不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高二数学基本不等式训练题 数学基本不等式训练题1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是() A.有最大值-2 B.有最小值2 C.无最大值和最小值 D.无法确定 答案：B 2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案：A 3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____. 答案：2 4 4.已知f(x)=12x+4x. (1)当x0时，求f(x)的最小值; (2)当x0 时，求f(x)的最大值. 解：(1)∵x0，12x，4x0. 12x+4x212x4x=83. 当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83， 当x0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x0，-x0. 则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83， 当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号. 当x0时，f(x)的最大值为-83. 一、选择题 1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+12x B.x2-1+1x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案：C 2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是() A.32-3 B.-3 C.62 D.62-3 解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3. 3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立. 4.给出下面四个推导过程： ①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba ②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx ③∵aR，a0，4a+a 24a ④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2. 其中正确的推导过程为() A.①② B.②③ 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 课后训练 1．若－4＜x ＜1，则()22222 x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值－1 D ．有最大值－1 2．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ? +?<. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数， 求下列各式的最值： (1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22 x y x y +-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值． 参考答案 1. 答案：D 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 解不等式 一. 选择题： 1. 使不等式x x 1> 成立的x 取值范围是（ ） A. )1(∞， B. )1(--∞， C. )1()01(∞-，， D. )1()1(∞--∞，， 2. 不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 高中数学常见的 10类基本不等式问题汇总 一、基本不等式的基础形式1．2 2 2a b ab ，其中,a b R ，当且仅当a b 时等号成立。 2．2a b ab ，其中,0,a b ，当且仅当a b 时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b ab a b ，其中,0, a b ，当且仅当a b 时等号成 立。 二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路： （1）积定和最小：若 ab 是定值，那么当且仅当a b 时，min 2a b ab 。其中,0, a b （2）和定积最大：若 a b 是定值，那么当且仅当a b 时，2 max 2 a b ab ，其中,a b R 。 例题1：若实数,a b 满足2 21a b ，则a b 的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得： 2 2 2 22 22 122 2 4 a b a b a b a b ， 当且仅当1a b 时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a 的图象恒过定点A ， 若点在直线1mx ny 上，则mn 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点 1,1A ，将点1,1A 代入直线方程1mx ny 中可得1m n ，明 显，和为定，根据和定积最大法则可得： 2 124 m n mn ，当且仅当 1 2 m n 时取等号。例题2：已知函数2 12 2 x x f x ，则 f x 取最小值时对应的 x 的值为 __________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得： 2 2 112 22 12 2 x x x x ，当且仅当 2 12 12 x x x 时取等号。 变式：已知2x ，则12 x x 的最小值为。 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>， 则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 > 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2? ?-- ?? ?） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 §3.2 均值不等式(一) 一、基础过关 1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2 ab D.b a ＋a b ≥2 3．已知m ＝a ＋1 a －2 (a >2)，n ＝????1 2x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 明目标、知重点 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题． 1．用均值不等式求最值的结论 (1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 2 4. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数； (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 前一节课我们已经学习了均值不等式，我们常把a ＋b 2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫 做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 均值不等式与最值 思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 2 4，当x ＝y 时，积xy 取得最 大值s 2 4 . 思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 例1 求函数f (x )＝－2x 2＋x －3 x (x >0)的最大值，及此时x 的值． 解 f (x )＝1－(2x ＋3 x )． 因为x >0，所以2x ＋3 x ≥2 2x ·3 x ＝26， 得－(2x ＋3 x )≤－2 6.因此f (x )≤1－2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝3 2时，式中等号成立． 由于x >0，因而x ＝ 6 2 时，式中等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝ 62 . 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4 x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 【教学目标】 1、知识与技能目标 （12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程。 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件。 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？ 赵爽弦图 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形 的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab， 正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正 方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正 方形EFGH缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即 4．基本不等式 1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证≥ +b a ab 2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab 20 （3）要证（3），只要证（a-b）0 ≥（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义 如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤() 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。 我们称ab为正数b a,的几何平均数，称 2b a+ 为正数b a,的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习 已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 高二数学不等式的证明知识点归纳:初三数学知 识点归纳 不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型，也是高二数学教学的重点，下面是WTT给大家带来的高二数学不等式的证明知识点归纳，希望对你有帮助。 高二数学不等式的证明知识点 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、 b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号.(2)综合法：从已知条出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条，直到所需条已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学学习方法 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 (4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 (5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 (6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。高二数学基本不等式训练题
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