（五）平面解析几何中的高考热点问题
[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分,也是高考必考知识,主要以一个小题一个大题的形式呈现,难度中等偏上．
2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质,高考中的解答题,在第(1)问中常以求曲线的标准方程,在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点,就是起点低,但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高.
圆锥曲线的标准方程与性
质
,多以选择题或填空题的形式考查,各种难度均有可能．
【例1】 (2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝
5
2x ,且与椭圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点,则C 的方程为( )
A.x 28－y 2
10＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 25－y 2
4＝1
D.x 24－y 2
3＝1
B [由y ＝52x 可得b a ＝5
2.①
由椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点为(3,0),(－3,0),
可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4,b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 2
5＝1. 故选B.]
[规律方法] 解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系. 掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力.
(1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2
＋y 2＝4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( )
A ．2 B. 3
C.2
D.23
3
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |＋|DE |的最小值为( )
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
(1)A (2)A [(1)设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x , 圆的圆心为(2,0),半径为2,
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2
＝3,解得b 2＝3a 2
. 所以C 的离心率e ＝c
a ＝c 2a 2＝
1＋b 2
a 2＝2.
故选A.
(2)因为F 为y 2＝4x 的焦点,所以F (1,0)．
由题意直线l 1,l 2的斜率均存在,且不为0,设l 1的斜率为k ,则l 2的斜率为－1
k ,故直线l 1,l 2的方程分别为y ＝k (x －1),y ＝－1
k (x －1)．
由???
y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2,x 1x 2＝1, 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·
? ??
??2k 2＋4k 22
－4＝
4(1＋k 2)k 2.
同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．
所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)
k 2＋4(1＋k 2) ＝4? ??
??1k 2＋1＋1＋k 2 ＝8＋4? ?
?
??k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16,
当且仅当k 2＝1
k 2,即k ＝±1时,取得等号． 故选A.]
圆锥曲线中的定点、定值问
题
定点、关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．
【例2】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3?
????－1，32,P 4? ????
1，32中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1,证明：l 过定点．
[解] (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过P 3,P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋3
4b 2知,椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上． 因此?????
1b 2＝1，1a 2＋3
4b 2＝1，
解得?
??
a 2＝4，
b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.
如果l 与x 轴垂直,设l ：x ＝t ,由题设知t ≠0,且|t |＜2,可得A ,B 的坐标分别为?
????t ，4－t 22,? ????
t ，－4－t 22,则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1,得t ＝2,不符合题设．
从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．
将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2
＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1,x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.
而k 1＋k 2＝y 1－1x 1
＋y 2－1
x 2
＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2
＝
2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)
x 1x 2
.
由题设k 1＋k 2＝－1,
故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.
即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0,解得k ＝－m ＋1
2.
当且仅当m ＞－1时,Δ＞0, 于是l ：y ＝－m ＋1
2x ＋m , 即y ＋1＝－m ＋1
2(x －2), 所以l 过定点(2,－1)．
[规律方法] 1.证明直线过定点,应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式,此类问题中的定点多在坐标轴上.
2.解决定值问题应以坐标运算为主,需建立相应的目标函数,然后代入相应的坐标运算,结果即可得到.
3.无论定点或定值问题,都可先用特殊值法求出,然后再验证即可,这样可确定方向和目标.
已知椭圆E ：x 22＋y 22＝1(a >b >0)过点(0,1),且离心率为3
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l ：y ＝1
2x ＋m 与椭圆E 交于A ,C 两点,以AC 为对角线作正方形ABCD ,记直线l 与x 轴的交点为N ,问B ,N 两点间的距离是否为定值？如果是,求出定值；如果不是,请说明理由．
[解] (1)由题意可知,椭圆的焦点在x 轴上,椭圆过点(0,1),则b ＝1. 由椭圆的离心率e ＝c
a ＝
1－b 2a 2＝32,解得a ＝2,所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),线段AC 的中点为M (x 0,y 0)．
由?????
y ＝12x ＋m ，x 2
4＋y 2＝1，
整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0.
由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0,解得－2 2(x 1＋x 2)＋2m ＝m , 所以线段AC 的中点为M ? ? ???－m ，12m . 则|AC |＝ 1＋? ?? ??122 ×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1 4×4m 2－4×(2m 2－2)＝10－5m 2. l 与x 轴的交点为N (－2m,0),所以|MN |＝ (－m ＋2m )2＋? ?? ?? 12m 2＝ 54m 2, 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝5 2. 故B ,N 两点间的距离为定值10 2. 圆锥曲线中的范围、最值问 题 问题；二类是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题． 【例3】 平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为1 2. (1)求M 的方程； (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0), 则x 21a 2＋y 21b 2＝1,x 22a 2＋y 22 b 2＝1,y 2－y 1x 2－x 1＝－1, 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1 x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0,y 1＋y 2＝2y 0,y 0x 0＝1 2, 所以a 2＝2b 2. 又由题意知,M 的右焦点为(3,0),故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6,b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)由???? ? x ＋y －3＝0，x 26＋y 2 3＝1，解得??? ?? x ＝43 3，y ＝－3 3 或??? x ＝0， y ＝ 3. 因此|AB |＝46 3. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ? ???? －533＜n ＜3 ,设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)． 由???? ? y ＝x ＋n ，x 26＋y 2 3 ＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2) 3. 因为直线CD 的斜率为1, 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝4 3 9－n 2. 由已知,四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝86 9 9－n 2, 当n ＝0时,S 取得最大值,最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为86 3. [规律方法] 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一种是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二种是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值. 如图所示,已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ,B 两点,O 为坐标原点,OA →＋OB → ＝(－4,－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程； (2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时,求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由??? y ＝kx －2， x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2pk ,y 1＋y 2 ＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA →＋OB → ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝(－2pk ,－2pk 2－4)＝(－4,－12), 所以??? