2015-2016学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中，真命题是（）
A．?x0∈R，e≤0 B．?x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1且b＞1是ab＞1的充分条件
2．若命题p：?x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）
A．?x∈R，2x2+1≤0 B．?x∈R，2x2+1＞0 C．?x∈R，2x2+1＜0 D．?x∈R，2x2+1≤0
3．下列事件中：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2+b2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温，其中为随机事件的是（）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．抛物线y=4x2的准线方程是（）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣
5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
A．e2B．e C．D．ln2
6．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．3
7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（）A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）
A．2 B．﹣2 C．D．
10．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．给出下列四个命题：
①如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
②命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
③若命题p：?x≥0，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x＜0，x2﹣x+1≥0；
④设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的充分而不必要条件．
其中为真命题的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．函数的图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离
是．
14．在如图的程序框图中，输入n=60，按程序运行后输出的结果是
15．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，则p=．16．一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1
米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为（小数点后保留二位数字）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，x∈[﹣1，2]，求f（x）的最值．
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
19．某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学
，②，③，④处的数字分别
为，，，，；
（2）在所给的坐标系中画出[80，150]上的频率分布直方图；
（3）根据题中的信息估计总体：
①120分及以上的学生人数；
②成绩在[126，150]中的概率．
20．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
21．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
22．已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
2015-2016学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中，真命题是（）
A．?x0∈R，e≤0 B．?x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1且b＞1是ab＞1的充分条件
【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质来分析；
对于B，可举个反例说明其为假，如x=2时，左边=右边；
对于C，因为是充要条件，所以要互相推出；
对于D，只要能从左边推到右边即可．
【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知e x≥0恒成立，故A假；
B，举个反例说明其不成立即可，如x=2时，左边=右边，故B假；
C，当a+b=0且b≠0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；
D，显然当a＞1且b＞1时，必有ab＞1成立，故D为真命题．
故选D
【点评】这道题主要考查了充分必要性、特称命题与全称命题的真假判断，要在准确把握判断方法的基础上解决此类问题．
2．若命题p：?x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）
A．?x∈R，2x2+1≤0 B．?x∈R，2x2+1＞0 C．?x∈R，2x2+1＜0 D．?x∈R，2x2+1≤0
【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题【解答】解：由题意?x∈R，2x2+1＞0，
的否定是?x∈R，2x2+1≤0
故选D
【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．
3．下列事件中：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2+b2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温，其中为随机事件的是（）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】逐项判断各事件是否有可能发生即可．
【解答】解：任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线有可能平行，也可能交于一点，故②为随机事件；
若实数a，b都不为0，则a2+b2一定不等于0，故③为不可能事件；
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温有可能高于今年12月10日的最高气温，也可能低于今年12月10日的最高气温．
故④为随机事件．
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件的概念，属于基础题．
4．抛物线y=4x2的准线方程是（）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣
【分析】将抛物线化成标准方程得x2=y，算出2p=且焦点在y轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线y=4x2化成标准方程，可得x2=y，
∴抛物线焦点在y轴上且2p=，得=，
因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．
故选：D
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．
5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
A．e2B．e C．D．ln2
【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．
【解答】解：∵f（x）=xlnx
∴
∵f′（x0）=2
∴lnx0+1=2
∴x0=e，
故选B．
【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
6．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．3
【分析】=tan60°=?4b2=3c2?4（c2﹣a2）=3c2?c2=4a2?=4?e=2．
【解答】解：如图，∵=tan60°，
∴=，
∴4b2=3c2，
∴4（c2﹣a2）=3c2，
∴c2=4a2，
∴=4，
∴e=2．
故选B．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．
7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取
=12人．
故：B．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．
8．某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（）A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先求出某单位的总人数，可得每个个体被抽到的概率，再求出应抽取老年人的人数．【解答】解：某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，这个单位共有30+90+60=180，假设用分层抽样的方法从他们中抽取了36个人进行体检，
则每个个体被抽到的概率是=
∴应抽取老年人的人数是30×=6，
故选：6．
【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，这是解决本题的主要依据，注意数字运算不要出错，属于基础题．
9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）
A．2 B．﹣2 C．D．
【分析】对等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，
∴f′（x）=2x+3f′（2）+，
令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，
即2f′（2）=﹣，
∴f′（2）=﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（2）是个常数，通过求导构造关于f′（2）的方程是解决本题的关键．
10．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分87，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，
余下的7个数字的平均数是91，
=91，
∴635+x=91×7=637，
∴x=2，
故选A．
【点评】本题通过茎叶图给出一组数据，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，这样的问题可以出现在选择题或填空题，本题是逆用平均数公式，考查最基本的知识点．
11．给出下列四个命题：
