函数与零点
基础回顾：
零点、根、交点的区别
零点存在性定理：f （x ）是连续函数；f （a ）f （b ）<0 二分法思想：零点存在性定理 一、基础知识—零点问题
1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
B ．若0)()(
C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
D ．若0)()(
2．已知)(x f 唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下面命题错误的是
（ ）
A ．函数)(x f 在（1，2）或[2，3]内有零点
B ．函数)(x f 在（3，5）内无零点
C ．函数)(x f 在（2，5）内有零点
D ．函数)(x f 在（2，4）内不一定有零点 3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是
（ ）
A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到
B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点
C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点
D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解 4． 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（ ）
A ．○1○2○3
B ．○2○3○4
C ．○1○2○4
D ．○1○
3○4 5． 求
132)(3
+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f
（ ）
A ．有且仅有一个根
B ．至多有一个根
C ．至少有一个根
D ．以上结论都不对
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是
（ ）
A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
8．设函数)(x f y =的图象在[a ,b ]上连续，若满足 ，方程0)(=x f 在[a ,b ]上有
实根.
9．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5
.20=x ，那
么下一个有根的区间是 .
10．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 .
11．已知函数)(x f 图象是连续的，有如下表格，判断函数在那几个区间上有零点.
二、利用图象法解零点问题
1. 函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0
f ?≤??（的零点个数为 ( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x
f x e =-，则()f x 的零点个数是3个.
变式1：设偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当x ∈[0,1]时，()f x x =，则关于x 的方程1
()()8
x
f x =在区间[0,3]上解的个数有 3 . 2:方程l
g 10x
x -=的根的个数是1 .
3:已知01a <<,函数()|log |x a f x a x =-的零点个数为2 .
4．已知1x 是方程lgx +x =3的解，2x 是
310=+x x
的解，求21x x + （ ）
A ．23
B ．32
C ．3
D ．31
5．方程0lg =-x x 根的个数
（ ）
A ．无穷多
B ．3
C ．1
D ．0
6．函数2
(4)|4|
()(4)
x x f x a x ?
≠?-=?
?=?，若函数2)(-=x f y 有3个零点，则实数a 的值为（ C ）
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．不存在
三、解方程法——数型结合
1.函数cosx 在[0，+∞）内 （ B ）
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点
变式:函数在区间
内的零点个数是( B )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.函数f （x ）=2x
e x +- 的零点所在的一个区间是( C )
A.（-2,-1）
B. （-1,0）
C. （0,1）
D. （1,2） 3.函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是( B ) A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 变式:若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ D ）
A.（0，1）.
B.（1，1.25）.
C.（1.25，1.75）
D.（1.75，2） 4.函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ C ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式:1.已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点
0(,1),x n n n N +∈+∈,则n 的值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4 2.已知x 是函数f(x)=2x
+
1
1x
-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则( B ) A.f(1x )＜0，f(2x )＜0 B.f(1x )＜0，f(2x )＞0C.f(1x )＞0，f(2x )＜0 D.f(1x )＞0，f(2x )＞0
3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时, ()f x x =,则函数
3()log ||y f x x =-的零点个数是(B )
A.5
B.4
C.3
D.2
4．已知函数()()22log 1,0
2,0x x f x x x x ?+>=?--≤?，若函数
()()g x f x m =-有三个零点，则实数m
的取值范围是(0,1) .
