《二次根式》
1.二次根式的概念
(1)一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题:
①二次根号“”的根指数是2,二次根号下的a叫被开方数,被开方数可以是数字,也可以是整式、分式等.
②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式.即a≥0是a为二次根式的前提条件.式子-2就不是二次根式,但式子(-2)2是二次根式.
③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根,既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
④4是二次根式,虽然4=2,但2不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”.
二次根式有两个要素:一是含有二次根号“”;二是被开方数可以不只是数字,但必须是非负的,否则无意义.
【例1-1】当a为实数时,下列各式中哪些是二次根式?
a+10,|a|,a2,a2-1,a2+1,(a-1)2.
分析:因为a为实数,而|a|≥0,a2≥0,a2+1>0,(a-1)2≥0,所以|a|,a2,a2+1,(a-1)2是二次根式.
因为a是实数时,并不能保证a+10,a2-1是非负数,即a+10,a2-1可能是负数.如当a<-10时,a+10<0;又如当0<a<1时,a2-1<0,因此,a+10,a2-1不是二次根式.
解:|a|,a2,a2+1,(a-1)2是二次根式.
【例1-2】x是怎样的实数时,式子x-3在实数范围内有意义?
分析:问题实质上是问当x是怎样的实数时,x-3是非负数,式子x-3有意义.解:由二次根式的定义可知被开方式x-3≥0,即x≥3,就是说当x≥3时,式子x-3在实数范围内有意义.
2.二次根式的性质
(1)a(a≥0)是一个非负数
...
a(a≥0)既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它一定是非负数,即a ≥0(a≥0),我们把这个性质叫做二次根式的非负性.
【例2-1】若a+3+(b-2)2=0,则a b的值是__________.
解析:由题意可知a+3=0,(b-2)2=0,
所以a+3=0,b-2=0,
则a=-3,b=2.所以a b=(-3)2=9.
答案:9
(2)(a)2=a(a≥0)
由于a(a≥0)是一个非负数,表示非负数a的算术平方根,因此通过算术平方根的定义,将非负数a的算术平方根平方,就等于它本身,即(a)2=a(a≥0).
【例2-2】化简:①(2
3)
2=__________;
②(x -3)2(x ≥3)=__________.
解析:①直接利用公式(a )2=a (a ≥0),可得(23)2=2
3
;②因为x ≥3,所以x -3≥0,所以由公式(a )2=a (a ≥0),可得(
x -3)2=x -3(x ≥3).
答案:①2
3
②x -3
(3)a 2
=|a |=?????
a (a ≥0),-a (a <0).
由算术平方根的定义,可得a 2=|a |=?
???
?
a (a ≥0),-a (a <0).
a 2=a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .
【例2-3】计算: (1)(-1.5)2;
(2)(a -3)2(a <3);
(3)(2x -3)2(x <3
2
).
解析:
错解
正解
(1)
(-1.5)2=-1.5;
(2)(a -3)2=a -3; (3)(2x -3)2=2x -3. (1)(-1.5)2=|-1.5|=1.5;
(2)(a -3)2=|a -3|=3-a (a <3);
(3)(2x -3)2=|2x -3|=3-2x (x <3
2
).
错因剖析:
本题对性质(a )2=a (a ≥0)与a 2=|a |应用混淆,需特别注意被开方数是非负数时,a 2=a (a ≥0).
思路分析:
根据a 2=|a |,首先去掉根号,然后利用绝对值的定义求解.
(1)(a )2=a 的前提条件是a ≥0;而a 2=|a |中的a 为一切实数.
(2)a (a ≥0),|a |,a 2是三个重要的非负数,即a (a ≥0)≥0,|a |≥0,a 2≥0,在解题时应用较多.
(3)a 2=(a )2成立的条件是a ≥0,否则不成立.
(4)(a )2=a (a ≥0)可以逆用,即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式.
(5)在利用a 2进行化简时,要先得出|a |,再根据绝对值的性质进行化简,一定要弄清被开方数的底数是正还是负,这是容易出错的地方.
3.求二次根式中被开方数字母的取值范围
由二次根式的意义可知,a 的取值范围是:a ≥0.即当a ≥0时,a 有意义,是二次根式;当a <0时,a 无意义,不是二次根式.
(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时,可根据式子a 有意义或无意义的条件,列出不等式,然后解不等式即可.
(2)当被开方数是分式时,同时要求分母不等于零.
求解此类问题抓住一点,就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须
是非负数,即把问题转化为解不等式.
