第十章 含有耦合电感的电路
本章重点：
1.互感及互感电压
2.互感线圈的串并联
3.理想变压器的变换作用 本章难点：空心变压器的等效电路 本章内容
§10-1 互感
1、概念：互感、总磁链、同名端。
2、耦合线圈的电压、电流关系） 设,u i 为关联参考方向： (1) 121111u u L u +=±==
dt di
M dt di dt d 211ψ 222122u u L u +=+±==
dt
di
dt di M dt d 212ψ 式中：u 11=L 1
dt di 1 ，u 22=L 2dt di 2称为自感电压； u 22=±M dt di 1，u 12=±M dt
di
2称为互感电压(互感电压的正负，决定于互感电压“+”极性端子，与产生它的电流流进的端子为一对同名端，则互感电压为“+”号). (2) 相量式
1212111j L L M U I j M I jX I J Z I ωω?
?
?
?
?
=±=+ 1221222j L L M U M I j I jX I J Z I ωω?
?
?
?
?
=±+=+
式中M Z j M ω=为互感抗。 3、耦合因数：
1def
k ==
=≤
§10-2 含有耦合电感电路的计算
1、耦合电感的串联
(1)反向串联：把两个线圈的同名端相连称为反接。由(a)图知：
111
11(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++
22222(L -M )=(L -M)di di di
u R i R i dt dt dt
=++
122212()(L +L -2M)di
u u u R R i dt =+=++
其相量式为(b 图去耦等效电路)
12
12()(L +L -2M)U R R I j I ω=++&&& 1212()(L +L -2M)Z R R j ω=++
(2)顺向串联；把两个线圈的异名端相连，称为顺接。 1212()(L +L +2M)Z R R j ω=++ 2、耦合电感线圈并联
(1)同侧并联电路：把两个耦合电感的同名端连在同一个结点上，称为同侧并联电路，由(a)
图得：
?
?
?
1211( )U R j L I j M I ωω=++；
?
?
?
1222 ()U j M I R j ML I ωω=++
i + ??
R 1
R 2
L 1
L 2
+
+ —
—
—U 1 U 2
i + R 1 R 2
L 1-M
L 2-M
+
+ —
—
U 1
U 2
—
(a)
(b)
i
?
+ —
???U
&j M ω1j L ω2
j L ω3I &1I &2
I &1R 20
?
+
—
?U
&3
j L
ω()
1
j L M ω-()
2
j L M ω-3I &1
I &
2
I &1R 2
R 0 （a ）
（b ）
① ① 1'
得到无互感的等效电路(或称去耦等效电路)， 则： 3111=j M [R +j (L )]U I M I ωω?
?
?
+-
3222=j M [R +j (L )]U I M I ωω?
?
?
+-
如图（b ）
(2)异侧并联电路：异名端连接在同一结点上时，称为异侧并联电路。
?U =(R 1+j ωL 1)?I 1-j ωM ?
I 2 ?U =-j ωM ?I 1+(R 2+j ωL 2)?
I
2
由去耦等效电路得
()3111[]U j MI R j L M I ωω?
=-+++&& ()3222
[]U j MI R j L M I ωω?=-+++&&
§10-3 空心变压器
原边回路阻抗1111Z R j L ω=+；副边回路阻抗2222L L Z R j L R jX ω=+++ M Z j M ω= 原边输入阻抗为2
1122
1
()Z M Z ω+ 戴维宁等效阻抗(从副边看进去)2211
1()eq L Z R j L M Z ωω=++
§10-4 理想变压器
L
jX 1
I &R 2
R 1
2
j L
ω1
j L
ω2
I &11'
2
2'
+
+
-
-
j M
ω1
U &2
U &图10-5 空心变压器电路模型
:1
n 1i 2
i 1
u 2
u +
—
+
1N 2N
1、变压和变流作用
1
1222
N u u nu N =
= 212211N i i i N n
=-
=- 2、阻抗变换作用
2121112
1L U nU Z n Z I I n
'===-&&&&
典型习题
习题10-2 两个具有耦合的线圈如图所示，
(1)标出它们的同名端；(2)当图中开关S 闭合时或闭合后再打开时，试根据毫伏表的偏转方向确定同名端。
解：(1)根据同名端的定义和两个线圈的绕向，采用题10-1种的分析方法，判定同名端为(1,2),如题10-2图中所标示。
(2)图示电路是测试耦合线圈同名端的实验线路。当开关S 迅
速闭合时，线圈1中有随时间增大的电流1i 从电源正极流入线圈端子1，这是
1()
0di t dt
>，则毫伏表的高电位端与端子1为同名端。当开关S 闭合后再打开时，电流1i 减小，毫伏表的低电位端与端子1为同名端。
注：从耦合线圈同名端的规定(见10—l 题解)可以得出如下含意：(1)耦合线圈的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中电流参考方向如何假设无关；(2)当两电流均从同名端流人(或流出)，两线圈中的磁通是相助的，两线圈上的自感压降和互感压降方向一致。正确理解同名端的含意，对正确判定耦合线圈的同名端和正确书写耦合线圈上电压、电流关系式是至关重要的。
习题10-7 图示电路中121R R ==Ω，13,L ω=Ω2,M ω=Ω1100U V =。求：(1)开关S 打开和
闭合时的电流1
I &；(2)S 闭合时各部分的复功率。
1
I &U
&j ωL 1
R 2
R 1
2L U &2
j L ωS
j M
ω1
I &U
&+
R 2
R 1
()
2
j L M ω+S
1ω题10-7图
题解10-7图
+
—
—
解：本题可用去耦等效电路计算。等效电路如题解10-7所示，设1
1000U V =∠?&，则：(1)开关S 打开时
1
1
1212100010010.8577.47(2)299.2288.47U I A R R j L L M j ω∠?====∠-?+++++∠?
