂态响应性能指标 在阶跃响应曲线窗口，使用右键弹出浮动菜单，选择其中的Characteristics子菜单，有4个子项： ①Peak Response峰值响应，点击将出现标峰值记点，单击此标记点可获得峰值幅值，超调量和峰值时间。 ②Settling Time调节时间，点击将出现调节时间标记点，单击此标记点即可获得调节时间。 ③Rise Time上升时间，点击将出现上升时间标记点，单击此标记点即可获得上升时间。
1 实验一 离散系统的分析 一 实验目的 1．学习利用采样控制理论； 2．使用MATLAB 理论进行分析； 3. 学习利用z 变换与反变换分析离散控制系统； 二、实验步骤 1．开机执行程序 C ：＼matlab ＼bin ＼matlab.exe (或用鼠标双击图标)进人MATLAB 命令窗口; 2．运用所学自动控制理论z 变换与反变换，使用MATLAB 的基本知识分析离散控制系统的基本性质及进行控制系统的设计。 3. MATLAB 离散系统基本命令 模型转换 1）连续系统离散化 sysd=c2d(sys,T) T 为采样时间 sysd=c2d(sys,T,method) method 有四种模式： a. ‘zoh’---采用零阶保持器， b. ‘foh’---采用一阶保持器， c. ‘tustin’---采用双线性逼近（tustin ）方法， d. ‘preqarp’---采用改进的（tustin ）方法， 2）离散系统连续化 sys=d2c(sysd,T,method) T 为采样时间 例 设) 1(1)(+=s s s g ， T=0.1s , 求G(z) 键入命令：sys=tf([1],[1 1 0]); c2d(sys,0.1) %采样时间0.1s 得到离散传递函数： 当采样时间取T=1s 时： 0.004837 z + 0.004679 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.905 z + 0.9048 0.3679 z + 0.2642 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679
HEFEI UNIVERSITY 信号与系统项目设计报告 系别电子信息与电子工程系 题目项目第十题 专业电子信息工程 班级 11电子信息工程（2）班 小组成员钟文俊（1105012012）谢伟明（1105012041)授课老师纪平 完成时间 2014.01.02
用MATLAB仿真离散系统差分方程 一、设计题目 -n f - + - n n n y y n = y f (- ( )2 ) ( )1 ( 5.0 .0 ) 25 ( )1 + 系统输入序列为) f nε =。 n (n )5.0( ) ( 二、设计要求 1、试用MATLAB绘出输入序列的时域波形； 2、用MATLAB求出该系统0～20区间的样值； 3、用MATLAB画出系统的零状态响应波形。 三、功能分析 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引路系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进步再结合其他分析，得到原问题的解。 四、设计原理分析 1、差分方程定义 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 2、差分方程的意义与应用 差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似逼