【例3】当字母取何值时,下列各式为二次根式. (1)a 2+b 2; (2)-3x ;
(3)1
2x ; (4)-32-x
.
分析:必须保证被开方数是非负数,以上式子才是二次根式,当分母上有未知数时,分母不能为0,根据这些要求列不等式解答即可.
解:(1)因为a ,b 为任意实数时,都有a 2+b 2≥0, 所以当a ,b 为任意实数时,
a 2+
b 2是二次根式.
(2)-3x ≥0,x ≤0,即当x ≤0时,-3x 是二次根式.
(3)1
2x
≥0,且x ≠0,所以x >0. 当x >0时,1
2x 是二次根式.
(4)-3
2-x ≥0,故x -2≥0且x -2≠0,所以x >2. 当x >2时,
-3
2-x 是二次根式. 4.二次根式非负性的应用
(1)在实数范围内,我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根,它具有双重非负性:①a ≥0;②a ≥0.
运用这两个简单的非负性,再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0,则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题.
巧记要点:二次根式,内外一致;即二次根式根号下和根号外一致为非负数. (2)到目前为止,我们已经学过三类具有非负性的代数式: ①|a |≥0;②a 2≥0;③a ≥0(a ≥0).
【例4-1】已知x ,y 都是实数,且满足y =5-x +x -5+3,求x +y 的值.
分析:式子中有两个二次根式,它们的被开方数都应该是非负数,由此可得关于x 的不等式组.
解:由题意知????? 5-x ≥0,x -5≥0,∴?????
x ≤5,
x ≥5,
∴x =5.
当x =5时,y =5-5+
5-5+3=3.
∴x +y =5+3=8.
两个算术平方根,当被开方数互为相反数时,只有它们同时为零,这两个
式子才能都有意义.
【例4-2】已知x ,y 为实数,且y =1
2+8x -1+1-8x ,则x ∶y =__________.
解析:因为y 为实数,所以隐含着两个算术平方根都有意义,即被开方数均为非负
数.实际上,若a 和-a 都有意义,则a =0.即依题意得?????
8x -1≥0,
1-8x ≥0.
解得x =18,于是y =12+0+0=1
2
.故x ∶y =1∶4.
答案:1∶4,
5.式子(a )2的意义和运用
二次根式的一个性质是:(a )2=a (a ≥0).
因为2=(2)2,35=(35
)2
,所以上面的性质又可以写成:a =(a )2(a ≥0).可见,利
用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.
二次根式中的23表示2×3,这与带分数212表示2+1
2
是不一样的,因
此,以后遇到32×3应写成323,而不能写成11
2
3.
【例5-1】计算:(1)(23)2;(2)(-212
)2
;(3)(-5×3)2.
解:(1)(23)2=22×(3)2=12. (2)(-2
12
)2
=(-2)2×(12
)2
=2. (3)(-5×3)2=(-1)2×(5×3)2=15.
【例5-2】把多项式n 5-6n 3+9n 在实数范围内分解因式.
分析:按照因式分解的一般步骤,先对多项式n 5-6n 3+9n 提取公因式,得n (n 4-6n 2
+9),再利用完全平方公式分解,得n (n 2-3)2,要求在实数范围内分解,所以可以将3写成(3)2,再运用平方差公式进行因式分解.
解:n 5-6n 3+9n =n (n 4-6n 2+9)=n (n 2-3)2=n (n +3)2(n -3)2.
6.二次根式与相反数和绝对值的综合应用
(1)二次根式具有非负性,一个数的绝对值,完全平方数也是一个非负数,因此可以把这几者结合出题.
(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数,即:|a |≥0,b ≥0(b ≥0),c 2≥0.非负数有一个重要的性质,即若干个非负数的和等于零,那么每一个非负数分别为零.
即:|a |+b =0?a =0,b =0; |a |+c 2=0?a =0,c =0; b +c 2=0?b =0,c =0; |a |+b +c 2=0?a =0, b =0,c =0.
【例6-1】若|a -b +1|与a +2b +4互为相反数,则(a +b )2 011=______.
解析:|a -b +1|与a +2b +4互为相反数,
∴|a -b +1|+
a +2
b +4=0.
而|a -b +1|≥0,
a +2
b +4≥0,
∴????? a -b +1=0,a +2b +4=0.∴?????
a =-2,
b =-1.
