1 变化率问题 导数的概念

变化率问题 导数的概念

1．了解导数概念的实际背景．

2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．

2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0

)

或

y

′|x ＝x 0，

即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .

[情境导学]

某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？

探究点一 平均变化率的概念

思考1 气球膨胀率

很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝3

43π

V

，

(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了

r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)

1－0

≈0.62(dm/L)．

(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)，

气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)

2－1

≈0.16(dm/L)．

可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)

V 2－V 1

.

思考2 高台跳水 人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系

h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.

计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，

v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0

＝4.05(m/s)；

②在1≤t ≤2这段时间里，

v ＝h (2)－h (1)2－1

＝－8.2(m/s)．

由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．

思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？

答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以

描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．

思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？Δy

Δx 有什么几何意义？ 答 Δx 表示x

2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．

观察图象可看出，Δy

Δx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．

小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、

(x 2，f (x 2))连线的斜率．

例1 已知函数f (x )＝2x 2

＋3x －5.

(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy

Δx ； (2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy

Δx ；

(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．

反思与感悟

求平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.

(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.

跟踪训练1

(1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2； ②1； ③0.1； ④0.01.

(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

探究点二 函数在某点处的导数

思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，

易知h (65

49)＝h (0)，v ＝h (65

49)－h (0)

6549－0

＝0，而运动员依然是运动状态．

思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，Δy

Δx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？

答 Δy

Δx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．

思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？

答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考

察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)

Δt ，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率

lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．

思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？

答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度．

小结

1.函数的瞬时变化率：

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

＝lim Δx →0 Δy

Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝

x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy

Δx .

例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．

反思与感悟

求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；

(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx . 跟踪训练2

求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．

例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

反思与感悟

(1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：

平均变化率Δy

Δx＝

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的

瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．

跟踪训练3

高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关

系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝65

98s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．

1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3

2．函数f(x)在x0处可导，则lim

h→0f(x0＋h)－f(x0)

h()

A．与x0、h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关

3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy

Δx等于()

A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2

4．已知函数f(x)＝1

x

，则f′(1)＝________.

[呈重点、现规律]

利用导数定义求导数三步曲：

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率Δy

Δx＝

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx；

(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim

Δx→0Δy Δx.

简记为一差，二比，三趋近．特别提醒

①取极限前，要注意化简Δy

Δx，保证使Δx→0时分母不为0.

②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．

③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.

一、基础过关

1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为()

A．－6 B．Δx－6

C．－2 D．Δx－2

2．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是()

A．0 B．1 C．2 D．Δx

3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．

A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s

C．0.88 m/s D．4.8 m/s

4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为()

A．4 B．6 C．24 D．48

5．已知函数y＝2＋1

x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.

6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()

A．甲B．乙

C．相同D．不确定

7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．

二、能力提升

8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．

11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．

12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．

三、探究与拓展

13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．

导数的几何意义

1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．

3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．

1．导数的几何意义

(1)割线斜率与切线斜率

设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))

的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，

这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于

过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim

Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，

即f′(x)＝y′＝lim

Δx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx.

[情境导学]

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．

探究点一导数的几何意义

思考1如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1，2，3，4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？

答当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P

处的切线，该切线的斜率为lim

Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的

斜率k＝f′(x0)．

思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交

点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于

确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.

思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既

使在曲线上也不一定是切点．

小结

曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

答先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．

例1已知曲线y＝x2，

(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程．

小结

(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．

跟踪训练1

已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)曲线过点P(3，9)的切线方程．

跟踪训练2

若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

探究点二导数与函数的单调性

思考1观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？

答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．

思考2按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？

答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．

思考3如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？

答会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．

例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t

＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情

况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．

反思与感悟

1．导数与函数图象升降的关系：

(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x ＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

2．导数与函数单调性的关系：

(1) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间[a，b]是减函数，则f′(x)≤0.

跟踪训练3

(1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为()

A ．4

B ．16

C ．8

D ．2

2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1

3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2

＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________．

[呈重点、现规律]

1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.

