2012高考数学(理)专题练习：专题三综合测试题

2012高考数学(理)专题练习：专题三综合测试题

D

解析：曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋1

2＝72

2. 答案：A

4．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )

A ．1

B ．－1 C.1

2

D ．2

解析：曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D.

答案：D

5．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切

D ．不确定

解析：圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2

得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2a a 2＋(－1)2＝2a a 2＋12

，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12

，从而d ＝2a a 2＋12

≤1

答案：B

6．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，

则P 点的轨迹方程为( )

A ．(x ＋1)2＋y 2＝25

B ．(x ＋1)2＋y 2＝5

C ．x 2＋(y ＋1)2＝25

D ．(x －1)2＋y 2＝5[来源:学+科+

网]

解析：设圆心为O ，则O (－1,0)，在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |2＋|AP |2＝4＋1＝ 5. 答案：B

7．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )

A ．－14

B ．－4

C ．4

D.14

解析：双曲线标准方程为：y 2

－x 2－1m ＝1，由题意得－1

m ＝4，

∴m ＝－1

4.

答案：A

8．点P 是双曲线x 24－y 2

＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2

＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.

答案：C

9．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )

A.1e 21＋1

e 22＝4 B ．e 21＋e 2

2＝4

C.1e 21＋1

e 22

＝2 D ．e 21＋e 22＝2

解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，

则?

????

|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①

||PF 1|－|PF 2||＝2m ②. ①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，

又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2

，得2＝1e 21＋1

e 22

，故选C.

答案：C

10．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离

心率为( )

A. 3

B. 2

C.52

D.22

解析：两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a

2＝－1，则b 2＝a 2

，双

曲线的离心率为e ＝c

a ＝2a 2a ＝2，选B.

答案：B

11．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实

轴长，则双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3

C. 5

D ．2

解析：焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2

＝c 2

a 2＝1＋

b 2

a 2

＝5，所以e ＝ 5. 答案：C

12．(2011·济南市质量调研)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝

1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(1，3)

B ．(3，22)[来源:学科网][来

源:学|科|网Z|X|X|K]

C ．(1＋2，＋∞)

D ．(1,1＋2)

解析：依题意得，0<∠AF 2F 1<π

4，故0

a 2c ＝

c 2－a 22ac <1，即e －1

e <2，e 2－2e －1<0，

(e －1)2<2，所以1

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填

在题中的横线上．

13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝

1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．

解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.

答案：15

14．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________．

解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b

a ＝3，

b 2a 2＝3，

c 2－a 2a 2＝3，

∴e ＝c

a ＝2.

答案：2

15．(2011·潍坊2月模拟)双曲线x 23－y 2

6＝1的右焦点到渐近线的距

离是________．

解析：双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.

答案： 6

16．(2011·郑州市质量预测(二))设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →

|＝________.

解析：∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，

y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p 2，|BF →|＝y 2＋p

2

，

∴|AF →|＋|BF →

|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10. 答案：10

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)(2011·陕西)

如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的长度．

解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，

由已知得???

x P ＝x ，

y P ＝5

4y ，

∵P 在圆上，∴x 2

＋? ??

??54y 2

＝25，

即点M 的轨迹C 的方程为x 225＋y 2

16

＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为4

5的直线方程为

y ＝4

5

(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4

5(x －3)代入C 的方程，得

x 225＋(x －3)225＝1， 即x 2－3x －8＝0.

∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.

∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝

?

????

1＋1625(x 1－x 2)2＝

4125×41＝41

5

. 18．(本小题满分12分)

(2011·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；

(2)已知点M ? ????355

，

455，F (5，0)且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．

解：(1)设动圆C 的圆心C (x ，y )，半径为r .

两个定圆半径均为2，圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，且|F 1F 2|＝2 5.

若⊙C 与⊙F 1外切与⊙F 2内切，则 |CF 1|－|CF 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝4

若⊙C 与⊙F 1内切与⊙F 2外切，则|CF 2|－|CF 1|＝(r ＋2)－(r －2)＝4.

∴||CF 1|－|CF 2||＝4且4<2 5.

∴动点C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为4的双曲线． 这时a ＝2，c ＝5，b ＝c 2－a 2＝1，焦点在x 轴上． ∴点C 轨迹方程为x 24－y 2

＝1.

(2)若P 在x 24－y 2

＝1的左支上，

则||PM |－|PF ||<|MF |. 若P 在x 24

－y 2

＝1的右支上，

由图知，P 为射线MF 与双曲线右支的交点，

||FM |－|PF ||max ＝|MF |＝

?

????5－3552＋? ????4552＝2.

直线MF ：y ＝－2(x －5)．

由???

y ＝－2(x －

5)

x 24－y 2

＝1

得15x 2－325x ＋84＝0，

解之得：???

x 1＝

65

5

y 1

＝－25

5，

或???

x 2＝14515

<5

y 2

＝－585

15(舍)，

所以P 点坐标为? ??