5.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时, ()f x x =,则函数
3()log ||y f x x =-的零点个数是(B )
A.5
B.4
C.3
D.2
第十二讲 二次函数的零点与最值 知识归纳和梳理： 1.一元二次方程的根即二次函数的零点也是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标 2.解决二次函数零点问题的方法： （1）转化为???韦达定理判别式 （零点的正负问题） （2）结合二次函数的图象等价转化为??? ????特殊函数值符号判别式符号对称轴位置开口方向的不等式组 3.解二次函数的最值问题的方法: （1）分离参数转化为函数的值域 (2)讨论对称轴和区间的关系 4．恒成立问题的解决方法：)(x f a >恒成立max )(x f a >?（具体情况还要分析能否取”=”） )(x f a ≤恒成立min )(x f a ≤? 【典型例题】： 例1.已知方程023222 =---k x kx 有两个不相等的实根21x x 、 （1）若12,x x 都小于零，求k 的取值围； （2）若12,x x 都小于1，求k 的取值围； （3）若121x x <<，求k 的取值围； （4）若1220x x -<<、，求k 的取值围； （5）恰有一根在（1，2）区间，求k 的取值围。
例2. 若二次函数12 -+-=mx x y 的图像与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值围。 经典练习1,2 1.若一元二次方程0332 =-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值围。 2. 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值围。 3. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（-1、1），求k 的取值围。
4.设? ?????≤≤=121| x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，若B A ?，数a 的取值围 例3..求函数2 2242)(a x x x f --=在区间]1,[+a a 上的最小值 例4．求函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最大值 经典练习3,4 1.函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最小值为-2求a
1、若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 小结：0>?，方程有2个实根；0=?，方程有1个实根；0x ，02 >x (两个正根)??? ?? ?? ???>=>-=+≥-=?0 0421212a c x x a b x x ac b 3、一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。（5 12- ≤k 或k>3） 3、一元二次方程0234)1(22=-+++k kx x k 有两个负实根，求实数k 的取值范围. 3、一元二次方程06)63()2(2=++--k x k x k 有两个负根，求k 的取值范围 小结：01 一次函数、二次函数、函数的零点 （一）基本知识回顾及应用举例 1. 一次函数.当时，叫做正比例函数，其图象是直线.当时，直线上升，函数为增函数；当时，直线下降，函数为减函数 2. 二次函数的解析式的三种形式 （1）一般式； （2）顶点式； （3）零点式 3. 二次函数的图象是抛物线.当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为.抛物线与轴的交点的 横坐标是方程的根，它在轴上截得的线段的长为=. 4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与轴的交点的位置来确定.当二次方程 在区间内只有一个实根时，有，或；有两个不等实 根时，有；在两个区间各有一个实根即时，， . 5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系. 图1 图2 图3 6. 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x ∈D）的零点。 函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x 轴交点的横坐标。即方程f（x）＝0有实数根函数y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。 例：问：二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）在什么条件下有两个零点？一个零点？没有零点？ 7. 例：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图4）。 图4 ①在区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞＝。 ②在区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞＝。 ③在区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞＝。 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0及函数 在区间[a，b]内单调递增则函数在这个区间内有且只有一个零点。（变号零点）例1. 求函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点个数。 直接画图、两个函数求图象交点个数、利用函数单调性判断等三种方法 答案：1 8. 二分法的思想方法：先找到a、b，使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点，然后求f[（a+b）/2]， 现在假设f（a）<0，f（b）>0，a0，同上 通过每次把f（x）的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 例2. 若函数唯一的零点同时在区间内，那么下列命题正确的是 A. 函数在区间内有零点 B. 函数在区间或内有零点 C. 函数在区间上无零点 D. 函数在区间内无零点 本小题主要考查学生在掌握用二分法求相应方程的近似解的基础上，对二分法思想的理解。 答案：C 例3. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量不同），现在只有一台天平，请问：你最多称______次就可以发现这枚假币？ 本小题主要考查对二分法思想的理解和延伸。 答案：4 例4. （1）函数的图象与x轴有交点的充要条件是（） A. a=0且b≠0 B. a≠0 C. D. （2）已知函数的值恒小于零，那么（） A. m=9 B. C. D. m 答案：（1）D（2）D 例5. （1）二次函数的图象如下图所示 一. 教学内容： 函数的零点与二分法 二. 学习目标 1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。 2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系； 3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。 三. 知识要点 1、函数的零点 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。 归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。 说明： （1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论； （3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 归纳：方程0)x (f =有实数根?函数)x (f y =的图象与x 轴有交点?函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ 如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f 二次函数的零点：)0(2≠++=a c bx ax y 零点存在性的探索： ① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝） ． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象 例1.求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。 例2．求函数y=x 3-x 2-x+2，并画出它的大致图象 二分法求零点： 对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1．求函数22)(3 --+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）． ○2 1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2, 2.1,0,4,3,2,1,0 2. 函数2x y -=的单调递增区间为 3. 下列函数是偶函数的是 A. x y = B. 322-=x y C. 21 -=x y D. ]1,0[,2 ∈=x x y 4. 若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ） 5.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 6. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为 Ａ．(1,2) Ｂ．(2,1)-- Ｃ．(2,1)(1,2)-- Ｄ．(1,1)- 7.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9, 13）, 则 8. 函数()()1log 1 43++--=x x x x f 的定义域是 9．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1) D ．一定经过点(1，－1) 10．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2) D ．(0，1) 11．若log 2 a ＜0，b ?? ? ??21＞1，则( ). A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 11．