高一数学必修4模块测试试题（一）
(完卷时间：120分钟：满分：150分)
一、选择题（本大题目共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各项中，与sin(-3310
)最接近的数是
A ．23-
B ．21-
C ．21
D ．2
3
2．已知5
4
sin =
α,α是第二象限角，那么tan α的值等于 A ．34-
B ．43-
C ．4
3
D ．34
3．已知下列各式：
①CA BC ++AB ； ②OM BO MB +++AB ③CD BD AC -+-AB ④CO BO OC +++OA
其中结果为零向量的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．下列函数中，在区间(0，
2
π
)上为增函数且以π为周期的函数是 A ．2
sin x
y = B ．x y sin = C ．x y tan -= D ．x y 2cos -=
5．如图1e ，2e 为互相垂直的单位向量，向量c b a
++可表示为
A ．-13e 22e
B ．--13e 32e
C ．+13e 22e
D ．+12e 32e 6．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移
3
π
个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为
A ．）（32sin π
+=x y B ．）
（6
2sin π+=x y C ．）（32sin π+=x y D ．）
（3
2sin π
-=x y 7．下列四个命题中可能成立的一个是
A ．21sin =α，且2
1
cos =α B ．0sin =α，且1cos -=α
C ．1tan =α，且1cos -=α
D ．α是第二象限角时，α
α
αcos sin tan -=
8.函数)sin(
?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为 A ．）（3
22sin 2π+=x y B ．）（32sin π
+=x y C ．）（3
2sin π
-=x y
D ． ）（6
54sin 2π
+
=x y 9.已知5
3)tan(=
+βα，41)3tan(=-πβ，那么)3tan(π
α+的值为
A ．
183 B ．2313
C ．237
D ．17
7 10．函数f (x)=sinx 在区间[a ，b]上是增函数，且f (a)=-1，f (b)=1,则sin
2
b
a +的值为 A ．1 B ．
2
2
C ．-1
D ．0 11．已知向量a =(-x ，1)，b =(x ，t x )，若函数f (x )=b a
?在区间[-1，1]上不是单调函数，则实数t 的取值范围是
A ．(-∞，-2]∪[ 2,+ ∞)
B ．(-∞，-2)∪(2,+ ∞)
C ．(-2，2)
D ．[-2，2]
12．已知函数y= f (x)的图象如图甲，则x x f y sin )
(-=π
在区间[0，π]
上大致图象是
二、填空题（本大题目共4题，每小题4分，共16分）
13．设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2
，则这个扇形的圆心角的弧度数是 。 14．0000167cos 43sin 77cos 43cos +的值为 。
15．若1||||||=-==b a b a ，则||b a
+= 。
16．定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的a
=(m ，n)，b
=(p ，q )，令a
?b
=(m q -n p )，给出下面五个判断：
① 若a 与b 共线，则a
?b =0；
② 若a 与b 垂直，则a
?b =0；
③ a ?b =b ?a
；
④ 对任意的∈λR ，有)()b a b a
?=?λλ（；
⑤ 2222||||)()(b a b a b a
=?+? 其中正确的有 （请把正确的序号都写出）。
三、解答题（本大题目共6题，共74分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分12分）
已知函数f (x)=sin(2x-3
π
)+2，求：
(Ⅰ)函数f (x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)函数f (x)的单调递增区间。 18．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为(1，2)，(3，8)，向量=(x ，3)。 (Ⅰ)若//，求x 的值；(Ⅱ)若⊥，求x 的值 19．（本小题满分12分）
已知函数f (x)=)4
4(sin 22π
π+x
(Ⅰ)把f (x)解析式化为f (x)=)sin(?ω+x A +b 的形式，并用五点法作出函数f (x)在一个周期
上的简图；
(Ⅱ)计算f (1)+ f (2)+…+ f (2012)的值。
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆O 相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为102、5
52 (Ⅰ)求)cos(βα-的值；
(Ⅱ)若点C 为单位圆O 上异于A 、B 的一点，且向量与夹角为
4
π
，求点C 的坐标。
21（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，边BC
在直线
MN 上，E 是线段BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作
正方形AEFG ，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC 的面积为S.
