1．二项式定理：
(a+b)n=C0a n+C1a n-1b+
n n +C r a n-r b r+
n
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二项式定理
+C n b n(n∈N*)，
n
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C r
n
(r=0,1,2,???,n).
③项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式
④通项：展开式中的第r+1项C r a n-r b r叫做二项式展开式的通项。用T
n r+1=C r a n-r b r表示。
n
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n+1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a+b)n与(b+a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,C1,C2,???,C r,???,C n.项的系数是a与b
n n n n n
的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令a=1,b=x,(1+x)n=C0+C1x+C2x2+
n n n
令a=1,b=-x,(1-x)n=C0-C1x+C2x2-
n n n
+C r x r+
n
+C r x r+
n
+C n x n(n∈N*)
n
+(-1)n C n x n(n∈N*)
n
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0=C n，···C k=C k-1
n n n n
②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为C0+C1+C2+
n n n +C r+
n
+C n=2n，
n
变形式C1+C2+
n n +C r+
n
+C n=2n-1。
n
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令a=1,b=-1，则C0-C1+C2-C3+
n n n n +(-1)n C n=(1-1)n=0，
n
从而得到：C0+C2+C4???+C2r+???=C1+C3+
n n n n n n ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
1
+C2r+1+???=?2n=2n-1 n
2
+ a =
(奇数项的系数和 )
2
+ a = (偶数项的系数和 )
2
n
同时取得最大值。
? A r +1 ≥ A r + 2
6 6 3 3
(a + x)n = C 0a n x 0 + C 1a n -1 x + C 2a n -2 x 2 + n
n n
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+ C n a 0 x n = a + a x 1 + a x 2 + n 0 1 2
+ a x n
n
( x + a)n = C 0 a 0 x n + C 1ax n -1 + C 2a 2 x n -2 + n
n
n
+ C n a n x 0 = a x n +
n n
+ a x 2 + a x 1 + a
2 1
令x = 1, 则a + a + a + a
1
2
3
令x = -1,则a - a + a - a + 0
1
2
3 + a = (a + 1)n - - - - - - - - - ①
n
+ a = (a - 1)n - - - - - - - -② n
① + ②得, a + a + a
2
4
n
(a + 1)n + (a - 1)n
① - ②得, a + a + a
1
3
5
n (a + 1)n - (a - 1)n
n ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数C 2 取得最大值。
n
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 C
n -1
2 n
, C
n +1 2
⑥系数的最大项：求 (a + bx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
? A
为 A , A , ??? , A
r ，从而解出 r 来。
1 2
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例： C 1 + C 2 ? 6 + C 3 ? 62 +
n
n
n
+ C n ? 6n -1 = .
n
解： (1+ 6) n = C 0 + C 1 ? 6 + C 2 ? 62 + C 3 ? 63 +
n
n
n
n
+ C n ? 6 n 与已知的有一些差距，
n
∴ C 1 + C 2 ? 6 + C 3 ? 62 + n n n
+ C n ? 6n -1 = n 1
6 (C 1 ? 6 + C 2 ? 62 + + C n ? 6n )
n n n
= 1 6 (C 0 + C 1 ? 6 + C 2 ? 62 + n n n
1 1
+ C n ? 6n - 1) = [(1+ 6) n - 1] = (7 n - 1)
n
练： C 1 + 3C 2 + 9C 3 +
n
n
n
+ 3n -1 C n = .