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x 1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln (x ＋1) 12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). 13．已知函数f (x )＝? ??0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ). 19、已知函数 ()()()1,0,1log ≠>-=a a a x f x a 且， （1）求 ()x f 的定义域； （2）讨论函数()x f 的单调性。 20、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，f(x)=log 2x 求()x f 的解析式 嵌套函数与函数的零点问题 1二已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2x ,x >0{,则y =f (f (x ))+1的零点组成的集合为 .2二?变式?已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2 x ,x >0{,则y =f (f (x ))-1的零点组成的集合为 .3二函数f (x )=x +1,x ?0,x 2-2x +1,x >0. { ,若关于x 的方程f 2(x )-a f (x )=0恰有5个不同的实数解,则a 的取值范围为 .4二定义域为R 的函数f (x )= |l g x |,x >0,-x 2-2 x ,x ?0.{,关于x 的函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数为 .5二函数f (x )是定义在R 上偶函数,且当x ?0时,f (x )=x |x -2|,若关于x 的方程f 2(x )+a f (x )+b =0恰有1 0个不同的解,则a 的取值范围是 .6二已知函数f (x )=-x 2,x ?0,x 2+2x ,x <0.{ ,则不等式f f x ()()?3的解集是 .7二已知函数f (x )=l o g 2x ,x >0,2x ,x ?0. {,则满足不等式f (f (x ))>1的x 的取值范围是 .8二已知函数f (x )=x 2-2a x +a 2-1若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 9二设函数f (x )是偶函数,当x ?0时,f (x )=x (3-x ),0?x ?3,-3x +1,x >3ì?í???,若函数y =f (x )-m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 . 二次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02=++-c bx ax 的一个根，且,0,2121≠≠x x x x 求证：方程02 2=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x ) ＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3 变式4：设函数2()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2 a f =-. （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程 x b x a bx =+-21 2有两个不相等的实数根. （1）求a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和b x a bx x g 21 )(2 +-= （1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性； （2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性； （3）若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ，0)(=x f 的两实根为43,x x ， 求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围. 探究3：二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<< 函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 二次函数的零点分布 一、基础知识 1． 零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足 ；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当 存在唯一零点。 2． 函数265y x x =-+的零点为 3． 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系： 若0?>，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 若0?=，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 若0?<，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 二、例题讲解 例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围 变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围 变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围 变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围 变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围 变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围 变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围 例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A (－∞,2] B [－2,2] C (－2,2] D (－∞,－2) 例3：已知函数2 ()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为 解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22 a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －2 4 a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22 a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 培优点二 函数零点 1．零点的判断与证明 例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()11 1x f x x x -'=- = ，( )1,x ∈+∞Q ，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增， ()31ln30f =- 3．零点的性质 例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[) 22 2 0,121,0x x f x x x ?+∈?=?-∈-??，且()()2f x f x +=， ()25 2 x g x x += +，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8- 【答案】C 【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称， 由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。 从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x += =+ ++，可视为将1 y x =的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， 所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点 123x x x <<， 其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。所以1237x x x ++=-．故选C ． 4．复合函数的零点 例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2 0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） 一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 二次函数零点的分布专题训练 一、单选题 1．若方程2 (1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．43k < B ．43k > C ．4 3k <，且1k ≠ D ．43 k >，且1k ≠ 2．已知函数()2x e f x x =（其中无理数 2.718e =???），关于x 的方程 λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．0,2e ?? ??? B ．()2,+∞ C ．2,2e e ?? ++∞ ??? D ．224,4e e ??++∞ ??? 3．已知函数()10,0 lg ,0 x x f x x x -?≤=?>?，函数()()()()2 4g x f x f x t t R =-+∈，若函数 ()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4 C ．[){}3,4lg5? D ．(]3,4- 4．设ln ,0()2020,0 e x x f x x x x ?>?=??≤?，2 ()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4 个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m < B ．1m < C ．2m > D ．1m 5．函数()() 2 3x f x x e =-，关于x 的方程()()2 10f x mf x -+=恰有四个不同实数根， 则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞ C ．3360,6e e ?? + ??? D ．336,6e e ?? ++∞ ??? 