人教版九年级数学下册教材分析
人教版《义务教育课程标准实验教材·数学》九年级下册，是本
套教材中的最后一册。这册书包括 4 章，约需 48 课时，供九年级下学
期使用。具体内容如下：
第 26 章二次函数（约 12 课时）第 27 章相似（约 13 课时）第 28 章锐角三角函数（约 12 课时）第 29 章投影与视图（约 11 课时）
一、内容分析
第 26 章二次函数
本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。这些内容分为三节安排。
第26.1 节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和
归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由特殊到一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本
性质探究最大（小）值的问题。这些内容都是二次函数的基础知识，它们为后面两节的学习打下理论基础。
第26．2 节“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体（例
如高尔夫球）的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来
求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同
情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介
绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
第26．3 节“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教材从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
本章教学结束之后，学生在已经学习了一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数，这些都是代数函数，即解析式中只涉及代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的函数。至此，学生对函数的认识已告一段落。本册书后面的第 28 章“锐角三角函数”讨论的则属于超越函数。
第27 章相似
本章的主要内容包括相似图形的概念和性质，相似三角形的判
定，相似三角形的应用举例和位似变换等。此前学习的全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似是比全等更具一般性的图形之间的关系。全等可以被认为是特殊的相似（相似比为 1），对于全等的认识是学习相似的重要基础。
本套教材从第八章“全等三角形”开始，在学习要求上已进入推
理证明阶段。本章的学习应在前面已有基础上继续进行必要的推理证
明，但要把握问题的难度，不宜证明难度较大的题目，而把证明的重点放在帮助学生理解基本定理的合理性之上。
第27.1 节“图形的相似”从学生熟悉的一些实际问题说起，引
出相似图形的概念，以及相似多边形的概念、性质等，使学生对相似先有一个一般性的认识。
第27.2 节“相似三角形”的内容是讨论最基本的多边形──三角形的相似关系，这是认识相似关系的基础，也是本章的重点内容。教材首先安排了证明了“过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似”，然后将其推广到更一般的结论“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。在此基础上，教材安排了三个探究问题，引导学生得出相似三角形的三种主要判定方法。教材对于其中第一个问题进行了推导证明，另两个问题的推导证明安排学生自己完成。接着，教材通过三个例题讨论在测量中如何利用相似三角形的知识，这些例题代表了测量中的常见典型问题。本节最后安排了相似三角形的周长和面积问题。
第27．3 节“位似”讨论一种图形变换──位似变换。位似是一种特殊的相似，它的特殊性表现在“两个相似图形的对应点的连线都交于一点（位似中心）”。教材安排了利用坐标描述位似变换的内容，这是数形结合方法的体现。本套教材中先后共出现了四种图形变换：
平移、轴对称、旋转和位似，本节最后安排了一幅包含这四种变换的图案，学生通过思考图案中的问题，可以对四种变换进行综合回顾。
第28 章锐角三角函数
本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数。解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与第 18 章“勾股定理”和第 27 章“相似”有密切关系。
锐角三角函数是本套教材中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开。锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值。学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入。
第28.1 节“锐角三角函数”中，教材从沿山坡铺设水管的问题谈起，通过讨论直角三角形中直角边与斜边的比，使学生感受到锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，这种对应正是函数关系。教材设置了“探究”栏目，让学生通过自主探究，利用相似三角形得出结论，由此引出正弦函数的概念。在此基础上，引导学生类比对正弦函数的讨论，得出余弦函数和正切函数的定义。接着教材讨论了“已知角的大小求它的三角函数值”和“已知角的三角函数值求角” 这两种问题，这样就从两个相反方向再次强调了锐角与其三角函数值之间的一一对应关系。现在计算器已经成为
学习和运用三角函数的有力工具，教材在本节最后介绍了如何使用计算器求三角函数值以及如何由三角函数值求对应的角。
第28.2 节“解直角三角形”中，教材借助实际问题背景，要求
学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，并归纳出解直角三角形常用的知识和方法。接着教材又结合四个实际问题介绍了解直角三角形在实际中的应用，这些问题的已知条件分别属于几种不同类型，解决方法具有典型性，体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后通过对比测量大坝的高度与测量山的高度，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整” ，“化曲为直，以直代曲” 的数学基本思想。
第29 章投影与视图
本章的主要内容包括投影和视图的基础知识，一些基本几何体的
三视图，简单立体图形与它的三视图的相互转化，根据三视图制作立体模型的实践活动。全章分为三节。
第29.1 节“投影” 中，首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。