&&
开关闭和时
1
1
1122(2)[()]//100043.8537.8815(14)//(2)
U I R j L M R j L M j M
A j j j ωωω=+++++-∠?
==∠-?+++-&&
(2)开关S 闭合时，电源发出的复功率为
*11
10043.8537.88438537.88S U
I V A ==?∠?=∠?&&g 因此时，线圈2 被短路，其上的电压20,L U =&则线圈1上的电压11,L U U =&&故 线圈2吸收的复功率为：20L S =
线圈1 吸收的复功率为：143.8537.88L S S V A ==∠?g
习题10-11 图示电路中0.04M H =0。求此串联电路的谐振频率。 解：该电路的耦合电感为顺接串联，所以其等效电感eq L 为
1220.10.40.80.58eq L L L M H
=++=++=
故，此串联电路的谐振频率为：011
41.52/0.580.001
eq rad s L C ω===?
习题10-12 求图示一端口的戴维宁等效电路。已知1210,L L ωω==Ω5M ω=Ω，
126,R R ==Ω160U V =(正弦)
R
U
&+
—
M
0.1H
0.4H
0.001F
题10-11图
1
R 1
U &R 2
题10-12图
j M
ω1
j L
ω2
j L ω+
+
+
—
— —
21M U &OC
U &1
1’
题解10-12图
1
R 1
U &R 2
j M
ω()
1
j L M ω-()
2
j L M ω-+
·
+
—
—
OC
U &1
1’
Z 1
解：用去耦等效电路计算。
令1600,U V =∠?则开路电压OC
U &为 21
12165300()1210
OC
R j M U j U V R R j L M j M j ωωω++===∠?++-++&&（）
等效阻抗eq Z 为
2112()[()]//()
eq Z j L M R j L M j M R ωωω=-++-+
5(5)//(5)(37.5)j f j f j j =+++=+Ω
习题10-18 图示电路中的理想变压器的变比为10:1。求电压2
U & 解:本题可用两种方法求解
解法一：设电流12,I I &&和电压12,U U &&参考方向如图所示，列出图示电路的KVL 方程
11
2
2
100500
I U U I +=∠?+=&&&&
根据理想变压器的VCR ，有
12
12
10110
U U I I ==-&&&& 将方程式(3)和(4)代入到方程式(1)中，得
222
11010010
1000.9998010.002
I U U V -
+=∠?∠?==∠?&&&
解法二：题解10-18图为理想变压器原边等效电路，图中等效电路电阻R eq 为 2e R 100505000q L n R ==?=Ω
故 e 1
e R 1009.99801R q q U V =?∠?=∠?+& 又根据理想变压器VCR 中的电压放程
12
10U U =&& 10:1
I &2
&1
U &
2
U &+
—
+
+
—
—
—
Ω100V ∠o 1Ω题10-18图
+
+
-
-
1
U &e R q
1Ω
100V
∠o 题解10-18图
又可求得电压2
U &为 21
10.9998010
U U V ==∠?&& 注：理想变压器是在耦合电感元件基础上加进3个理想化条件而抽象出的一类多端元件。 这三个理想条件是：(1)全耦合，即耦合系数1k =；(2)参数无穷大，即12,,L L M →∞，但满足1
2
L L =常数；(3)无损耗。在这三个理想变压器元件如下主要性能：
㈠)变电压。即元件的初、次级电压满足代数关系1
1221N u u nu N =±
=± (n 为初次级线圈匝数比)。 (2)变电流。即元件的初、次级电流满足代数关系121
i i n
=±。
(3)变阻抗。即由理想变压器初级端看去的输入阻抗为2
in L Z n Z =。
(4)理想变压器在任何时刻吸收的功率为零，是不储能、不耗能、只起能量传输作用的无记忆元件。
第10章含有耦合电感的电路 重点： 1.互感和互感电压的概念及同名端的含义； 2.含有互感电路的计算； 3.空心变压器和理想变压器的电路模型。 难点： 1. 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； 2. 含有耦合电感的电路的方程； 3. 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 预习知识： 电磁感应定律 §10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有 磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1 中通电流i1 时，不仅在线圈1中产生 磁通f11，同时，有部分磁通 f21 穿过临 近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i2时，不仅在线圈2中产生磁通f22，图 10.1
同时，有部分磁通 f12穿过线圈1，f12 和f21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12和 M21称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义 一般有： 当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。 耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：
第十章 含有耦合电感的电路 §1. 耦合电感器与互感电压 一、耦合电感器 ──如果电感器L 1，L 2之间有公共磁通相交链，这两个电感器就构成一个耦合电感器。 1、11φ21φ1L φ 电感器2与1的互感（mutual inductance ） 1 21 212121i N i M φψ=? 注2，21φ的方向与电感器2导线的绕向无关。 2 2’
1=k ──全耦合电感器（相当于021==L L φφ无漏磁通） 实际中： 当双线并绕时，耦合最强，1→k 。 当两个耦合电感器相距甚远，或彼此垂直时，其间耦合较弱，0→k 。
? ??><称强耦合时称弱耦合时,5.0,5.0k k 1ψ2ψ 1ψ13331333Mi i L -=-=ψψψ 表明：在这种绕线方式中，互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的“削弱”作用。 ΦΦ3’ 3
