中学数学建模

中学数学建模

吴文权

绪论

严士健在“数学教育应为面向21世纪而努力”的报告中指出，我国中学生所学的数学知识与学生的日常生活及他们具有的其他知识和经验的联系太少，致使应付高考几乎是他们学习数学的唯一目的，几乎没有将数学应用于实际的意识，就是升入大学以后，对于数学及其它科学的联系与应用问题也很少兴趣，无疑回给他们以后的工作带来损失。

第八届国际数学教育大会（ICME---8）也探讨了数学教育中的应用问题。而强调数学应用现已成为各发达国家课内容改革的共同特点，起主要途径有：A 、增强现代数学中更具广泛应用性的数学内容。如估算、统计、概率、线性规划、系统分析与决策、计算机应用与数据处理等，其内容与时间比例都渐增趋势。B 、改革传统的中小学数学内容。用增强应用、强调从生活实际和学生知识背景、以及其他学科中提取出问题以发展数学概念的观点，对传统的内容进行根本性的处理，如将指数函数x

a y =与细菌繁殖、人口增长、物质衰变、地震强度等相联系，一变量x 算术地增长a,2a,3a,…， na ，…；另一变量y 几何地增长

b λ，

2b λ，3b λ，…，n b λ，…，那么它们之间存在着指数函数关系a

x b y λ=.C 、开发实践环节，

如以实现，专业的课题和学生的兴趣为出发点，一切设计计划，然后分配工作，实施计划，获取所需的信息，将单项结果汇集在一起进行处理。

数学建模是实际中问题解决的一种形式，数学建模的技巧和方法正是数学家们用来解决他们在工作中碰到的问题的方法。建模方法既注重于求解的各种数学技巧，还帮助学生了解到在广泛的应用中数学有多重要。学生建模练习学到的策略和技术也容易转换到新的情形中去用，这样使他们更能欣赏到数学的威力，从而使学生既学习到了数学应用的训练，又对数学的继续学习更加有了兴趣。

以上所述，即是为什么要在中学数学教学中引入数学建模的原因，那什么是数学建模呢？

数学建模并不是新东西，自从有了数学之后，人们就用数学去解决实际问题。用数学的语言，方法去近似的刻划一个实际问题，，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程，同一个实际问题，从不同的侧面，角度去考虑或不同的数学知识就是会有不尽相同的数学模型。着就是数学模型具有创造性，艺术性的一面。列如，荷载下梁的饶度（弯曲度）在施工中的很重要的，人们可以在每次施工时选一根梁加以荷载并测量其饶度，但这样做既费时又费钱。如果有一个受载下梁的挠度的数学模型将更为方便。经过实验，观察和计算，便可得出荷载下梁的挠度模型：

挠度=EI

pL 483

其中L=梁的长度； P=荷载；

E=与梁的材料有关的弹性模量； I=与梁的横截面有关的惯性矩。

在这个例子中，挠度的模型是一个单个的方程（公式），其实大多数重要的公式实际上就是所描术的实际问题的数学模型。

实际问题当用一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（例如推理证明、计算等等）求解该数学问题并用实际情形来验证，若需要就修改数学模型并重复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模就很难完成。在数学建模过程中往往需要大量的计算，所以计算机的出现使数学建模这一方法得到了飞速的发展，计算机也是数学建模过程中必不可少的工具之一。数学建模是一个系统的过程它要利用许多技巧以及翻译解释、分析和综合的高度的认知活动。建模活动包括以下四个主要过程：

⒈问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质。

⒉假设化简过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简单化了问题的以便进行数学描述，又抓住了问题的本质。

⒊建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序（软件包）对模型进行求解。

⒋验证修改过程：检验模型是否符合实际，并对它做出解释。最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益和经济效益。