n
解：设 S = C 1 + 3C 2 + 9C 3 +
n
n n
n
3S = C 1 3 + C 2 32 + C 3 33 +
n
n
n
n
+ 3n -1 C n ，则
n
+ C n 3n = C 0 + C 1 3 + C 2 32 + C 3 33 +
n n n n n
+ C n 3n - 1 = (1+ 3) n - 1
n
(1+ 3)n - 1 4n - 1
∴ S = =
n
题型二：利用通项公式求 x n 的系数；
例：在二项式 ( 4 1 x
+ 3 x 2 )n
的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x 3 的项的系数？
解：由条件知 C n -2 = 45 ，即 C 2 = 45 ，∴ n 2 - n - 90 = 0 ，解得 n = -9(舍去)或n = 10 ，由
n
n
43，由题意-10-r
2
+r=3,解得r=6，
=C r(x2)9-r(-)r=C r x18-2r(-)r x-r=C r(-)r x18-3r，令18-3r=9,则r=3 2x22
22
2x
)10的展开式中的常数项？
2x2r x2，令20-
102256
=C
2x2
练：若(x2+)n的二项展开式中第5项为常数项，则n=____.
解：T=C4(x2)n-4()4=C4x2n-12，令2n-12=0，得n=6.
x
6，令27-r
∈Z,(0≤r≤9)得r=3或r=9，
=(-1)C 6
x2)n展开式中各项系数依次设为a,a,???a,
T r+1
12
=C r(x-4)10-r(x3)r=C r x-
1010
10-r2
+r
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43
则含有x3的项是第7项T
6+1=C6x3=210x3,系数为210。
10
练：求(x2-1
2x
)9展开式中x9的系数？
解：T
r+1999
111
121
故x9的系数为C3(-)3=-。
9
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式(x2+
1
解：T
r+1=C r(x2)10-r
10
11
()r r()
10
5
20-r
5
2
145
r=0，得r=8，所以T=C8()8=
9
练：求二项式(2x-1
2x
)6的展开式中的常数项？
解：T
r+1
11
=C r(2x)6-r(-1)r()r=(-1)r C r26-r()r x6-2r，令6-2r=0，得r=3，所以T=(-1)3C3=-20 6646
1
x
1
5n n
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x-3x)9展开式中的有理项？
解：T
r+1=C r(x
2)9-r(-
x3)r
r
r x
99
1127-r
6
所以当r=3时，27-r
6=4，T=(-1)3C3x4=-84x4，
49
27-r
当r=9时，=3，T=(-1)3C9x3=-x3。
109
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(x2-
1
3x2
)n展开式中偶数项系数和为-256，求n.
解：设(x2-
31
01n
令x=-1,则有a+a+???a=0,①，令x=1,则有a-a+a-a+???+(-1)n a=2n,②01n0123n
练：若(3
1
例：已知(+2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
T和T∴T的系数=C3()423=,，T的系数=C4()324=70,当n=14时，展开式中二项式系数
222
最大的项是T，∴T的系数=C7()727=3432。
2
+1=5，即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于C6()2=7
22
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(+2x)n的展开式中系数最大的项？
22
∴?r+1
?
r+1
≥A=?12
??C r4r≥C r+14r+1
?
2
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将①-②得：2(a+a+a+???)=-2n,∴a+a+a+???=-2n-1,
135135
有题意得，-2n-1=-256=-28，∴n=9。
1
+5
x x2
)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：C0+C2+C4???+C2r+???=C1+C3+
n n n n n n
+C2r+1+???=2n-1，∴2n-1=1024，解得n=11
n
所以中间两个项分别为n=6,n=7，T
5+1
=C5(3
n
11
)6(5
x x2
)5=462?x-4，T
6+1
61
=462?x-15
题型六：最大系数，最大项；
1
2
大项的系数是多少？
解：C4+C6=2C5,∴n2-21n+98=0,解出n=7或n=14，当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是n n n
1351
454757
1
8814
练：在(a+b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T
2n
2+1
=T
n+1
，也就是第n+1项。
练：在(
x
2
-
1
3x
)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第5项的二项式最大，则
n1
8
例：写出在(a-b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
T=-C3a4b3的系数最小，T=C4a3b4系数最大。
4757
1
2
11
解：由C0+C1+C2=79,解出n=12,假设T项最大，(+2x)12=()12(1+4x)12
n n n r+1
?A
≥
A
A
r
r+2
?C r4r≥C r-14r-1
12
1212
，化简得到9.4≤r≤10.4，又0≤r≤12，∴r=10，展开式中系
1
数最大的项为T,有T=()12C10410x10=16896x10
111112
∴? = ? 10 ??C r 2 r
≥ C r +1 2 r +1 , ? r +1 解得 ? r + 1 ≥ 2(10 - r )
?
