线性回归中的相关系数 Prepared on 24 November 2020
线性回归中的相关系数
山东 胡大波
线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．
一、关于相关系数法
统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当i x 不全为零，y i 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：
()()
n n i i i i x x y y x y nx y r ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数（简称相关系数）．
说明：（1）对于相关系数r ，首先值得注意的是它的符号，当r 为正数时，表示变量x ，y 正相关；当r 为负数时，表示两个变量x ，y 负相关；
（2）另外注意r 的大小，如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强；如果[]10.75r ∈--，
，那么负相关很强；如果(]0.750.30r ∈--，
或[)0.300.75r ∈，，那么相关性一般；如果[]0.250.25r ∈-，，那么相关性较弱． 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．
二、典型例题剖析
例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：
（1）对变量y 与x 进行相关性检验；
（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．
解：（1）66.8x =，67y =，102
144794i
i x ==∑，102144929.22i i y ==∑，4475.6x y =，2
4462.24x =， 24489y =，10
144836.4i i i x y ==∑，
所以10i
i x y nx y r -=∑
44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-?=--
80.40.9882.04
=≈≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系．
（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101
10
2211010i
i i i i x y xy b x x ==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4
-=≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-?=．
故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．
（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =?+=，
所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．
点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：
其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩．
（1）y 与x 是否具有相关关系；
（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．
解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得
101710i i x ==∑，101723i i y ==∑，71x =，72.3y =，10151467i i i x y ==∑． 10
2
150520i i x ==∑，102152541i i y ==∑．
1010i
i x y x y r -=∑
0.78=≈．
由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．
（2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则
101
10
2
2211051467107172.3 1.2250520107110i
i i i i x y x y b x x ==--??==≈-?-∑∑， 72.3 1.227114.32a y bx =-=-?=-．
所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．
点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．