2015天津高考压轴卷
数学文科试卷
一、 选择题：(每题5分，共40分)
1.i 是虚数单位，复数
534i
i
+-=（ ）
A ．1-i B.-1+ i C.1+ i D.-1-i
2.设变量x,y 满足约束条件??
?
??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为
( )A.-5 B.-4 C.-2 D.3
3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )
A.8
B.18
C.26
D.80
4.已知命题P:“
1x
y
>”,命题q:“0x y >>”,则 p 是q 的( )
（
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.在下列区间中,函数()=+4-3x f x e x 的零点所在的区间为（ ）
A ．(1
-4
,0)
B ．(0,
14
) C ．(
14,12
) D ．(
12,34
) 6.
将函数sin cos y x x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图像
关于y 轴对称,则a 的最小值为( )
A ．π6
B ．
π2
C ．
7π6
D ．
π3
7.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设
)2.0(),3(log )7(log 6.02
14f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ． c a b <<
8.已知()()[]22,0
,1,132,0x x f x f x ax x x x ?-≤=≥∈-?
->?若在上恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(][)10,-∞-?+∞
B ．[]1,0-
C ．[]0,1
D ．),1[]0,(+∞?-∞
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.若集合{}
1≤=x x A ,?
??
???<=11x x A ,则B A ?=_____________.
10.如图,PA 是圆O 的切线,切点为A ,2PA =,AC 是圆O 的直径,
PC 与圆O 交于点B ,1PB =,则圆O 的半径R 等于________.
11 ．某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 .
12.已知双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为
1的直线
与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截
得的弦长为
2
(e 为双曲线C 的离心率）
，则e 的值为 13.函数)1,0(1)3(l o g ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中0>mn ，则
+m 1n
2
的最小值为 。 14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ,交边AC 于 点Q ,则BQ CP ?的最大值为 . 三.解答题：本大题共6小题，共80分。
15.编号为1216,,,A A A ???的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 得分
（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii ）求这2人得分之和大于50的概率． 16.ABC ?中角,,A B C 所对的边之长依次为,,a b c ,且
cos A =
2225().a b c +-= (Ⅰ)求cos 2C 和角B 的值;
(Ⅱ)若1,a c -求ABC ?的面积.
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，
,1,2AD PD BC PC PD CD ⊥====
（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
18.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且*2,2N n n n S n ∈+=,数列}{n b 满足
3lo g 42+=n n b a ,*N n ∈. (1)求n n b a ,;
(2)求数列}{n n b a ?的前n 项和n T .
19.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足
212||||.PF F F =
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆
22(1)(16x y ++=相交于M ，N 两点，且5
||||8
MN AB =，求椭圆
的方程。
20.已知函数3211()32m f x x x +=-
,1
()3
g x mx =-,m 是实数. (I)若()f x 在1x =处取得极大值,求m 的值;
(II)若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;
(III)在(II)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围.
2015天津高考压轴卷 数学文科试卷答案
一、1-4 C B C B 5-8 C A D B
二、9. )0,1[- 10. 3 11.π3108+ 12. 3 13.8 14. 22
9
-
三、15 （Ⅰ）解：4，6，6
（Ⅱ）（i ）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.
A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，
411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。
（ii ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得
分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：
454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。
所以51
().153
P B =
= 16. 解:(I)由cos
A =
,0A π<<,得sin A =
由2225()a b c +-=得cos
C ∴=
, 0C π<<,sin
C ∴=
24cos 22cos 15
C C ∴=-=,
∴()cos cos cos sin sin A C A C A C +=-=
=
∴()cos cos 2
B A
C =-+=-, ∴0B π<<,∴135B =?
(II)应用正弦定理
sin sin a c
A C
=,得a =,
由条件1,a c -得1a c == 111
sin 12
2
2
S ac B === 17.【解析】（I ）//AD BC ?PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ?中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥=== tan 2PD
PAD AD
∠=
=异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2 （II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=?⊥面PDC
AD ?面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE
平面P D C ⊥平面A B C D
P E ?⊥面ABCD PBE ?∠是直线PB 与平面A B C D 所成角
2,1201CD PD PC PDC PE DE ?===∠=?=
在Rt BCE ?中，BE PB ==
在Rt BPE ?中，sin PE PBE PB
∠=得：
直线PB 与平面ABCD 18. (1)n n S n n +=≥22,2 )1()1(221-+-=-n n S n 14-=n a n (*)
1=n 时 311==a S 满足(*)
14-=∴n a n 143log 42-=+=n b a n n 1log 2-=n b n 12-=∴n n b (2)12)14(--=?n n n n b a
12102)14(2112723-?-++?+?+?=∴n n n T n n n n n T 2)14(2)54(27232121-+?-++?+?=- n n n n T 2)14(242424231210--?++?+?+?=-- n n n 2)14()222(43121--++++=-
n n n 2)14(2
1)21(2431----?+=-
n n n 2)14(8232---+=+
52)45(--=n n 52)54(+-=∴n n n T
19.（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，
2c =，整理得2
210,1c c
c a a a ??+-==- ???得（舍）
或
11
,.22
c e a ==所以
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，
直线FF 2
的方程为).y x c =-
A ，
B 两点的坐标满足方程
组222
3412,
).
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得
2
580x c x -=。解得1280,5x x c ==
，得方程组的解21128,0,5,.
x c x y y ?=?=???
??=???=?
?
不妨设85A c ?? ? ???
，(0,)B ，
所以16||.5AB c ==
于是5
||
||2.
8
M N A B c ==圆
心(13-到
直线PF 2的距离
d =
=
因为2
22
||42MN d ??+= ???
，所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=，得26
7
c =-
（舍），或 2.c =
所以椭圆方程为22
1.1612
x y +
=
20. (I)解:2()(1)f x x m x '=-+
由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, 所以0m =(适合题意)
(II)2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以
2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, 所以10x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立 由于2x >,得1m ≤.m 的取值范围是1m ≤ (III)()()()h x f x g x =-32
1132
m x x +=
-13mx +-,
故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x = 当1m =时,2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意 当1m <时,()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表: