三角形
【知识梳理】
三角形
1、三角形基础知识
三边关系
边角关系
2、三角形的分类
3、等腰三角形
4、三角形的全等
5、三角形的相似
6、直角三角形与锐角三角函数
三线：（高线、中线、角平分线）类：
【能力训练】
1、（07浙江义乌）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=6cm ，则BC=_____cm.
2、（07年娄底市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝40o， AC ∥BD ，则∠ABD ＝__________。
B
3、如图（5）BC⊥ED于点M，∠A=27°，∠D=20°，则
∠B= °，∠ACB= °
4、已知三角形三边长为3，4，则第三边为，
若该边为偶数有个。
5、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．
6、（08重庆）已知一等腰三角形两内角之比为1∶4，则其顶角的度数为（） A）200 B）1200 C）200或1200 D）360
7、等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A＝_____
8、 07年长沙）△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
当BC=10cm时，DE= cm。
9、现有2cm、4cm、4cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根
组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为
（）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10、如图，ABC
?中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 。
11、如图，在△ABC中, AB=AC,点D是
BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为E、F．
求证：DE=DF．
12、如图，已知,36,
AB AC A AB
=∠=?
的中垂线MN交AC于点D，交AB于
点M，有下面4个结论：
①射线BD是ABC
∠的角平分线；
②BCD
?是等腰三角形；
③ABC
?∽BCD
?；
④AM D
?≌BCD
?。
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个
加以证明。
13、化简求值：4()(2)(2)
x y x x y x y
-++-，其中
1
2
2
x y
==-
，
《三角形》2 三角形的全等
证明角相等：
【能力训练】
1、（08天津）下列判断中错误．．
的是（ ） A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
2、如图，AE AD =，要使ABE ACD △≌△，
需添加一个条件是 （只要写一个条件）． 3、（08浙江温州）已知：如图，12,.C D AC AD ∠=∠∠=∠=求证：.
4、已知，如图AB ＝DE ，BF ＝CE 。
求证：（1）△ABC ≌△DEF ；
O
C
E
A D
B
（2）GF ＝GC 。
5、如图，AB DE =，AC DF =，AC DF ∥．
求证：ABC DEF △≌△；
6、（湖南怀化）如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠， 求证：BC DE =
7、如图，在等边ABC △中，且
BD AE
=，AD 与CE 交于点F ． （1）求证：AD CE =；
（2）求DFC ∠
8、已知：如图，
C
为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，
AB CE =，
BC ED =．求
证：AC CD =．
9、已知：如图，AB=CD ，BC=AD BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F 求证：BE=DF 10、已知：如图，∠ABC=∠DCB ，AB=DC ， 求证：AE=DE
11、已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．
B D E
D
C
A
C
E D
B
A E B
C
F
D 1 2 3
《三角形》3 三角形的相似
角形相似的判定
【能力训练】 ◇相似的性质◇
1、如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=2，则DE∶BC 的值为___________ 。
2、 AB ：AC=2：5，以AB ，AC 为直径画圆，则小圆面积与大圆面积比为________ 。
3、如图，已知等腰△ABC 的面积为8cm 2
，点D 、E 分别是AB 、AC 边中点，则梯形DBCE 的面积为______ cm 2
．
4、将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于___________ 。
5、同一时刻，小明身高 1.5米，影长1米，一棵槟榔树影长为5米，树高是 米.
6、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_____________m
7、两个相似三角形，相似比为7∶2，其中一个三角形的面积是14，则另一三角
A B O
C
D
2m 6m
1.8m
形面积是________。 8、 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m ，排球落地点离墙的距离是6m ，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
◇三角形相似的判定◇
9、如图,已知:DE ∥BC,EF ∥AB,则图中有_____对三角形相似.
10、如图,P 是△ABC 中AB 边上的一点,要使△ACP 和△ABC 相似,则可添加一个条件:________________________________
11、 如图，在正方形网格上有6个斜三角形．①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②～⑥中，与三角形①相似的是 （ ） 12、 如图,在大小为4×4的单位正方形方格中, ?ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个?A1B1C1 与?ABC 相似（相似比不为1），且顶点都在单位正方形的顶点上.
◇三角形相似的应用◇
13、如图，已知正方形ABCD ，P 为DC 上一点（D 、C 除外），连结AP ，将△APD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△CED ，直线EC 交直线AP 于G. 求证：AE ·ED=EG ·CE.
14、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．
求证：“Rt Rt AEP DPC △∽△”
C
B
B
K
A
B
C
P
如图，已知正方形ABCD ，P 为DC 上一点（D 、C 除外），连结AP ，将△APD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△CED ，直线EC 交直线AP 于G.
求证：AE ·ED=EG ·CE.
如图，A B D E ，，，四点在
O 上，AE BD ，的延长线相交于点C ，直径AE 为8，12OC =，EDC BAO ∠=∠．
（1）求证：CD CE
AC CB =
；
《三角形》4 直角三角形与三角形函数的应用
面积的2倍）
O
C
E D
B
A
【能力训练】
◇直角三角形及其性质◇
1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 _________ 。
2、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 。
3、如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是正六边形的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你画出所有可能的Rt △，求出直角三角形的斜边长 ．
◇锐角三角函数◇
4、已知△ABC 中，∠C=90o，BC=2，AB=3,则=∠B cos _________。
5、计算
◇ 解三角形及其应用◇
6、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC 的长是 。
7、已知斜坡的坡角?=30α，则该斜坡的坡度为 。 8、半径为R 的圆内接正三角形边长是
。
9、点
P （3，1）求：(1) PO （2）α∠ 10、如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C 点的仰角为45°,从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20m.点C 和直线AB 在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号). 11、如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A 点测D 点的俯角为30°，测C 点的俯角为60 12、去年山洪暴发，好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，当坡角不超过45°时，可以保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图示，
BC ∥，斜坡AB 长30米，
60=°．改造后斜坡
BE 与地面
45°角，求AE 至少是多少米？（精0.1米） E
A