??655，－255. 19．(本小题满分12分)

(2011·安徽)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →

，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →

，求点P 的轨迹方程．

解：由QM →＝λMP →

知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，

则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy . ①

再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →

，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得

?

????

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ. ②

将①式代入②式，消去y 0，得

?????

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.

③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得

(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.

(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.

因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 20．(本小题满分12分)

(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角

形．

(1)求椭圆的离心率e .

(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．

解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，

即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2? ??

??c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)或c

a ＝

12，所以e ＝12

. (2)由(1)知a ＝2c ，h ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2. 直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．

A ，

B 两点的坐标满足方程组?????

3x 2＋4y 2＝12c 2，

y ＝3(x －c ).

消去y 并整理，

得5x 2

－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝8

5c ，得方程组的解???

??

x 1＝0，y 1＝－3c ，

???

x 2＝85

c ，

y 2

＝335c .

不妨设A ? ????85

c ，335c ，

B (0，－3c )．

设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝? ????x －85c ，y －335c ，BM →

＝(x ，y

＋3c )．

由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝? ????8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即? ????8315y －35x ·x ＋? ????

85y －335x ·3x

＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.

将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －3

3y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.

因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 21．(本小题满分12分)

(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2

2＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，

y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝6

2

，其中O 为坐标原点．

(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 2

2均为定值；

(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；

(3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG

＝6

2

？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：①当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称．[来源:学科网]

所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，

因此x 21

3＋y 2

12

＝1. ①

又因为S △OPQ ＝

62.所以|x 1|·|y 1|＝62

. ② 由①②得|x 1|＝6

2

，|y 1|＝1，

此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 2

2＝2.

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 2

2＝1得

(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0. 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0.

即3k 2＋2>m 2. (*) 又x 1＋x 2＝－6km

2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2

.

所以|PQ |＝1＋k 2

·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝1＋k 2

·263k 2＋2－m 2

2＋3k 2

.

因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |

1＋k 2

. 所以S △OPQ ＝1

2

|PQ |·d

＝121＋k 2

·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k

2 ＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2

又S △OPQ

＝62.[来源:学,科,网] 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2

＝? ??

??－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2＝3.

y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 2

2)＝4－23

(x 21＋x 22)＝2. 综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．

(2)解法一：

①当直线l 的斜率不存在时． 由(1)知|OM |＝|x 1|＝6

2.|PQ |＝2|y 1|＝2.

因此|OM |·|PQ |＝

6

2

×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由(1)知： x 1＋x 22＝－3k

2m . y 1＋y 22＝k ?

??

??

x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m

＝1m .

|OM |2＝? ????x 1＋x 222＋? ??

??y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12? ????3－1m 2.

[来源:学科网ZXXK]

|PQ |2＝(1＋k 2

)24(3k 2＋2－m 2

)(2＋3k 2)2

＝2(2m 2＋1)m 2＝2?

????

2＋1m 2. 所以|OM |2

·|PQ |2

＝12×?

?

???3－1m 2×2×? ????2＋1m 2＝? ????3－1m 2? ????2＋1m 2 ≤? ????3－1m

2＋2＋1m 22

2＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m 2，即m ＝±2时，等

号成立．

综合(1)(2)得|OM |·|PQ |的最大值为5

2.

解法二：

因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2

＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 2

2)]＝10.

所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102

＝5.

即|OM |·|PQ |≤5

2，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此

|OM |·|PQ |的最大值为5

2

.

(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6

2.

证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG

＝S △OEG ＝

6

2

， 由(1)得

u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 2

2

＝2，

解得：u

2

＝x 21＝x 22＝32

，v 2＝y 21＝y 2

2＝1.

因此，u ，x 1，x 2只能从±6

2

中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，

因此D 、E 、G 只能在? ??

??±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点． 与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6

2

矛盾．

所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .[来源:https://www.doczj.com/doc/6412134228.html,] 22．(本小题满分14分)

(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆

x 2

4＋y 2

2＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k .

(1)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；

(3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .

解：(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所

以线段MN 中点的坐标为?

????

－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故

直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－2

2

－1＝

22

.

(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得 x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23

， 因此P ?

??

??23，43，A ?

??

??－23，－43.

于是C ? ??

??

23，0，直线AC 的斜率为0＋

4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x

－y －23

＝0.

因此，d ＝

????

??23－43－2312＋1

2＝223. (3)证法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 2

2＝1，解得x ＝

±

21＋2k 2记μ＝2

1＋2k

2

， 则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为

0＋μk μ＋μ＝k

2

， 其方程为y ＝k

2

(x －μ)，

代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0， 解得x ＝μ(3k 2＋2)

2＋k 2

或x ＝－μ.

因此B ? ????

μ(3k 2＋2)2＋k

2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k 1＝μk 3

2＋k 2

－μk μ(3k 2＋2)

2＋k 2－μ

＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .

证法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k

2

.

从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 2

1

x 22－x 21

＋1＝

(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 2

1)

x 22－x 2

1

＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .

.精品资料。欢迎使用。

学科网

w 。w-w*k&s%5￥u