市高2013级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CBCBD BACCC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．[)∞+，10
12．3
13．a ≥2
14．7 15．②③
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，
∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，
即-cos 2
α+sin α-sin 2
α=0． ……………………………………………………3分
由sin 2
α+cos 2
α=1，解得sin α=1， ∴ 2
2π
πα+
=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分
（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+
αααsin 41)sin (cos 422-++=
αsin 45-=， (9)
分
∴ 5-4sin α=3，即得2
1
sin =α， ∴ 2
1
sin 212cos 2=
-=αα． ……………………………………………………12分
17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．
∴
21
1
1=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，
∴ n n n a 22211=?=+-，于是a n =2n
-1． ………………………………………6分
（2）∵n n n
b 2
=.…………………………………………………………………7分
∴ n
n n
S 2232221321+
+++=
，
两边同乘以
21
，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 122
21212121+-+++=n n n n
S
122
11)
211(21+---=n n n 1
2
211+--
=n n n
， ∴n
n n n
S 2
2121--
=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．
则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分
∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴
8.070
101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分
（2）由题意：n
n
n n a b a b >
++11(n >1)， 即
a
n n
na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分
整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2
a -na -320-4na -80n -n 2
a >0， 化简得80-5a >0，
解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．
……………………………………………
12分
19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60o=3216=?
，23
1
==AB AD . ∵ +=，
∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ?+=?+=?2
)(
>
=9+2×3×cos120o
=6. (4)
分
（2）在△ACD 中，∠ADC =180o-∠A -∠DCA=120o-θ，
由正弦定理可得ADC
AC A CD ∠=
sin sin ，即)120sin(233)120sin(23
3θθ-?=-??
=CD . ………………………………………5分
在△AEC 中，∠ACE =θ+30o，∠AEC =180o-60o-(θ+30o)=90o-θ，
由正弦定理可得：AEC
AC A CE ∠=
sin sin ，即θθcos 233)90sin(23
3=-??
=CE ， ……6分
∴ θ
θcos 23
3)120sin(2334130sin 21?-??=???=
?CE CD S DCE θ
θcos )120sin(1
1627?-??=
，………………………7分 令f (θ)=sin(120o-θ)cos θ，0o≤θ≤60o， ∵ f (θ)=(sin120ocos θ-cos120osin θ)cos θ
θθθcos sin 21
cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++?= )2sin 2
12cos 23(2143θθ++=
)602sin(2
1
43?++=
θ，………………………………………………10分 由0o≤θ≤60o，知60o≤2θ+60o≤180o，
∴ 0≤sin(2θ+60o)≤1， ∴
43≤f (θ)≤2
143+， ∴ )32(4-≤
)(1θf ≤3
3
4，
∴ DCE S ?≥
)32(4
27
-， 即DCE S ?的最小值为
)32(4
27
-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，
由题意得3ax 2
+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2
+bx +c =0的两根为-2，1．
于是13-=-
a
b ，23-=a
c ，
得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分
∵ 3ax 2
+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，
∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．
∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，
解得a =-1． ……………………………………………………………………5分
（2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112
123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+
62
32
3． ∴ x x x m 62
32
3-+
=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 62
3)(2
3-+
=， ∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：
11分
又∵2
9
)3(=
-g ，g (-2)=10，g (0)=0，
由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 62
3)(2
3-+=有两个交点， 于是
2
9
x f -= '1 )(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数． 当a >0时， x ∈(0， a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a 1 ，+∞)上是减函数． ∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，a 1)，f (x )的单调递减区间为(a 1 ，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+， ∴ 1ln ln ln ln 1 21 21211221212---=-+--=--= x x x x x x x x x x x x y y k ， ∴ 1 21 2ln ln 1x x x x k --=+. 要证211 1x k x <+< ，即证212211ln ln 11 x x x x x x -< <-， 因210x x ->，即证21221211 ln x x x x x x x x --<<， 令 21 x t x =(1t >)，即证1 1ln 1t t t -<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．① 令1()ln 1h t t t =+-(1t >)，则22111 ()t h t t t t -'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增， ∴()(1)h t h >=0，即1 ln 1t t >-(1t >)．② 综①②得1 1ln 1t t t -<<-(1t >)，即211 1x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(x k ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1． 令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去． 当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1 ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g m i n =g (e k )=2k -e k ． 即讨论)(x g m i n =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t 又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2 <0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立． 综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分
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