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12，解得??? p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2,抛物线C 的方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0,y 0),依题意,知抛物线过点P 的切线与l 平行时,△ABP 的面积最大, 又y ′＝－x ,所以－x 0＝2, 故x 0＝－2,y 0＝－12x 20＝－2,所以P (－2,－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455. 由??? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0,故x 1＋x 2＝－4,x 1x 2＝－4, 所以|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22×(－4)2－4×(－4) ＝410. 所以△ABP 面积的最大值为410×45 5 2 ＝8 2. 圆锥曲线中的证明与探索性问 题 ,也可以与定点、定值、存在性问题综合命题,有时也涉及一些否定质命题,证明时一般常用直接法或反证法．难度一般较大． 【例4】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点 为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0)． (1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点,证明：∠OMA ＝∠OMB . [信息提取] 看到求直线方程,想到利用先求斜率再利用点斜式求直线方程； 看到证明两角相等,想到利用两直线的斜率之和为0可证明两角相等． [规范解答] (1)由已知得F (1,0),l 的方程为x ＝1. 1分 由已知可得,点A 的坐标为? ????1，22或? ???? 1，－22. 2分 又M (2,0),所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝2 2x － 2. 3分 (2)证明：当l 与x 轴重合时,∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 4分 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA ＝∠OMB .5分 当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 6分 则x 1＜2,x 2＜2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.7分 由y 1＝kx 1－k ,y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k (x 1－2)(x 2－2). 8分 将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2 ＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 2 2k 2＋1,x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1 . 9分 则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0. 11分 从而k MA ＋k MB ＝0,故MA ,MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上,∠OMA ＝∠OMB . 12分 [易错与防范] 解答本题(2)时易漏掉对特殊情况讨论,即直线与x 轴重合及直线与x 轴垂直,想当然认为斜率一定存在而致错,解答此类问题时应特别注意直线斜率存在与否． [通性通法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证法． 在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 2 4与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点． (1)当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． [解] (1)由题设可得M (2a ,a ),N (－2a ,a ),或M (－2a ,a ),N (2a ,a )． 又y ′＝x 2,故y ＝x 2 4在x ＝2a 处的导数值为a ,所以C 在点(2a ,a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a ), 即ax －y －a ＝0. y ＝x 2 4在x ＝－2a 处的导数值为－a ,C 在点(－2a ,a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a ), 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下： 设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程,得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1 ＋y 2－b x 2 ＝ 2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2 ＝k (a ＋b ) a . 当b ＝－a 时,有k 1＋k 2＝0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM ＝∠OPN ,所以点P (0,－a )符合题意． [大题增分专训] 1．(2019·衡水联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－2,1),离心率为2 2,直线l ：kx － y ＋2＝0与椭圆C 交于A ,B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)是否存在实数k ,使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB → |(其中O 为坐标原点)成立？若存在,求出实数k 的值；若不存在,请说明理由． [解] (1)依题意,得???? ? 2a 2＋1 b 2＝1， c a ＝ 22，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得a 2＝4,b 2＝2,c 2＝2, 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 2＝1. (2)假设存在符合条件的实数k .依题意,联立方程??? y ＝kx ＋2， x 2＋2y 2 ＝4， 消去y 并整理,得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0. 则Δ＝64k 2－16(1＋2k 2)>0,即k >22或k <－2 2.(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－ 8k 1＋2k 2,x 1x 2 ＝4 1＋2k 2 . 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|,得OA →·OB → ＝0, ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0, 即x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0,即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0. ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0,即8－4k 21＋2k 2＝0, ∴k 2＝2,即k ＝±2,满足(*)式． 故存在实数k ＝±2,使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB → |成立． 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1交于A ,B 两点, 线段AB 的中点为M (1,m )(m >0)． (1)证明：k <－12； (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →|＋|FB → |. [证明] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214＋y 2 13＝1,x 224＋y 22 3＝1. 两式相减,并由 y 1－y 2x 1－x 2 ＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 2 3·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1,y 1＋y 22＝m ,于是k ＝－3 4m . 由题设得0 2 . (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3,y 3),则 (x 3－1,y 3)＋(x 1－1,y 1)＋(x 2－1,y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1,y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上,所以m ＝34,从而P 1,－32,|FP →|＝3 2. 于是|F A → |＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2 ＋31－x 21 4＝2－x 12. 同理|FB → |＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB → |＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|. 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0),且该椭圆过定点M ? ???? 1，22. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)设点Q (2,0),过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点,且F 2A →＝λF 2B → ,λ∈[－2,－1],以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最小值． [解] (1)由题易知c ＝1,1a 2＋1 2b 2＝1, 又a 2＝b 2＋c 2,解得b 2＝1,a 2＝2, 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)设直线l ：x ＝ky ＋1,由???? ? x ＝ky ＋1，x 22 ＋y 2 ＝1 得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2,y 1y 2＝－1 k 2＋2. QC →＝QA →＋QB → ＝(x 1＋x 2－4,y 1＋y 2)＝? ????－4(k 2＋1)k 2 ＋2，－2k k 2＋2, ∴|QC →|2＝|QA →＋QB → |2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2, 由此可知,|QC → |2的大小与k 2的取值有关． 由F 2A →＝λF 2B → 可得y 1＝λy 2,λ＝y 1y 2 ,1λ＝y 2y 1 (y 1y 2≠0)． 从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4 k 2＋2, 由λ∈[－2,－1]得? ????λ＋1λ∈?????? －52，－2, 从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2,解得0≤k 2≤2 7. 令t ＝1k 2＋2 ,则t ∈?????? 716，12, ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8? ????t －742－17 2,∴当t ＝12时,|QC →|min ＝2.
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