第29.2 节“三视图”讨论的重点是三视图，其中包括三视图的
成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，
最后通过 6 道例题讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。
第29．3 节“课题学习制作立体模型”中，安排了观察、想象、制作相结合的实践活动，这是动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方
式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握
以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。
与本套教材其他章相比较，本章内容有两个特点：第一，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计
算。第二，它将平面图形与立体图形紧密地联系起来，从“由物画图”和“由图想物”两个角度讨论平面图形与立体图形之间的相互转化，
对于培养空间想象能力具有特殊作用。
二、教学建议
1．温故知新，与时俱进，加强新旧所学内容的联系，在新的高
度上提高对所学知识的整体性认识
本册书是本套教科书中的最后一册，学习其中各章时应关注它们与此前已经学知识的联系，既要温故知新，又要与时俱进，在新的高
度上对所学内容加以梳理，提高对所学知识的整体性认识。
第26 章“二次函数”，是本套教科书继研究一次函数、反比例函
数后以基本代数函数为研究对象的又一章。它的编写思路、内容结构等与前面的“一次函数”、“反比例函数”有许多相似的地方，都反映了“变化与对应”的基本观点，都体现了函数是解决变量间存在单值对应关系的数学模型，都渗透了综合运用函数解析式和函数图象的数形结合研究方法。本章的教学应注意在前面已学内容基础上学习新知识，同时应继续加深对函数的一般性认识。第 27 章“相似”中
的27 .3 节“位似”讲的是本套书中的第四种图形变换，此前先后已经学习的三种图形变换为平移、轴对称、旋转。对于这一节的教学，除要紧紧抓住相似形的相关知识外，还应在学生对图形变换已有一定认识的基础上，继续渗透图形变换的本质（即点到点的映射）的观点，将图形变换与其坐标变换联系起来，并对四种图形变换进行综述与比较。第 28 章“锐角三角函数”的教学中，应注意将此前学习的三角
形、相似等几何知识与函数知识结合起来，认识锐角三角函数的本
质，即以锐角为自变量，直角三角形中相应边的比为因变量（函数）的初等函数。第 29 章“投影与视图”的教学中中，应注意将重点放在培
养空间想象能力上，在学生已有的有关投影和视图投影和视图投影和
视图的初步感性认识（从不同方向看物体的感觉等）的基础上，适当引入投影与视图的基本概念，归纳正投影的基本规律，借助直观模型说明问题，结合实际例子讨论问题，作好由感性认识到理性认识的过
渡，着重反映平面图形与立体图形两者的联系与转化，并揭示出这些
联系与转化的基础是投影规律。
综上分析，本册书的教学应结合学生的实际情况，对以前所学内容进行适当复习，加强知识间的相互联系与综合，在学生已有经验的
基础上进行教学，使学生的学习形成正迁移。同时应注意进行适当的
归纳总结，加深和完善对初中阶段知识的整体性认识。
2．直观实验与逻辑证明相结合，适度地培养推理能力
本套教科书对于推理能力的培养有循序渐进的整体设计，即按照“说点儿理”、“说理”、“简单推理”、“用符号表示推理”等不
同层次分阶段逐步加深地安排。本册书是九年级下学期的用书，一方面，对于学生的推理能力的要求，应在前面已有高度的基础上以“一
以贯之”的精神来处理，即保持已有水平并适度地使之发展。另一方
面，本册书的知识内容的难度和综合性较前面几册要高，例如相似要比全等复杂，锐角三角函数要以相似三角形为基础，投影与视图不仅与平面图形相关，而且要涉及立体几何中的一些基础知识，其中包括空间中直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与
平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），因此对本册书
中问题的推理要求应适度。
教学中，对本册书所有内容都完全纯粹地按照严格逻辑证明来要求是不合适的，对于某些内容可以采取直观实验与逻辑推理相结合的方式。例如，认识相似三角形的判定条件时，可以先通过画图和度量等实验手段得出猜想，然后再经过逻辑推理证明猜想，得出确切的判定条件。这种方法不是先由教科书或教师直接告诉学生结论，然后再去证明它，而是先用直观实验发现结论，在经过推理肯定结论。又如，
学生学投影与之前缺乏立体几何的系学，而学中又不可避免地涉及立体几何中的一些基知，解决个的比好的
做法是重相关内容与的系，在不刻意追求抽象概念有透
理解的前提下，一些例，利用直的、感性的，使学生能
合例子了解基本空位置关系。教学中可以地展示模型，利用直演示，比几种不同的空位置关系，使学生能系例子
到“像??那，就是一条直平行（或垂直，或斜）于一个平面”
等。需要指出，推理不完全限制在明之中。然第 29 章“投影与”中内容要完成的目多是、画、制作模型等型的，很少涉及定量的算，也没有形式上的明，但是其中多需要以形象行想象和分析，判断三与立体形之的关系，确定立体形各部分的相位置关系，得出形的整体形状等，些都需要根据一定道理下，上包含了推理的成分。再如，在解直角三角形的学中，然大量的是算，但是些算都是建立在形行了必要的分析的基上的，算程中含了推理。之，本册中多涉及推理，教学中既要注意一步培养学生的推理能力，使初中生的数学推理水平达到有高度，又要注意掌握推理的方式、数量和度。
3．重信息技的用
在教学中，有条件的学校是要重信息技工具的使用。用
某些算机画件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数
的象，而从象探索二次函数的性。例如，用算机件画出
2
函数 y=ax +bx+c的图象，拖动图象上的一点P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就
是说，当 x 取这点的横坐标时， y 有最小值或最大值；当x 小于这点的横坐标时， y 随 x 的增大而减小（增大），当x 大于这点的横坐标
容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程ax2+bx+c=0，只
要用计算机软件画出相应抛物线 y=ax2+bx+c，再让计算机软件显示抛
物线与 x 轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。
利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。例如，许多相似图形的性质都可以利用计算机软件设置一些探究活动，再利用一些软件的测量功能，让图形动起来，在这种运动变化中发现图形的性质。如发现相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质，探索相似三角形的判定方法等方面，信息技术工具都能发挥其应有的作用。