问题：在电路分析中，在确定互感电压时，是否一定要知道耦合电感器的实际绕向呢？ 同名端──在耦合电感器各自一个端钮上通进电流，如果它们产生的互感磁通同方向，这两个端钮就称为同名端。在同名端上打上标记“。”、“.”、“*”或“?”均可。 标有同名端，并用参数表示的耦合电感器的电路符号为： 3. 21i i 、为时变函数时： dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 2 1121111)(+=+==ψ dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 1 2212222)(+=+==ψ
当21i i 、为同频率正弦量时，在正弦稳态情况下： 2 111I M j I L j U ωω+=? 1 222I M j I L j U ωω+=? M ω──互感抗
含耦合电感的电路研究 实验报告 一、实验目的 （1）进一步认识含耦合电感电路中的互感现象。 （2）学习同名端的判断方法。 （3）掌握互感的测量方法。 二、实验原理 （1）耦合线圈同名端的测定： 直流通断法 如图（一）所示，把自感系数为L 1 的线圈1通过开关接到直流电源上，把 一个直流电流表接在自感系数L 2 线圈2的两端。在开关S闭合瞬间，自感系数 L 2 的线圈2的两端将产生一个互感电势，电表的指针就会偏转。若指针正向偏转，则与直流电源正极相连的端钮1和与电表正极相连的端钮2为同名端；若指针反向偏转，则1与2为异名端。 R 图（一）确定互感线圈同名端的直流通断法 （2）互感系数M的测量： 在图（二）所示电路中，在自感系数为L 1 的线圈中通入固定频率的正弦电 流I 1，测量自感系数为L 2 的线圈的开路电压有效值U 2 ，若交流电压表的内阻足 够大，则有U 2=ωM 21 I 1 ，因此互感系数M 21 = I U 1 2 反之，在图（三）所示电路中，在自感系数为L 2的线圈中通入固定频率的
正线电流I 2，测量自感系数为L 1 的线圈的开路电压有效值U 1 ，则有U 1 =ωM 12 I 2 ， 因此互感系数M 12= I U 21 如果两次测量时两个线圈相对位置未变，则有M 12=M 21 =M U2 图（二）自感系数为L1的线圈接电源端测量M21 U1 图（三）自感系数为L2的线圈接电源端测量M12 三、实验步骤 （1）测定两个线圈的同名端 按图（一）接线，在开关闭合瞬间可以看到电流表正向偏转，所以1和 2 是同名端。 （2）测定耦合线圈的互感系数M 按图（二）接线，事先将函数电源输出电压调定为U S ,读取交流电流表读数 I 1和交流电压表读数U 2 ，求出M 21 。改变函数电源输出频率多得几次数据记入表 一得到不同的M 21 求平均。
第十章 含有耦合电感的电路 本章重点： 1.互感及互感电压 2.互感线圈的串并联 3.理想变压器的变换作用 本章难点：空心变压器的等效电路 本章内容 §10-1 互感 1、概念：互感、总磁链、同名端。 2、耦合线圈的电压、电流关系） 设,u i 为关联参考方向： (1) 121111u u L u +=±== dt di M dt di dt d 211ψ 222122u u L u +=+±== dt di dt di M dt d 212ψ 式中：u 11=L 1 dt di 1 ，u 22=L 2dt di 2称为自感电压； u 22=±M dt di 1，u 12=±M dt di 2称为互感电压(互感电压的正负，决定于互感电压“+”极性端子，与产生它的电流流进的端子为一对同名端，则互感电压为“+”号). (2) 相量式 1212111j L L M U I j M I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±=+ 1221222j L L M U M I j I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±+=+ 式中M Z j M ω=为互感抗。 3、耦合因数： 1def k == =≤ §10-2 含有耦合电感电路的计算 1、耦合电感的串联 (1)反向串联：把两个线圈的同名端相连称为反接。由(a)图知：
111 11(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 22222(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 122212()(L +L -2M)di u u u R R i dt =+=++ 其相量式为(b 图去耦等效电路) 12 12()(L +L -2M)U R R I j I ω=++&&& 1212()(L +L -2M)Z R R j ω=++ (2)顺向串联；把两个线圈的异名端相连，称为顺接。 1212()(L +L +2M)Z R R j ω=++ 2、耦合电感线圈并联 (1)同侧并联电路：把两个耦合电感的同名端连在同一个结点上，称为同侧并联电路，由(a) 图得： ? ? ? 1211( )U R j L I j M I ωω=++； ? ? ? 1222 ()U j M I R j ML I ωω=++ i + ?? R 1 R 2 L 1 L 2 + + — — —U 1 U 2 i + R 1 R 2 L 1-M L 2-M + + — — U 1 U 2 — (a) (b) i ? + — ???U &j M ω1j L ω2 j L ω3I &1I &2 I &1R 20 ? + — ?U &3 j L ω() 1 j L M ω-() 2 j L M ω-3I &1 I & 2 I &1R 2 R 0 （a ） （b ） ① ① 1'
9含有耦合电感电路 一、教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).互感和互感电压的概念及同名端的含义； (2). 含有互感电路的计算 (3). 空心变压器和理想变压器的电路模型 2．教学难点：(1). 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； (2). 含有耦合电感的电路的方程 (3). 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排总学时：4 五、教学内容