(Ⅰ)求S 与α之间的函数关系；
(Ⅱ)当角α取何值时S 最大？并求S 的最大值。
22．（本小题满分14分）
函数f (x)=|sin2x |+|cos2x |
(Ⅰ)求f (12
7π
-)的值；
(Ⅱ)当x ∈[0，4
π
]时，求f (x)的取值范围；
(Ⅲ)我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f (x)的性质（本小题只需直接写出结论）
A B D F
G M N
参考答案及评分标准
一、选择题：
1.C
2.A
3.B
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.C 10.D 11.C 12.D 二、填空题：
13． 2； 14．1
2
-； 15
16．①④⑤ 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）最小正周期22
T π
π== ………………………………………3分 当sin(2)13
x π
-=时，max ()3125f x =?+= ………………………………………6分 （Ⅱ）由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-
≤
+,k Z ∈………………………………………9分
得51212
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+,k Z ∈ ………………………………………11分
∴ ()f x 的单调递增区间为5[,]1212
k k ππ
ππ-++（k Z ∈） ………………………12分
（递增区间写为开区间或半开半闭区间不扣分，k Z ∈未写扣1分）
18．解：依题意，(3,8)(1,2)(2,6)AB =-=
………………………………………2分
（Ⅰ）∵ //AB CD ，(,3)CD x =
∴ 2360x ?-= ………………………………………5分 ∴ 1x = ………………………………………7分
（Ⅱ）∵ AB CD ⊥ ，(,3)CD x =
∴ 2630x +?= ………………………………………10分 ∴ 9x =- ………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）2
()2sin ()1cos()1sin .44222
f x x x x π
ππππ
=+=-+=+ ……4 分
列表：
……………………6分
描点画图,如下所示
…………………………………8分
（Ⅱ）(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++= . …………………………10分 而()y f x =的周期为4，20124503=?，
(1)(2)(2012)45032012.f f f ∴++???+=?= ………………12 分
20．解：（Ⅰ）依题意得
,cos 105
αβ=
=
， ……………………2 分 因为α,β为锐角，所以sin α
=
10β=
……………………4 分 （sin sin αβ、
的值由A B 、的纵坐标给出亦可）
（Ⅰ）
cos()cos cos sin sin αβαβαβ
-=+== ………………………………6 分
（Ⅱ）设点C 的坐标为(,)m n ，则221m n += ……① ……………………7分
∵ 向量OC 与OA 夹角为4
π
∴
(,)1010cos 411
||||m n OC OA OC OA π??==? ， ……………………9分
=，即75m n += ……② ……………………10分 联立方程①②，解得:4535m n ?=????=??，或35
45m n ?=-????=??
……………………………………11分
∴ 点C 的坐标为43(,)55或34(,)55
-． …………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）过点F 作FH MN ⊥，H 为垂足
由三角知识可证明E A B F E H α
∠=∠=， FH BE = ………2 分 在Rt ABE ?中，sin 2sin EB AE αα== cos 2cos BC AB AE αα===
所以2s 2sin EC BC EB co αα=-=-………4 分 所以FCE ?的面积 S 1
(2s 2sin )2sin 2
co ααα=
-? 22sin s 2sin co ααα=- ，其中04
π
α≤≤
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2
2sin s 2sin S co ααα=-
sin 2s 212)14
co π
ααα=+-=+- …………………9分
由04
π
α≤≤
，得
3
2444
π
π
απ≤+
≤,
∴ 当1242παπ+=，即8
π
α=时，1S =最大 …………………11分
因此，当8
π
α=
时，EFC ?的面积S 1． ……………12 分
22．解：（Ⅰ）777()|sin()||cos()||sin ||cos |126666f πππππ-
=-+-=+-= 2分 （Ⅱ）当[0,]4x π∈时，2[0,]2
x π
∈，则sin 20,cos20x x ≥≥ ……………………3分
∴ ()sin2cos2)4
f x x x x π
=++ ………………………5分
又∵ [0,]4
x π
∈
∴ 32[,]444
x π
ππ
+
∈ ∴ sin(2)4x π+∈
∴ 当[0,]4
x π
∈时，()f x 的取值范围为[1． …………………………7分
（Ⅲ）
① ()f x 的定义域为R ； ……………………8分 ②()sin(2)||cos(2)|sin 2||cos2|()f x x x x x f x -=-+-=+=
()f x ∴为偶函数． ……………………9分
③ ∵ ()|sin(2)||cos(2)||cos2||sin 2|()422f x x x x x f x πππ
+=+++=+=，
∴ ()f x 是周期为
4
π
的周期函数； ……………………11分
④ 由（Ⅱ）可知，当[0,]4
x π∈时，())4
f x x π
+
，
∴ 值域为[1． ……………………12分 ⑤ 可作出()f x 图象，如下图所示：
由图象可知()f x 的增区间为[,]484
k k πππ
+()k Z ∈， 减区间为[
,]8444
k k π
πππ
+
+（k Z ∈） ………………………………………14分
（第（Ⅲ）评分，结论正确即可,若学生能求出函数()f x 的最值,对称轴等,每写出一个性质给
1分,但本小题总分不超过7分）
高一数学必修四模块测试试题（二）
(完卷时间：120分钟：满分：150分)
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的表格中． 1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．函数x y 2sin -=，R x ∈是
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为2π的奇函数