6．已知()e x f x x =，又2()()()1() g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．21,e e ?? ++∞ ??? B ．212,e e ?? + ??? C ．21,2e e ?? +-- ??? D ．21,e e ?? +-∞- ?? ? 7．已知函数1 2,0()21,0 x e x f x x x x -?>?=?--+≤??，关于x 的方程2 3())0() (f f x a x a -+=∈R 函数的零点的求法 复习内容：1.知识点（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈= ， 把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2.方法（1）代数法求函数零点：直接求方程0)(=x f 的实数根；（2）几何法求函 数零点：对于不能直接求解的超越方程，可以将)()(0)(x h x g x f =?=再分别设 )(x g y =，)(x h y =转化为它们的图象交点问题，即：函数)(x g y =与)(x h y =的图象 有几个交点，那么方程0)(=x f 就有几个实根，函数)(x f y =就有几个有零点。 1.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．函数1 2 1()()2 x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3 ．函数3 ()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 解析：04 147lg )47 ()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2） 5.0x 是函数f(x)=2x + 1 1x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则 （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 一元二次函数零点分布 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两 个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有 两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 【练习3】例3中条件改成1,121> 课题：§ 3.1.1方程的根与函数的零点 教学目标 知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程 要的关系，掌握零点存在的判定条件. 过程与方法零点存在性的判定. 情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点： 重点零点的概念及存在性的判定. 难点零点的确定. 教学程序与环节设计: . . 零点存在性为练习重点. . . 号，并尝试进行系统的总结. 环节 教学内容设置 师生双边互动 教学过程与操作设计 函数零点的概念： 对于函数y f(x)(x D)，把使f (x) 0成 立的实数x 叫做函数y f(x)(x D)的零点. 函数零点的意义： 函数y f (x)的零点就是方程 f(x) 0实数 根，亦即函数 y f (x)的图象与x 轴交点的横坐 标. 即: 方程f(x) 0有实数根 函数y f (x)的 图象与x 轴有交点 函数y f (x)有零点. 函数零点的求法： 求函数y f (x)的零点： ②(代数法)求方程f(x) 0的实数根； ②(几何法)对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点. 二次函数的零点： 二次函数 2 y ax bx c(a 0). !)△> o,方程 ax 2 bx c 0有两不等 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其 相应的二次函数的图象: 创 设 情 境 ① 方程x 2 2x ② 方程x 2 2x ③ 方程x 2 2x 2 3 0与函数y x 2x 3 1 0与函数y x 2 2x 1 师：引导学生解方程， 画函数图象，分析方程 的根与图象和 x 轴交 点坐标 的关系，引出零 点的概念. 生：独立思考完成解 答，观察、思考、总结、 概括得出结论，并进行 交流. 师：上述结论推广到一 般的一元二次方程和 二次函数又怎样？ 组 织 探 究 师：引导学生仔细体会 左边的这段文字，感悟 其中的思想方法. 生：认真理解函数零点 的意义，并根据函数零 点的意义探索其求法： ②代数法； ②几何法. 师：引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况. 方程的根与函数的零点 知识点一 函数的零点 对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点. 方程、函数、图象之间的关系： 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点. 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，即方程f (x )＝0的实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标?函数y ＝f (x )的零点. 知识点三 零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根. 题型一 求函数的零点 例1 (1)函数y ＝1＋1 x 的零点是( ) A.(－1,0) B.－1 C.1 D.0 (2)函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________. 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝2x － 1－3的零点是______. (2)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 题型二 探求零点所在区间 例2 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.????－1 4，0 B.????0，14 C.????14，12 D.????12，34 (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f (x ) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 专题二函数零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法提升能力 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反） ．其 中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数 f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用 零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性 1．下凸函数定义 设函数f x 为定义在区间 ,a b 上的函数，若对 ,a b 上任意两点1x ，2x ，总有 1 2 1 2 2 2 f x f x x x f ，当且仅当1 2x x 时取等号，则称 f x 为,a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义 设函数f x 为定义在区间 ,a b 上的函数，若对 ,a b 上任意两点1x ，2x ，总有 1 2 1 2 2 2 f x f x x x f ，当且仅当1 2x x 时取等号，则称 f x 为,a b 上的上凸函数． 3．下凸函数相关定理 定理：设函数f x 为区间 ,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的下凸函数f x 为,a b 上的递增函数0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理 定理：设函数f x 为区间,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的上凸函数f x 为,a b 上的递减函数 0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零． 例1 已知函数2e 2e x x f x a a x ． （1）讨论f x 的单调性；（2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a ，2e 10x ． ①当0a 时，e 10x a ，所以0f x ，所以f x 在R 上递减． ②当0a 时，由0f x 可得1ln x a ，由0f x 可得1ln x a ，所以f x 在 1,ln a 上递减，在 1ln , a 上递增． （2）法1：①当0a 时，由（1）可知，f x 在R 上递减，不可能有两个零点． ②当0a 时，min 11ln 1 ln f x f a a a ，令min g a f x ，则 2 110g a a a ，所以g a 在0,上递增，而1 0g ，所以当1a 时， min 0g a f x ，从而f x 没有两个零点． 当01a 时，1ln 0f a ，2 21 1 0e e e a a f ，于是f x 在 11,ln a 上有1个 零点；因为2 3 33333ln 1 121 ln 1 1ln 10f a a a a a a a a ，且 31ln 1ln a a ，所以f x 在1ln , a 上有1个零点． 综上所述，a 的取值范围为0,1．一次函数、二次函数、函数的零点
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，()()340f f ∴<，()03,4x ∴?∈，使得()00f x = 因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一． 2．零点的个数问题 例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ?? ??? B ．ln 31,93e ?? ??? C ．ln 31,92e ?? ??? D ．ln 3ln 3,93?? ??? 【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ?? =?= ??? Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ?? == ??? ， 所以()ln 13ln 393 x x f x x x ≤
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