§ 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 图 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图所示，当线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有部分磁通φ21穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i2时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12和 M21称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足 M 12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义
第十章（含耦合电感的电路）习题解答 一、选择题 1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。 Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H 解：由图示电路可得 121 d d 2d d ) 63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t i t i d 从以上两式中消去 t i d d 2 得t i u d d 811=，由此可见 8=eq L H 2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。 Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0 解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有 A )cos(29 ) cos(18 1t t i ω=ω= 再由理想变压器原副边电流的关系n i i 121= (注意此处电流2i 的参考方向)得 A )cos(612t ni i ω== 因此，该题应选B 。 3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。 Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0； Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ； Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关； Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。 解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。因此，此题选C 。
§10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22， 同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。定义互磁链： 图 10.1 ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足
M12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义 一般有： 当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。 耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。
第十章 耦合电感和变压器电路分析 一 内容概述 1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。 2 互感电路的分析方法： ①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。 3 理想变压器： ①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件； ③理想变压器的阻抗变换特性。 本章的难点是互感电压的方向。具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。 耦合电感 1）耦合电感的伏安关系 耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。 设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有： dt di M dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 1 2222 11 1±=±= 若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： . 1 . 2. 2. 2. 1. 1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±= 其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的 图10-1
电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。 2）同名端 当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。 2 耦合电感的联接及去耦等效 1）耦合电感的串联等效 两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为： M 2L L L 2 1eq ±+= （10-1） （10-1）式中M 前正号对应于顺串，负号对应于反串。 2）耦合电感的三端联接 将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种三端联接的电路也可用3个无耦合的电感构成的T 型电路来等效，如图10-3所示 图10-2 图10-3