r +1 的展开式中才
- 2)3 = ( x - )6 ，设第 r + 1 项为常数项，则 T x x
x 学习必备 欢迎下载
练：在 (1+ 2 x )10 的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设 T r +1
项最大， T
r +1
= C r ? 2r x r
10
A ≥ A
r
+ 21010
? A ≥ A ?C r 2 r ≥ C r -1 2 r -1 r +1 r 10 ? 2(11 - r ) ≥ r ? ，化简得到 6.3 ≤ k ≤ 7.3 ，又 0 ≤ r ≤ 10 ，
∴ r = 7 ，展开式中系数最大的项为T = C 7 27 x 7 = 15360 x 7 .
8
10
题型七：含有三项变两项；
例：求当 ( x 2 + 3x + 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数？
解法①： ( x 2 + 3 x + 2) 5 = [( x 2 + 2) + 3 x ]5 ， T
r +1
= C r ( x 2 + 2) 5-r (3 x )r ，当且仅当 r = 1 时， T
5
有 x 的一次项，此时T
r +1
= T = C 1 ( x 2 + 2) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C 1C 4 243 x
2 5 5 4
它的系数为 C 1C 4 243 = 240 。
5 4
解法②： ( x 2 + 3 x + 2) 5 = ( x + 1)5 ( x + 2) 5 = (C 0 x 5 + C 1 x 4 + ??? + C 5 )(C 0 x 5 + C 1 x 4 2 + ??? + C 5 25 )
5
5
5 5 5 5
故展开式中含 x 的项为 C 4 xC 5 25 + C 4 x24 = 240 x ，故展开式中 x 的系数为 240.
5
5
5
练：求式子 ( x +
1
- 2)3 的常数项？
x
解： ( x +
1
1
r +1
1
= C r (-1)r x
6-r ( )r = (-1)6 C r x 6-2r ， 6 6
得 6 - 2r = 0 , r = 3 , ∴ T
3+1
= (-1)3 C 3 = -20 .
6
题型八：两个二项式相乘；
例： 求(1+ 2 x )3 (1- x)4 展开式中 x 2的系数.
解： (1+ 2 x )3的展开式的通项是 C m ? (2 x)m = C m ? 2m ? x m ,
3 3
(1- x)4的展开式的通项是 C n ? (- x )n = C n ? -1n ? x n , 其中m = 0,1,2,3, n = 0,1,2,3, 4,
4 4
令m + n = 2, 则m = 0且n = 2, m = 1且n = 1,m = 2且n = 0,因此(1+ 2 x )3 (1- x)4
的展开式中 x 2的系数等于 C 0 ? 20 ? C 2 ? (-1)2 + C 1 ? 21 ? C 1 ? (-1)1 + C 2 ? 22 ? C 0 ? (-1)0 = -6 .
3 4 3 4 3 4
练：求(1+3x)6(1+1
4x
)10展开式中的常数项.
解：(1+3x)6(1+1
4x
m n4m-3n )10展开式的通项为C m x3?C n x-4=C m?C n?x12
610610
n = 0, n = 4, ∴ ( x - 2)
2006
展开式的奇次幂项之和为S ( x ) = [( x - 2) 2006 - ( x + 2) 2006 ]
当x = 2时, S ( 2) = [( 2 - 2)
2006 - ( 2 + 2)
2006 ] = -
x
?? 的展开式中各项系数之和为 64 ，则展开式的常数项为多少？ ?
解：令 x = 1 ，则 ? 3 x -
? 的展开式中各项系数之和为 2n = 64 ，所以 n = 6 ，则展开式的常数项为 x
?m = 0, ?m = 3, ?m = 6,
其中m = 0,1,2, ??? ,6, n = 0,1,2, ??? ,10,当且仅当4m = 3n,即? 或 ? 或 ?