数学建模过程可用以下图解来表示图1。

图1

作为建模过程的一个例子，考虑下列例子。某制造厂每年必须生产100000件某类产品。

虽然该厂可以在一年中周期地平均生产出这些产品，但该厂想寻求一种能使成本（花费）最小的生产安排（调度）。本问题中主要的花费如下：生产启动费，每个运转期500元；每件产品的年存储费用1元。当然，可以用许多方式作出生产安排。例如，大运转期可以在年初开始，这中安排将减少生产启动费但增加了存储费用。多个生产运转周期将增加生产启动费但减少了存储费用。哪种策略将会给该厂带来最大的经济效益呢？本问题的关键在于寻求生产启动费和运转周期数目的关系，能就全部花费和运转周期数目间导出一个把它们联系起来的方程和公式吗？为了简化实际问题以便于数学描述，现给出两点假设：①每批新产品进入库存后就以均匀的速率销售出去，即当另一个运转开始的时产品已经按这个速率销售完了；

②每批生产的产品数相同，为L件，显然0

C(L)=L/2+5?107?L+5?105

这就是本问题所建立的数学模型，为一个关于L的函数。

现在来分析总花费C(L)和每批生产量L之间的关系。这可用以下两种方法来研究：

⒈计算数值表进行分析（列表法）

L/1000 C(L) L/1000 C(L)

5 512500 55 528409

1 0083

33269

2 5714

25 5 67

3 0625

35 5 88

4 5889

45 523611 95 548026

5 50550

⒉作出函数图象进行分析（图2）

从列表和图象法可以看出当每批生产为10000件时总花费最小，由此可算出每年10批，或者每37≈365/10天为一批（一个运转期）。 以上两种解法只是对模型的一种近似解法，要完成对该模型的数学分析，可以用判别式法、不等式法或微积分法。 ⒊ 利用判别式求解 去分母、整理得

010)210(862=+-+L C L

∴△=（10C 26

-）2-4*108≥0 解得

C ≤5*104

5

10-或C ≥5*104

5

10+。

因要求C(L)的最小值，所以应取C ≥5*104

5

10+，即C(L)的最小值为510000，此时L=10000.

⒋ 利用不等式求解

C(L)=L/2+5*105

7

10*5/1*+L

≥2L /1*10*5*2L/7+5*105 =510000

当且仅当L/2=5*10L /1*7

即L=10000时取等号。即L=10000是C(L)的极小值点。

⒌ 利用微积分求解

由)(L C '02/1/10*52

7

=--=L 得L=10000

又因为)(L C ''3

8/10L =>0

故L=10000是C(L)的极小值。

值得提出的是，由以上分析，厂家若选一个运转期（1年）而不是最佳的10个运转期，那么厂家将蒙受40500元损失。随便指出，以上五种对模型的求解方法，分别适用于从初中到高中不同年级教学的需要。

那怎样将数学建模掺合到中学数学中去呢？

首先，从根本上说，数学教育改革的关键在于提高教师的业务水平。反应到本问题上，就是教师应学习数学建模，了解数学建模的方法和步骤，并通过学习逐渐能自己设计和开发数学建模练习问题。这就需要有一本可供中学数学教师阅读和学习的全面、系统地讲述中学数学理论的书。这就是我们编写此书的目的。 其次，就是数学建模内容要进入中学课堂。这可以先从数学课外活动这种形式开始，从中吸收经验，积累素材，进而再将数学建模问题的整个解决过程加以分解，放到正常教学过程的局部环节上进行教学，这是中学进行数学建模教学行之有效的方法之一。当然，最根本的还是应改革现行中学数学课程体系，使数学建模的方法和理论成为其

体系的一部分。

第一章 函数模型

在对实际问题进行分析时，要参看问题的实际背景，引导学生透过实际背景看到问题的数学本质。在现实生活中，有许多问题，往往隐含着函数关系，通过对问题的分析，引入适当的变量建立这一问题的目标函数，再通过对函数的某些性质的研究使问题得以解决。一般说来，实际生活的最小造价、最佳投资、最大利润、最短路程等许多问题都建立函数模型而转化为有关函数的最值问题。