第5章 含有耦合电感的电路 内容提要 本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。 §5.1 互感 当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。 5.1.1互感及互感电压 如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I 和线圈Ⅱ，线圈I 的匝数为1N ，线圈Ⅱ的匝数为2N 。设电流1i 自线圈I 的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由1i 产生磁通11?全部交链线圈I 的1N 匝线圈，而其中一部分21?，不仅交链线圈I 而且交链线圈Ⅱ的2N 匝线圈，我们定义11?是线圈I 的自感磁通，21?是线圈I 对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I 通过电流1i 产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流2i ，由电流2i 也会产生线圈Ⅱ的自感磁通22?和线圈Ⅱ对线圈I 的互感磁通12?。 说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。 当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。 设通过线圈I 的总磁通为1?，则有 12111???+= (5-1) 其中自感磁通11?与1N 匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链11ψ为 1111111N L i ψφ== (5-2) 式(5-2)中，1L 称为线圈I 的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H ）。
耦合电感的去耦等效方法的讨论 王胤旭5090309291 琦然5090309306 衎 5090309 摘要：本文主要讨论有公共连接点的两个耦合电感的简单去耦等效方法以及由此衍生的两个特例--耦合电感的串联和并联。并讨论多重耦合电感的去耦相对独立性以及某些含有复杂耦合电感电路的快速去耦等效方法。 1.有公共连接点的耦合电感的去耦等效 图示电路中, 耦合电感L1和L2 有一公共连接点 N, 根据耦合电感的性质, 可得如下方程: ?????+=+=2 21211I I L j MI j U MI j L j U BC AC ωωωω 对于节点N 有KCL 方程：0321=++I I I 上面两式整理得：2 2113 223 11)()()()(I M L j I M L j U U U MI j I M L j U MI j I M L j U BC AC AB BC AC ---=-=--=--=ωωωωωω 故可得其等效去耦电路如图2所示。 图1 耦合电感
图2 等效去耦后的电感 上述去耦过程可以用文字表述如下: 1）设互感为M 的两耦合电感具有公共的连接点（假设其同名端相连）且连接点处仅含 有三条支路, 则其去耦规则为: 含有耦合电感的两条支路各增加一个电感量为- M 的附 加电感; 不含耦合电感的另一条支路增加一个电感量为- M 的附加电感。 若为非同名端连接，只需将上述电感量M 改变符号即可。 2）若连接处含有多条支路, 则可以通过节点分裂, 化成一个在形式上仅含三条支路的节 点。 2.两个特例----耦合电感的串联和并联 2. 1 两耦合电感串联 1）若同名端连接于同一节点（即电流从异名端流入）, 则构成反接串联，计算公式： M L L L eq 221-+=; 2）若非同名端连接于同一节点(即电流从同名端流入), 则构成顺接串联，计算公式： M L L L eq 221++=; 2. 2 两耦合电感的并联 1)若同名端连接于同一节点, 则构成同侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212 21-+-=; 2)若非同名端连接于同一节点, 则构成异侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212 21++-=;
第十章（含耦合电感的电路）习题解答 一、选择题 1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。 Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H 解：由图示电路可得 121 d d 2d d ) 63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t i t i d 从以上两式中消去t i d d 2得t i u d d 811=，由此可见 8=eq L H 2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。 Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0 解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有 再由理想变压器原副边电流的关系n i i 121= (注意此处电流2i 的参考方向)得 因此，该题应选B 。 3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。 Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0； Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ； Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关； Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。 解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。因此，此题选C 。 4．图10—4所示电路中，=i Z B 。 A ．Ω2j ； Ｂ．Ωj1； Ｃ．Ωj3； Ｄ．Ωj8 解：将图10—4去耦后的等效电路如图10—4（a ），由图10—4（a ）得 因此，该题选Ｂ。 5．在图10—5所示电路中，=i Z D 。 A ．Ωj8； Ｂ．Ωj6； Ｃ．Ωj12； Ｄ．Ωj4 解：图中的耦合电感反向串联，其等效阻抗为 所以此题选D 。 6.互感系数M 与下列哪个因素无关 D A ．两线圈形状和结构； Ｂ．两线圈几何位置； Ｃ．空间煤质； Ｄ．两线圈电压电流参考方向 7.理想变压器主要特性不包括 C A ．变换电压； Ｂ．变换电流； Ｃ．变换功率； Ｄ．变换阻抗 8.对于图10-6所示电路中，下列电压、电流的关系叙述中，正确的是：D A. 12121122,di di di di u L M u M L dt dt dt dt =--=--； B.12121122,di di di di u L M u M L dt dt dt dt =-=-+；