? ? ?n = 8,
时得展开式中的常数项为 C 0 ? C 0 + C 3 ? C 4 + C 6 ? C 8 = 4246 .
6
10 6 10 6 10
练：已知(1+ x + x 2 )( x + 1
x 3 )n 的展开式中没有常数项, n ∈ N *且2 ≤ n ≤ 8,则n = ______.
解： ( x + 1 x 3
)n
展开式的通项为C r ? x n -r ? x -3r = C r ? x n -4r , 通项分别与前面的三项相乘可得
n n
C r ? x n -4r ,C r ? x n -4r +1,C r ? x n -4r +2 ,
展开式中不含常数项 , 2 ≤ n ≤ 8
n
n n
∴ n ≠ 4r 且n ≠ 4r + 1且n ≠ 4r + 2，即n ≠ 4,8且n ≠ 3,7 且n ≠ 2,6, ∴ n = 5.
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例： 在( x - 2) 2006的二项展开式中, 含x 的奇次幂的项之和为 S ,当x = 2时, S = _____.
解： 设( x - 2) 2006 =a + a x 1 + a x 2 + a x 3 +
+ a 0
1
2
3
2006
x 2006 -------①
(- x - 2) 2006 =a - a x 1 + a x 2 - a x 3 +
1
2
3
+ a
2006
x 2006 -------②
① - ②得2(a x + a x 3 + a x 5 + + a
1
3
5
2005
x 2005 ) = ( x - 2) 2006 - ( x + 2) 2006
1
2
题型十：赋值法；
3?2006 1 2
2
2
2
= -23008
例：设二项式 (3 3 x + 1 x
)n
的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 s ,若
p + s = 272 ,则 n 等于多少？
解：若 (3 3 x + 1 )n
= a + a x + a x 2 + ??? + a x n ，有 P = a + a + ??? + a ， S = C 0 + ?? +C n = 2n ，
0 1 2 n 0 1 n n n
令 x = 1 得 P = 4n ，又 p + s = 272 ,即 4n + 2n = 272 ? (2 n + 17)(2 n - 16) = 0 解得
2n = 16或2n = -17(舍去) ，∴ n = 4 .
练：若 ? 3 x -
?
1 ? n x ?
? 1 ? n
?
x ?
C 3 (3 x )3 ? (-
1
6
)3 = -540 .
2
+ ???+
2009
的值为
, 可得a + 1 +
2 + ???+
2 2 22 22009 2 22 22009 a
在令x = 0可得a = 1,因而 1 + 2 + ???+
2 2 22009
例： 若(1- 2 x )2009 = a + a x 1 + a x 2 + a x 3 +
+ a
1
2
3
2009
x 2009 ( x ∈ R), 则
解： 令x =
a a a
2009 = -1.
0 练： 若( x - 2)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2 + a x 1 + a , 则a + a + a + a + a = ____.
5
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
解： 令x = 0得a = -32, 令x = 1得a + a + a + a + a + a = -1,
0 0
1
2
3
4
5
∴ a + a + a + a + a = 31.
1 2
3
4
5
题型十一：整除性；
例：证明： 32 n + 2 - 8n - 9( n ∈ N * ) 能被 64 整除
证： 32n +2 - 8n - 9 = 9n +1 - 8n - 9 = (8 + 1)n +1 - 8n - 9
= C 0 8n +1 + C 1 8n + ??? + C n -182 + C n 81 + C n +1 - 8n - 9
n +1
n +1 n +1 n +1 n +1
= C 0 8n +1 + C 1 8n + ??? + C n -182 + 8(n + 1) + 1 - 8n - 9 = C 0 8n +1 + C 1 8n + ??? + C n -182
n +1
n +1 n +1 n +1 n +1 n +1
由于各项均能被 64 整除∴ 32 n +2 - 8n - 9( n ∈ N * )能被 64整除