第一节 初等函数模型

初等函数主要包括： 一次函数 y=ax+b(a ≠0)

二次函数 y=ax c bx ++2

（a ≠0） 指数函数 y=a a x

(>0，a ≠1） 对数函数 y=loga x (a >0， a ≠1) 幂函数 y=x a

以及它们的有限次复合和四则运算。

如果已知一个实际问题的数学模型是初等函数模型，那么应该注意两个问题，一个是要确定模型中函数的各常系数，一般采用待定系数法；另一个是尽量画出函数的图象，借助直观的函数图象来帮助求解，则更易。

例1 四川长虹集团公司计划出售29寸“长虹牌”纯平彩电。该彩电的市场价为3280/

台，成本价按市价扣去25%，为了便于营业，公司希望定一新价，以便按新价八折优惠销售后，可获得售价18%的利润。试问： (1)新价是多少？折合后的售价是多少？

(2)为使今年按新价让利销售后的获利总额不低于50000000元，该公司在今年内至

少应销售多少台这种彩电？

[分析] 不难看出，该彩电正处于完全竞争市场。市价3280/台，就是该彩电的市

场认可价格，该公司按此价销售边能获得较大利润。但是，为了吸引更多顾客来购买该公司的产品（包括其它产品），可制定新价或采用折价优费销售等最有效的心理方法来表达产品的价格。

欲求新价、售价及销售量，关键是要分析各种量及其关系。特别要注意分析新价与市价、总利润与销售两之间的关系。然后正确运用函数或方程的思想解决问题，为了便于分析，列出下表（未知量先用字母表示）

解 （1）设新价为a 元，由题意及上表可得：

a ·80%-3280（1-25%）=a ·80%·18% 解这个方程得：

a=3750；a ·80%=3000。即新价是3750元/台，折价后的售价是3000元/台。

（2）由总利润=（售价-成本价）*销售量，得总利润y 与销售量x 之间的函数关系是

y=（3000-2460）x=540x （x ≥0）

要使获利总额不低于50000000元，就要使y ≥50000000即540x>50000000解之得x ≥92592.5，即为使今年按新价八折销售后的获利总额不低于50000000元，该公司在今年内至少应销售92593台这种彩电。

说明 本题通过量与量之间关系的探索，发现总利润与销售量之间的关系是一次函数：y=540x （x ≥0），这说明销售量越大，总利润就越多。实际问题（生活）中，还有投资与产值之间，简单的决策问题等也满足一次函数关系。 例2 如何定价，总利润最大

四川长虹集团公司计划在今年独家推出51寸“长虹牌”背投式彩电。该彩电的总成本是

（2）年最大利润是多少？获得最大利润时的销售量是多少？ [分析] 根据题意知该彩电处在垄断竞争市场，公司有权自己定价以谋求最大利润，但是定价必须慎重。作为总经理必须明白，在这种情况下产品的需求曲线是一条向下倾斜的曲线，并且随着价格的微小变化，销售量可能变化很大。因此定价的关键是确定（或估计）需求关系，求获得最大利润的价格的方法是： 第一步：根据试销情况确定（（或估计）需求关系； 第二步：确定总利润与销售价之间的函数关系；

第三步：用求函数最大（最小）值的方法，确定价格。

解 将试销所得的销售价与销售量的每对对应值用点A 、B 、C 、D 、E 分别表示在坐标平面上，可以看出这些点大致成一条直线l ，所以所求的需求关系（近似）为一次函数关系。为了保证所求的函数关系较为准确，选直线上距离较远的两点A(10000,255000),E(14000,55000),当然，也可用最小二乘法类确定。设所求的直线方程是y=kx+b 。把A 、E 点的坐标代入，得方程组：

?

?

?+=+=b k b

k 140005500010000255000

解得 ??