①如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
②命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
③若命题p：?x≥0，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x＜0，x2﹣x+1≥0；
④设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的充分而不必要条件．
其中为真命题的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题p是假命题，q一定是真命题，即可判断出正误；
②原命题的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，即可判断出正误；
③利用“非命题”的定义即可判断出正误；
④设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”?q＞1?“数列{a n}是递增数列”，即可判断出正误．
【解答】解：①如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题p是假命题，q一定是真命题，正确；
②命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，是假命题；
③若命题p：?x≥0，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x＜0，x2﹣x+1≥0，正确；
④设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”，可得q＞1，因此“数列{a n}是递增数列”，反之也成立，因此设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件，不正确．
其中为真命题的个数是2．
故选：C．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．函数的图象大致是（）
A．B．C．D．
【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案．
【解答】解：∵（x＞0）
∴（x＞0）
则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；
故选B
【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是4．
【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，已知|PF1|=6，进而可求|PF2|
【解答】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．
故答案为4
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．
14．在如图的程序框图中，输入n=60，按程序运行后输出的结果是5
【分析】利用程序框图的流行顺序，列出经过5次循环得到的结果，求出输出值．
【解答】解：经过第一次循环得到n=30，i=1，
经过第二次循环得到n=15，i=2，
经过第三次循环得到n=7，i=3，
经过第四次循环得到n=3，i=4，
经过第五次循环得到n=1，i=5
满足第二个判断框中的条件输出5，
故答案为：5．
【点评】本题考查利用程序框图解决实际问题：常采用列举出几次循环结果找规律，属于基础题．
15．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，则p=8．
【分析】利用抛物线的定义，将点A（2，m）到焦点的距离为6，转化为点A（2，m）到其准线的距离即可．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣，焦点F（，0），
又物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，
∴由抛物线的定义得：点A（2，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，
∴2﹣（﹣）=6，
∴p=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的考查，属于基础题．
16．一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1
米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为 3.15（小数点后保留二位数字）．
【分析】由题意，从概率模型的角度是几何概型中的面积类型则，即可得
出结论．
【解答】解：设撒5001粒的实验中统计得到落在圆内的豆子数为3938粒概率为P
根据题意有：P=，
解得：π≈3.15
故答案为：3.15．
【点评】本题主要考查概率与频率的关系及几何概型中的面积类型，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，x∈[﹣1，2]，求f（x）的最值．
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数在闭区间上的单调性，从而求出函数的最值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
∴f（x）在[﹣1，1）递减，在（1，2]递增，
而f（1）=﹣，f（﹣1）=f（2）=，
故最大值，最小值﹣；
（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x﹣a），
令f′（x）=0，x1=﹣a，x2=a，
①当a=0时，f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）min=f（0）=0不合题意；
②当a＞0时，f（x）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上为增函数，
∴f（x）min=f（a）＞0，得0＜a＜；
③当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上是减函数，在（﹣a，+∞）上为增函数，
∴f（x）min=f（﹣a）＜f（0）＜0，不合题意．
综上，0＜a＜．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C的方程．
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由
消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．
【解答】解：（1）由题意，得
解得∴椭圆C的方程为．
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2．
∴=﹣，
．
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴，∴．
【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
19．某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学
，②，③，④处的数字分别为，3，0.025，0.1，1；
（2）在所给的坐标系中画出[80，150]上的频率分布直方图；
（3）根据题中的信息估计总体：
①120分及以上的学生人数；
②成绩在[126，150]中的概率．
【分析】（I）根据频率分步表中所给的频率和频数，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到表中要求填写的数字．
（II）根据所给的频率分布表所给的数据，画出频率分步直方图．
（III）用这个区间上的频率乘以样本容量，得到这个区间上的频数，用每一个区间上的中间值，乘以这个区间的频率，得到平均值，把各个部分的频率相加，得到要求的频率．
【解答】解：（I）先做出③对应的数字，=0.1，
∴②处的数字是1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025
∴①处的数字是0.025×120=3，
④处的数字是1，
故答案为：3；0.025；0.1；1
（II）由频率分布表在所给的坐标系中画出[80，150]上的频率分布直方图：
（III）①120分及以上的学生人数为：
（0.275+0.1+0.05）×120=51．
②成绩在[126，150]中的概率为：
0.5×0.275+0.1+0.05=0.26．
【点评】本题考查频率分步直方图，考查画出频率分步直方图，考查利用频率分步直方图，本题是一个基础题，题目虽然有点大，但是考查的知识点比较简单．
20．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．
（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．
【解答】解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，
而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，
∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，
所有（m，n）有4×4=16种，
而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，
∴P=1﹣=．
【点评】本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
21．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（2）将f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进
而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．
从而f（x）在单调递减，在单调递增．
所以，当时，f（x）取得最小值．
（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．
令，
则．
当x＞1时，
因为，
故g（x）是[1，+∞）上的增函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视．
22．已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．
【解答】解：（1）因为椭圆方程为，
知a=2，b=1，，
可得，，
设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则，
又，联立，
解得，即为；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
由△=（16k）2﹣4（1+4k2）?12＞0，得．
，．
又∠AOB为锐角，即为，
即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，
又
，可得k2＜4．又，即为，
解得．
【点评】本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．