课时分层作业50 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时分层作业(五十) 函数y ＝A sin(x ＋φ)

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )

A [当x ＝π时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π3＝－32排除B 、D.

当x ＝π

6

时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.]

2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的

函数是( )

A ．奇函数 B.偶函数

C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数

A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝

sin ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数．] 3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π

3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )

A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2＋π6

B ．y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π6 C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π

3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．]

4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2，则( )

A ．

B ＝4 B ．φ＝π

6 C ．ω＝1

D ．A ＝4

B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋0

2＝2.

由周期T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫

5π12－π6知ω＝2.

由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2×π6＋φ＋2＝4，

sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y

＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )

A ．向右平移π

12个单位 B ．向左平移π

12个单位 C ．向右平移π

6个单位

D ．向左平移π

6个单位

A [由已知得2πω＝2×π

2，故ω＝2.

y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π6的图象．]

二、填空题

6．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ＋π4的图象向右平移

________个单位．

π2 [由于y ＝sin

⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x ＋π4的图象向右平移π2个单位．]

7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横

坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．

y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π8 [y ＝sin3x ＋π4――――――――――→向右平移π

8个单位长度

y ＝sin ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π8 ―――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍

纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π8，

故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π8.]

8．某同学利用描点法画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(其中0

2)的图象，列出的部分数据如下表：

y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式应是________．

y ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3x ＋π6 [在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．

根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意；

又因为0

因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1， 又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π

6，

由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称， 知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6. ∴ω＝π3.] 三、解答题

9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2

)的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．

[解] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫

5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，

将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3＋φ＝1，

又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)变换过程如下：