?=-=755000

50

b k

于是销售量y 与每台销售价x 之间的函数关系是

y=-50x+755000 设总利润为Z 元。由总利润=单台利润*销售量，所以

Z=（x-7260）（-50x+755000）

=-50（x-11180）2

+768320000

由销售量y 为正整数，即y=-50+755000>0，得x<15100；又因为该彩电属垄断销售，销售价

应大于成本价，得x>7260。所以可知7260

于是对（2）式而言，当x=11180时，Z 取最大值768320000。将x=11180代入（1）式，得y=196000。

由以上，得到以下结论：为在今年内获得最大利润，销售价应定为11180元/台；年最大利润是768320000，获得最大利润时的销售量是196000台。

说明 在正常情况下，需求和价格是反向关系，即价格越高，需求越低（如图1-1）。本题根据市场调查研究资料，应用待定系数法求出这个需求关系，从而得到总利润与价格之间的关系是二次函数关系（如图1-2），应用配方法，就可求出能获得最大价格。但这时应特别注意确定函数自变量的取值范围。本题也可以用图象法来估计这个价格：取几个样本价格画出这个抛物线，找出它的最高点，就能发现最适宜的价格。 由本题可知，定价的高低直接影响到企业的经济效益，高价低量所得到的利润很可能小于低价高销售量所得到的利润。因此要认真考虑市场价格的反应，利用数学的思想方法进行价格决策。

例3 怎样养鱼产量最高

某渔场中鱼群的最大养殖量为一定值m 吨。为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。由长期的统计数据可知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，要想鱼群的年增长量最大，实际应养多少鱼？

[分析] 这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值m 吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。

解 设实际养殖量为x 吨，年增长量为y 吨，则空闲量为（m-x ）吨，空闲率为

m

x

m -。由题意建立目标函数为 y=kx ·

m x m -=-kx x m k +2

=-为比例系数）

,0(4

)2(2>+-k km m x m k 因为x ∈[0，m ），故上式当x=m/2时，y 取最大值km/4.

即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量（年产量）最大，最大增长量为km/4吨。 再由年增长量应小于m/2,即由0≤

2

4m

km <可得，比例系数的取值范围是k ∈[0，2）

说明 本例与都建立了二次函数模型y=k （x-p ）q +2

，并利用二次函数求最值的方法

使问题得以解决。应说明不同的实际问题可以建立相同的数学模型，也说明，学生可将学到

的数学建模方法稍加改造就可应用到新的环境中去解决其它相似的实际问题。如本例中，由二次函数模型知，在渔场中养鱼并非是养得越多越好，同样，地里种庄稼也是这个道理，种得越密反而会下降。

对于二次函数模型，应注意自变量x 的取值范围[x1，x2]，若p ∈[x1，x2]，则应考查f(x1),f(x2),f(p)三个值，其中最大者为函数在此上的最大值，最小者为函数在此区间上的最小值；若p ]2,1[x x ?，则考查f(x1),f(x2),最大的一个为函数在此区间上的最大值，最小的一个为函数在此区间上的最小值。

例4 生物体内的放射性物碳C 14不断衰变，其半衰期为5570年。我国出土一些古莲子，测得其残余量与原始量之比为87.9%，请计算这些古莲子是多少年前的遗物？

[分析] 此题属放射性元素衰变问题 ，满足指数函数模型：

x=x 0kt

e

-

其中k 为常数，x 0为放射性物质的原始含量，x 为其t 年后的残余含量。 解 由已知，C 14的半衰期为5570年，得

55700

5.0?-==k e x x

410*244.15570

6930

.055705.0ln -=--=-=

∴k

又由题意得

t e x x

410*244.10

%9.87--==，

103710*244.1129.010

*244.1879.0ln 4

4

≈--=-=

∴-t 即这些古莲子大约是1037年前的遗物。

说明 本题在解题过程中应用了对数计算，需要使用计算器。其实，实际问题中的数据都比较大，计算过程也比较复杂，往往需要使用计算器或计算机，这也说明计算器和计算机进入中学课堂的必要性。

