历年考研数学一真题1987-2016
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)
(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014??
??=??????
A 求矩阵.
B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a
(B )1
a
(C )1n a - (D )n a
九、（本题满分8分）
问,a b 为何值时,现线性方程组
123423423412340
221(3)2321
x x x x x x x x a x x b
x x x ax +++=++=-+--=+++=-
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是
(A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B )12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关
(C )12,,
,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D )12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分）
已知,=AP BP 其中100100000,210,001211????
????==-????????-????B P 求5
,.A A 八、（本题满分8分）
已知矩阵20000101x ????=??
????
A 与20000001y ??
??=????-??B 相似. (1)求x 与.y
(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设矩阵300100140,010,003001????
????==????
????????
A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中
(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例
(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）
问λ为何值时,线性方程组1312312
34226423
x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+??
???有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.
(2)λ
A
为A 的伴随矩阵*A 的特征值.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组
=AX b 的通解(一般解)必是
(A )1211212()2
k k -+++ββααα
(B )1211212()2
k k ++-+ββααα
(C )1211212()2
k k -+++ββαββ
(D )1211212()2
k k ++-+ββαββ
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
1100213401100
213,0011002100010
002-????
????-?
???==????
-????
????
B C 且矩阵A 满足关系式
1()-''-=A E C B C E
其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A
八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型222
12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设4阶方阵52002100,00120011????
?
?=??-????
A 则A 的逆阵1-A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、（本题满分8分）
已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?
(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设1112
12121212
,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??????=????
??A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(5)要使12100,121???? ? ?
== ? ? ? ?-????ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为
(A )[]212-
(B )201011-??
?
??? (C )102011-??
??
-??
(D )01142
201
1-????--??????
八、（本题满分7分）
设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.
(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为
1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3?? ?= ? ???β
(1)将β用123,,ξξξ线性表出.
(2)求(n
n A β为自然数).