∴(a +b )2 011=(-2-1)2 011=(-3)2 011=-32 011. 答案:-32 011
【例6-2】若a 2+b -2=4a -4,求ab 的值.
分析:通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式,即(a -2)2+
b -2=
0,由二次根式的性质可知
b -2≥0,由完全平方数的意义可知(a -2)2≥0,而它们的和
为零,则a -2=0,b -2=0,从而可求出a ,b 的值.
解:由a 2+
b -2=4a -4,得a 2-4a +4+b -2=0,即(a -2)2+
b -2=0.
∵(a -2)2≥0,
b -2≥0且(a -2)2+
b -2=0,
∴a -2=0,b -2=0,解得a =2,b =2. ∴ab =2,即ab 的值为2.
7.二次根式(a )2=a (a ≥0)与a 2=|a |的区别、运用
(a )2=a (a ≥0)与a 2=|a |是二次根式的两个极为重要的性质,是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据.
(1)正确理解(a )2与a 2的意义
学习了二次根式的定义以后,我们知道a ≥0(a ≥0),即a 是一个非负数,a 是非负数a 的算术平方根,那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方,但只有当a ≥0时,a 才能有意义.对于a 2,则表示a 2的算术平方根,由于a 2中的被开方数是一个完全平方式,所以a 无论取什么值,a 2总是非负数,即a 2总是有意义的.
(2)(a )2与a 2的区别和联系
区别:①表示的意义不同.(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方;a 2表示实数a 的平方的算术平方根.
②运算的顺序不同.(a )2是先求非负实数a 的算术平方根,然后再进行平方运算;而a 2则是先求实数a 的平方,再求a 2的算术平方根.
③取值范围不同.在(a )2中,a 只能取非负实数,即a ≥0;而在a 2中,a 可以取一切实数.
④写法不同.在(a )2中,幂指数2在根号的外面;而在a 2中,幂指数2在根号的里面.
⑤结果不同.(a )2=a (a ≥0),而a 2=????
?
a (a >0),0(a =0),
-a (a <0).
联系:①在运算时,都有平方和开平方的运算.
②两式运算的结果都是非负数,即(a )2≥0,a 2≥0. ③仅当a ≥0时,有(a )2=a 2.
如果先做二次根式运算,后做平方运算,只有一种可能;如果先做平方运
算,再做二次根式运算,答案需分情况讨论.
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【例7-1】已知x <2,则化简x 2-4x +4的结果是( ). A .x -2 B .x +2 C .-x -2 D .2-x 解析:
x 2-4x +4=
(x -2)2=
(2-x )2,
因为x <2,2-x >0,所以x 2-4x +4=2-x . 答案:D
【例7-2】化简1-6x +9x 2-(2x -1)2得( ). A .-5x B .2-5x C .x D .-x
错解
正解
原式=(1-3x )2-(2x -1)
=(1-3x )-(2x -1)=2-5x ,
故选B. 由
2x -1,知2x -1≥0,得x ≥1
2
,从而有
3x -1≥0,所以原式=
(1-3x )2-(2x -1)=
(3x -1)2-(2x -1)=(3x -1)-(2x -1)=x .故选C. 错因剖析:
本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件.题目中2x -1有意义,说明隐含了
条件2x -1≥0,即x ≥1
2
,可
知3x -1≥0.
思路分析:
本题主要应用二次根式的性质:
(1)
a 2=|a |=
()()0,
0.a a a a ≥???
??
-< (2)(a )2=a (a ≥0) .
正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 【例7-3】若m 满足关系式3x +5y -2-m +2x +3y -m =x -199+y ·199-x -y ,试确定m 的值.
分析:挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性,并在解题过程中有机地配合应用,是解决本题的关键.
解:由算术平方根的被开方数的非负性,得
???
?? x -199+y ≥0,199-x -y ≥0,即?
????
x +y ≥199,
x +y ≤199.∴x +y =199. ∴x -199+y ·199-x -y =0. ∴
3x +5y -2-m +
2x +3y -m =0.
再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零,
得????? 3x +5y -2-m =0,2x +3y -m =0.
①②
由①-②,得x +2y =2.
解方程组????? x +y =199,x +2y =2,得?
????
x =396,
y =-197.
∴m =2x +3y =2×396+3×(-197)=201.
点拨:(1)运用二次根式的定义得出:x ≥a 且x ≤a ,故有x =a ,这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法,在前面的解题中已用到.
(2)由?????
a ≥0,
b ≥0,
a +
b =0推出a =b =0,这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之
一.