D ．最小正周期为2π的偶函数
3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|3|a b -
等于
A
B
C D ．4
4．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量=a ,= b ，则向量等于
A ．21(a －b )
B ．21(b －a )
C ．21( a ＋b )
D ．1
2
-(a ＋b ) 5．若θ是△ABC 的一个内角，且8
1
cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为
A ．23-
B ．23
C ．25-
D ．2
5 6．已知4
π
βα=
+，则)tan 1)(tan 1(βα++的值是
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
7．在ABC ?中，有如下四个命题：①=-； ②AB BC CA ++=
；
③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为等腰三角形；
④若0>?，则ABC ?为锐角三角形．其中正确的命题序号是 A ．① ② B ．① ③ ④ C ．② ③
D ．② ④
8．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为
A ．)322sin(2π+=x y
B ．)3
2sin(2π
+=x y C ．)32sin(
2π-=x y D ．)3
2sin(2π-=x y 9．下列各式中，值为1
2
的是
A ．0
sin15cos15 B ．2
2
cos
sin 12
12
π
π
-
C ．6
cos 2121π
+ D ．020
tan 22.51tan 22.5- 10．已知βα,为锐角，且cos α=
10
1,cos β=
5
1，则βα+的值是
A ．
π32 B ．π43 C ．4π D ．3
π
二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上． 11．0
75sin 的值为 ．
12．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是
．
13．若3
2)sin(-
=-απ, 且)0,2(π
α-∈, 则αtan 的值是____________．
14．已知51)cos(=+βα，5
3
)cos(=-βα，则βαtan tan 的值为 ．
三、解答题 本大题共３小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．
15．(本题满分10分)已知)2,3(),2,1(-==b a
，当k 为何值时，平行？与b a b a k 3-+
平行时它们是同向还是反向？
16．(本题满分10分) 已知函数)2
cos(cos )(π
+-=x x x f ，R x ∈．
（Ⅰ）求()f x 的最大值； （Ⅱ）若3
()4
f α=，求sin 2α的值.
17．(本题满分10分)
已知函数1)
4()sin()
2
x f x x π
π+-=
+． （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）若角α是第四象限角，且3
cos 5
α=
，求()f α．
第Ⅱ卷(满分50分)
一、选择题 本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的【 】中． 18．已知tan(α+β) =
53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4
π
)为 【 】 A ．1813 B ．2313 C ．23
7 D ．183
19．)10tan 31(50sin 00+的值为 【 】
A C ．2 D ．1
二、填空题 本大题共2小题，每小题5分，共10分．请将答案填写在横线上． 20．0
80cos 40cos 20cos 的值为_____________________________． 21．已知tan
2
α
＝2，则αt a
n 的值为_________；6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值为____________．
三、解答题 本大题共３小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．
22．(本题满分10分) 已知函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=，R x ∈，那么 （Ⅰ）函数的最小正周期是什么？ （Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？
23．(本题满分10分)已知向量 a
=（cos α，sin α），b
=（cos β，sin β），|b a
- （Ⅰ）求cos （α－β）的值； （Ⅱ）若０＜α＜2π，－2
π＜β＜０，且sin β＝－5
13，求sin α的值．
24．(本题满分10分)已知向量]2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π∈-==x x x b x x a 且
，求
（Ⅰ）||b a b a +?及； （Ⅱ）若||2)(b a b a x f
+-?=λ的最小值是2
3-，求实数λ的值．
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(满分100分)
一、 选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上． 11．
426+ 12. 3- 13．5
5
2- 14．21
三、解答题 本大题共３小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15．(本题满分10分)
解: 因为)22,3(+-=+k k b a k ，)4,10(3-=-b a
---------------------2分 当平行与b a b a k
3-+时，
则010)22()4()3(=?+--?-k k ---------------------------------2分 解得：3
1
-
=k ----------------------------------------------2分 此时)4,10(3-=-b a
，
)22,3(+-=+k k b a k
=)2)31(2,331(+-?--=)34,310(-
=)3(3
1)4,10(31b a
--=--．--------------------------------------------2分
所以b a b a k
3-+与反向．---------------------------------------------2分
［另解：当平行与b a b a k 3-+，存在唯一实数λ，使)3(b a b a k
-=+λ