本题建立了指数函数模型，其它如细菌繁殖，人口增长，地震强度，存款（复利）利息等都可建立指数函数模型。这类问题有时也可建立数列模型类求解。

例5圆柱形的桶（有盖）其体积为定值V ，最好的 圆桶应该怎样设计？

[分析] 什么样的圆桶才算好？应该按怎样的标准将圆桶彼此比较？即优化目标是什么？

方案一：最好的圆桶应具有最小的面积S 。即制造时所用的马口铁最少；

方案二：最好的圆桶应具有最短的接缝l 。接缝需要焊接或卷边，我们想使这项工作最少；

方案三：最好的圆桶应使总造价p 最少。即要同时考虑材料费和接缝费。 解 设圆桶的表面积S ，接缝总长l,底面半径为x ，高为y 。 研究方案一： V=y x 2

π ①

)(22

xy x S ππ+=∴ ②

由①得

x

V xy =

π 代入②式，得

S=2()2

x

V

x +

π ③ 本题的目的，在于找出表面积S 最小时，圆桶的底面积和高的关系。 考虑③式，其中

x

V

x V x x V x 2222+

+=+

ππ

定值）(22

32233

232V x V

x V x ππ=

?

?

≥

上式当且仅当时取等号。即32

2,2x

V x x V x ==

π 将x=代入3

2x

V

①式，得

y=23

2x

V 于是有y ＝２x 。

这就是说，当圆桶的高等于底面直径时用料最少。

研究方案二：

y x V 2π= ④

y x l +=π4 ⑤

由④式，得

y ＝

2x

V π 代入⑤式，得

2

4x V

x l ππ+

= ⑥ 本题的目的，在于找出接缝最短时，圆桶的底面半径与高的关系。 考虑⑥式，其中

４2

222x

V

x x x V x πππππ++=+

≥３2

22x V

x x πππ?

?

＝３34V π（定值）

上式当且仅当２2

x

V x ππ=，即x ＝3

4V π时取等号。 将x ＝π

213

4V π代入④式，得

π=x

y

2

这就是说，当圆桶的高和底面直径之比为π时接缝最短。

研究方案三：

设马口铁每平方米a 元，接缝费每米b 元，圆桶总造价为p 元。则

V=y x 2

π

P=as+b l

=2a )4()(2

y x b xy x +++πππ

求解本题的目的，在于找总造价最少时，圆桶的额底面半径和高的关系。但由于本问题用中学数学求解相当难，所以只要求建立数学模型就够了。

说明 本问题的关键是寻找最好圆桶的优化目标，然后根据优化目标来建立函数关系。本题所建立的函数牵涉两个变量，这就是要利用题目中的约束条件（圆桶体积是定值）来消去一个变量。约束条件就是自变量字实际问题中的取值范围和各自变量之间存在的某种关系。比如，方案一的数学模型可写为：

min. S = 2（)2

xy x ππ+ s . t. x ，y ＞0 V x =2

π 本问题最后归纳为求形如x f (）=a x 为常数，

c b a c x b

n

m

,,(++

a ＞0，

b ＞0，m , n 为正整数，x ])[2,1x x ∈的函数的极值问题。下面我们将对这个函数的极值问题加以讨论。

先求满足s m =t n 且（s , t ）=1的正整数s , t ，则 )(x f =a x

c x

b

n m

++

=c x

t b x s a t

j n

s

i m ++∑∑==111

≥c x t b x s a t s t s s

i t

j n

m +?++==∏∏11

)1

()()( =)