一、基础过关

1．下列说法正确的是( )

A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线

B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在

C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在

D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在

2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )

3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π

4的点是( )

A ．(0，0)

B ．(2，4)

C ．(14，116)

D ．(12，1

4)

4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )

A ．1 B.12 C ．－1

2 D ．－1

5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件0

→x lim f (1)－f (1－x )

2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))

处的切线的斜率是________．

6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 二、能力提升

7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x )

x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )

A ．1

B ．－1

C ．1

2 D ．－2

8．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )． A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线

倾斜角的范围为]4

,0[

，则点P 横坐标的取值范围为________．

10．求过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线．

11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．

三、探究与拓展

13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，Q (2，－1)，且在点Q 处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．

导数的概念及其几何意义教案

§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，

∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近

导数概念及其几何意义

导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．

变化率与导数教案

变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020

第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，

∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

函数的平均变化率与导数

导数的概念及运算 知识梳理 1. 平均变化率与瞬时变化率 （1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y ??＝ ． （2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念 （1）函数()f x 在x x =处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =处的瞬时变化率即()0'x f = （2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '= 3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义 切线方程为： （2）物理意义 4．基本初等函数的导数 ①;C '= ②() ;n x '= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '= ;⑥();x e '= ⑦()l g a o x '= ; ⑧()ln x '= . 5．导数的运算法则 _______ ______ ______ [](4)()'C f x ?=_______ ___________ 6．复合函数的导数 ()()()()的导数的关系为：的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===, 【题型分析】 一．导数的概念及其几何意义 例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时 00()() 2f x k f x k --=________ （2）如图，函数 ()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为 ()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()= 0'x f ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()' 1f x g x ±=????()()()' 2.f x g x =????()()' 15f x ??=????()()()' 3f x g x ??=????

人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念

1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 （结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. ` 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率 【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】 知识点一 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)． 思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1表示什么？ (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1表示割线P 1P 2的 知识点二 瞬时速度 思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时　导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是　. 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点　 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点　 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线　 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：

《变化率问题与导数的概念》导学案

第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx

表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、

膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）. 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 （一）本章教学目标

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

变化率与导数、导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

导数第一节平均变化率

导数第一节----平均变化率 一、单选题 1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量 的取值范围为( ) A ． B ． C ． D ． 2．已知函数 ，则在 ， 时， 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．在 中， 不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( ) A ． B ． C ．2 D ．3 5．质点的运动方程是s= 4 1 t (其中s 的单位为m,t 的单位为s),则质点在t=3s 时的速度为 ( ) A ．-4×3-4m/s B ．-3×3-4m/s C ．-5×3-5m/s D ．-4×3-5m/s 6．如果函数f(x)=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-2 7．过曲线()1x y f x x ==-图象上一点（2， -2）及邻近一点（2 x +?， -2 y +?）作割线，则当0.5x ?=时割线的斜率为（ ） A ． 13 B ．23 C ．1 D ．53 - 8．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为( ) A ．f ′(x 0)＝ B ．f ′(x 0)＝ C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) D ．f ′(x 0)＝ 9．函数y ＝－ 在点x ＝4处的导数是( ) A ． B ．－ C ． D ．－ 10．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋ (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．设函数 可导，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 12．一物体运动的方程是s ＝2t 2 ，则从2 s 到(2＋d ) s 这段时间内位移的增量为( )．

高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念

3.1.1变化率问题与导数的概念 一、选择题 1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx＜0B．Δx＞0 C．Δx＝0 D．Δx≠0 [答案] D [解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0. 2．函数在某一点的导数是() A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值． 3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1 x 中，平均变化率 最大的是() A．④B．③ C．②D．① [答案] B [解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77. 4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为() A．4＋4t0B．0 C．8t0＋4 D．4t0＋4t20 [答案] C [解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt， Δs Δt ＝4Δt＋4＋8t0， lim Δt→0Δs Δt ＝lim Δt→0 (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0. 5．函数y＝x＋1 x 在x＝1处的导数是() A．2 B.5 2 C．1 D．0

[答案] D [解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1 ， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1 ， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??? ?1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D [解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替． 7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 [答案] B [解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22 Δt ＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt ＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关 [答案] B [解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关． 9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b [答案] C

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -

变化率问题和导数的概念

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A

4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3)

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

人教版数学高二学案变化率问题导数的概念

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表 示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx . 2.求平均变化率 求函数y ＝f (x )在上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：

y ＝f (x )在区间上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，????Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它刻画函数值在某处变化的快慢. (2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？ 答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果Δy Δx 不存在极限，就说函数 在点x 0处无导数.

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

1 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =， 得1 2 a =， 所以1 2()f x x = ()f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即22 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 1 1,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2