即)4,10()22,3(-=+-λk k 得：???-=+=-λλ
422103k k
解得：31,31-=-=λk ， 即当3
1-=k ，平行与b a b a k
3-+
这时因为3
1-=λ，所以b a b a k
3-+与反向．］
16．(本题满分10分)
解:（Ⅰ）（5分） x x x x x f sin cos )2
cos(cos )(+=+
-=π
=x x cos sin +-----------------------------------1分
)cos 2
2
sin 22(
2x x += )4
sin(2π
+=x ------------------------------2分
∴)(x f 的最大值为2．--------------------------------2分
（Ⅱ）（5分） 因为4
3)(=αf ，即43
cos sin =+αα -------------------1分
∴169
cos sin 21=+αα --------------------------------------2分
∴16
7
2sin -=α．------------------------------------------2分
17．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）（4分）由sin()02
x π
+
≠，得cos 0x ≠，
所以f(x)的定义城为{|,}2
x x k k π
π≠+∈Z ．-----------------------4分
[另解：由sin()02
x π
+
≠，得Z k k x ∈≠+
,2
ππ
∴Z k k x ∈-
≠,2
π
π
所以f(x)的定义城为},2
{Z k k x x ∈-
≠π
π］
（Ⅱ）（6分）x
x x x f cos )
2sin 2sin 4cos 2(cos 21)(π
π++=
＝x
x
x cos 2sin 2cos 1++-----------------------------------------1分
∴21cos 2sin 22cos 2cos sin ()2(cos sin )cos cos f ααααα
ααααα
+++=
==+．---2分 因为α
是第四象限角，所以4sin 15
α===-．--------2分
所以342
()2()555
f α=-=-
．--------------------------------------1分
第Ⅱ卷(满分50分)
一、选择题 本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的【 】中． 18．C 19．D
二、填空题 本大题共2小题，每小题5分，共10分．请将答案填写在横线上． 20．
81 21．3
4-（2分）； 67
（3分）。 三、解答题 本大题共３小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．(本题满分10分)
解：（Ⅰ）（5分） x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= ＝x x x x 222cos 22sin )cos (sin +++ ＝1+)2cos 1(2sin x x ++
=22cos 2sin ++x x -------------------------------------2分
=242sin 2+??
?
?
?
+
πx ,---------------------------------------2分 ∴函数的最小正周期是π．------------------------------1分
（Ⅱ）（5分） 由2
24
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-k x k ，Z k ∈--------------------2分
得 8
83π
πππ+≤≤-
k x k -------------------------------------------2分 ∴函数的增区间为：Z
k k k ∈??
?
??
?+-,8,8
3ππππ----------------------------1分 23．(本题满分10分)
解：（Ⅰ）（5分） ()()cos sin cos sin a b ααββ==
，，，，
()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--
，． --------------------------------1分
5a b -= ，
=
．-----------------------2分 即 ()4
22cos 5
αβ--=
． --------------------------------------1分 ()3
cos 5
αβ∴-=． --------------------------------------------1分
（Ⅱ）（5分）∵0,02
2
π
π
αβ<<-
<<， ∴ 0.αβπ<-<----------------1分
∵ ()3cos 5αβ-=
，∴ ()4
sin .5αβ-= ---------------1分 ∵ 5sin 13β=-，∴ 12
cos .13
β=
---------------------------------------1分
∴ ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-????
4123533
51351365
??=?+?-= ???．----------------------------------------2分
24．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）（5分） a ·b=,2cos 2
sin 23sin 2cos 23cos
x x
x x x =?-?---------------2分 | a +b|=x x x
x x x 222
cos 22cos 22)2
sin 23(sin
)2
cos 23
(cos =+=-++-----2分 ∵]2
,
0[π
∈x ， ∴,0cos ≥x
∴| a +b|=2cos x .--------------------------------------1分
（Ⅱ）（5分） ,cos 42cos )(x x x f λ-=
即.21)(cos 2)(22λλ---=x x f -----------------------------------2分 ∵]2
,
0[π
∈x ， ∴.1cos 0≤≤x
01<'λ当、时，当且仅当)(,0cos x f x 时=取得最小值－1，这与已知矛盾． 101≤≤''λ当、时，当且仅当)(,cos x f x 时λ=取最小值.212λ--
由已知得23212
-
=--λ，解得.2
1=λ 11>'''λ当、时，当且仅当)(,1cos x f x 时=取得最小值,41λ-
由已知得2341-=-λ，解得8
5
=λ，这与1>λ相矛盾． 综上所述，2
1
=
λ为所求．----------------------------------------3分