(t s +c t

b

s a t

s t s ++)()(（定值） 上式当且仅当n

m x t b x s a 1=既x = n m ta sb +时取等号。 又

,)(,)(lim lim 0+∞=+∞=+∞

→→+

x f x f x x 所以函数)(x f 的图象如下图1—3。

图1—3

其函数图象与二次函数极为相似，都只有一个极值点，极值点两边都是单调曲线，故此函数的最值可参照前面例3求二次函数最值的方法去求。

例6 如何存款利息最多

我国银行的存储率按存期的长短而不同，存期越长，利率越高。下表是1993年11月以

假设有一笔钱，数量为0A 元，打算存入银行，存期为x 年。我们可以先存1x 年，到期后取出，把本金和利息又一起存入，存期为2x 年，如此继续。这样，存款的方式可以有多种，但究竟以怎样的方式存款，所得的利率最多呢？再去查查今年定期储蓄的利率，以它算算应该怎样储蓄利息最多，并与1994年定期储蓄利率相比较，找出它们之间有什么不同。 [分析及建模] 我们记存款方式为(。，，，，其中}85321{,),,,,1

21∈=

∑=x

x x x x x k

i i k 按

照这种方式存款为x 年后，所得的利息),,,(21k x x x f 可按下式计算： )

()](1[)](1)][(1[),,,(021021*-+++=A x g x g x g A x x x f k k 其

中

),,2,1)((k i x g i =是存期为i x 年的到期利率。为简单计，以下都取.10=A

当x 的值很大时，可能的存款方式也就很多。若把它们一一算出，然后比较，显然很麻烦。现在，我们根据)(*式来确定一些寻找最佳存款方案的原则： （I ）(f ),,,),,,2121k k x x x x x x 与（的顺序无关；

（II ）将存款次数减少，如将k k x x 与1-合并为一次，记为,11k k k

x x x +='--其中∈'-1k

x {1，2，3，5，8}，如果(f )1-'k x ＞),(1k k x x f -，则 ),,,,(1221--'k

k x x x x f ＞),,,,(121k k x x x x f - 。 根据这两条原则，可以采用逐步合并的方法来讨论最佳存款的问题。

解 当x =2时，有（1，1）和（2）两种存款方式，根据（*）式得 2316.01)1098.01)(1098.01()1,1(=-++=f 可知)2(f ＞)1,1(f 。既当x=2时，最佳存款方案为2年。

当x =3时，由原则（I ），有（1，1，1），（2，1）和（3）三种存款方式。由前面已得)2(f ＞)1,1(f ，再由原则（II ）可知)1,2(f ＞)1,1,1(f ，于是只需比较)1,2(f 和)3(f 。

3695.01)1098.01)(2340.01()1,2(=-++=f x 3672.013672.01)3(=-+=f

可知)1,2(f ＞)3(f 。既当x =3，最佳存款方案为（2 ，1）或（1 ，2）。

以此方法，并逐次利用前面的结果，容易得到x 为任何值时的最佳存款方案。

为清楚起见，可将合并过程按顺序写出，根据前面已有结论和原则？进行比较，然后用不等式连接。

如当x =4时，有

)1,1,1,1(f ＜)1,1,2(f ＜)2,2(f ∨ )1,3(f 当x =5时，有

)1,1,1,1(f ＜)1,1,1,2(f ＜)1,2,2(f ＜)5(f ∨ ∨ )1,1,3(f )2,3(f 只要顺着不等式方向找去，便可找到最佳存款方案。

说明 按照通常的想法，似乎是依次选择存期长的存款，所得到利息多。如共存3年应选择（3），共存6年应选择（5，1），然而并非如此，问题出在哪里出在3年期的利率定得低了点，以致出现了)3(f ＜)1,2(f 。定期储蓄的利率结构应能体现“较长的存期有较多的利息收入”的原则这就是利率结构的相容性，既：相容的来历率结构应能确保任何一种n 年期的存款所得利率要比采用较短存期或其它组合在n 年间反复存储，并在续存时把利息合并入本金的方式所得到利息为多。本题选择的定期储蓄利率就违背了相容性原则，由于)3(f ＜

)1,2(f ，就会出现3年的存款档次因无人光顾而形同虚设，妨碍了对社会资金流向的正确