北师大版九年级数学上册 第二章一元二次方程全章导学案
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认识一元二次方程(1)一,自主探究活动内容:问题一:一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m2。
根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?你能根据条件列出关于这个量的什么关系式?问题二:你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗?得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么?根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?8二,总结归纳活动内容:归纳一元二次方程的概念:结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
一元二次方程概念:含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后,一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0),即它的一般形式:ax2+bx+c=0(a ≠0)。
应从两方面理解一元二次方程的一般形式:(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程,则有a≠0;(2) 若a≠0(b、c可以为零),则ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判断一个方程是不是一元二次方程,满足三个条件:①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程;③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后,若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ,则为一元二次方程,否则不是。
三,学以致用活动内容:1、把方程(3x +2)2=4(x -3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.2.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.易错易混点1. 下列关于x 的方程:(1) ax 2+bx+c=0 ;(2)532=+aa ;(3)0322=--x x ;(4)0223=+-x x x 中,一元二次方程的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。
第二章一元二次方程1 .认识一元二次方程及相关观点 .2 .会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3 .掌握依照实质问题成立一元二次方程的数学模型的方法.4 .提出问题、剖析问题,成立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实质问题.1.经过丰富的实例 ,让学生合作商讨 ,老师评论剖析 , 成立数学模型 , 依据数学模型恰到好处地给出一元二次方程的观点 .2.经过掌握形如 (x+m)2=n(n≥0) 的一元二次方程的解法——直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程 ,再经过大批的练习稳固配方法解一元二次方程.3.经过用已学的配方法解方程ax2+bx+c= 0(a≠0) 推导出一元二次方程的求根公式 ,导入用公式法解一元二次方程 .4.经过实例探究一元二次方程的根与系数的关系.1 .经历由事实问题中抽象出一元二次方程等相关观点的过程,使同学们领会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数目关系的一个有效数学模型.2 .经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们领会到转变等数学思想.3 .经历设置丰富的问题情境,使学生领会到成立数学模型解决实质问题的过程,进而更好地理解方程的意义和作用 ,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包含:一元二次方程及其相关观点,一元二次方程的解法( 配方法、公式法、因式分解法 ), 运用一元二次方程剖析和解决实质问题.此中解一元二次方程的基本思路和详细解法是本章的要点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的持续和深入 , 同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教课在本章获得进一步浸透和稳固.在整体设计思路上,本章按照了“问题情境——成立模型——解说、应用与拓展”的模式, 第一经过详细的, 问题情境成立相关方程,并概括出一元二次方程的相关观点,而后探究其各样解法, 并在现真相境中加以应用确实提升学生的应意图识和能力.详细来讲 ,第 1 节经过丰富的实例, 如“地毯周围有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,成立一元二次方程, 让学生经过察看概括出一元二次方程的相关观点,并从中领会方程的模型思想;第 2~4 节经过详细方程逐渐探究解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探究一元二次方程的根与系数的关系 ;第 6 节再次经过几个问题情境增强一元二次方程的应用.【要点】1 .一元二次方程及其余相关的观点 .2 .用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3 .利用实质问题成立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1 .用配方法解一元二次方程及实质问题 .2 .用公式法解一元二次方程时的议论 .。
第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程一、问题引入:1、只含有 ,并且未知数的最高次数是2的 ,称为一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式是 (c b a ,,为常数,0≠a ),其中2ax 称为 ,bx 称为 ,c 称为 ; 称为二次项系数, 称为一次项系数.3、一元二次方程的解:满足方程的 的值叫做一元二次方程的解.一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.二、基础检测:1、下列方程中,不是一元二次方程的是( )A .0722=+xB .013222=++x x C .04152=++xx D .012)1(32=+++x x 2、方程0)1()23(22=++--x x x 的一般形式是( ) A .0552=+-x x B .0552=++x x C .0552=-+x x D .052=+x3、一元二次方程0272=-x x 的二次项、一次项、常数项依次是( )A .o x x ,2,72B .x x 2,72- ,无常数项C .x x 2,0,72D .0,2,72x x -4、当m 时,关于x 的方程01)2(2=+++x x m 是一元二次方程.5、一元二次方程x x 6152=+-化为一般形式为 ,其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .三、例题展示:例1:把方程21)2(2-=+-x x 化成一元二次方程一般形式,并写出二次项系数、一次项系数、常数项.四、课堂检测:1、下列方程中,是一元二次方程的是( ) A .x x 432=+ B . 0112=-+xx C . 162=x D .2362≥+x x2、若关于x 的方程0351=-+-x x m 是一元二次方程,则m 等于( ) A .2 B . -3 C .3 D .-13、若关于x 的方程22)1(22-=-x x a 是一元二次方程,则a 的值是( )A .2B . -2C .0D .2≠4、若1=x 是方程02=++c bx ax 的解,则( )A .1=++c b aB .0=+-c b aC .0=++c b aD .0=--c b a5、(2013来宾市)已知关于x 的一元二次方程02=+-k x x 的一个根是2,则k 的值是( )A .2B . -2C .1D .-16、(2013牡丹江市)若关于x 的一元二次方程)0(052≠=++a bx ax 的一个解是1=x ,则b a --2013的值是( )A .2018B .2008C .2014D .20127、一元二次方程01522=-+x x 的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .8、已知两个数之和为3,乘积等于4,若设其中一个数为x ,可得方程为 .9、两个正方形的周长和是cm 16,面积和是210cm ,这两个正方形的边长各是多少?(只列方程不用解答)。
第二章一元二次方程第一节花边有多宽(一)【学习目标】1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合.【学习重难点】重点:认识产生一元二次方程知识的必要性。
难点:列方程的探索过程。
【学习过程】模块一预习反馈一.预习要求1.请同学们阅读教材46页~48的内容,并完成教材48页的随堂练习和习题2.1 2.预习过程中请注意:⑴不懂的地方要用红笔标记符号;⑵完成你力所能及的随堂练习和习题;⑶数学小组长认真检查,做好记录,上课前把本组的预习情况向老师汇报。
二.知识点1.一元二次方程的概念:一元二次方程属于“”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式.2.一元二次方程的一般形式为(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.注意:往往解决一个未知数的问题,就需要建立一个等量关系;解决两个未知数的问题,则需要建立两个等量关系。
……模块二合作探究探究一.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示,它的长为8m,宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?点评:探究二.如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?点评:探究三.莲花问题平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲。
出泥不染婷婷立,忽被强风吹一边。
渔人观看忙向前,花离原位两尺远。
能算诸君请解题:湖水如何知深浅?点评:模块三形成提升1.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺。
另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了。
你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程。
2.1 认识一元二次方程(2)学案【学习目标】会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解.【重点】探索一元二次方程的解或近似解【难点】培养学生的估算意识和能力.【学习过程】一、温故而知新1、什么叫一元二次方程?它的一般形式是:_____________________________.2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0(2)―x2+1=0 (3)x2―x=0(4)- 3 x2=0二、探所新知探索1:上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18也就是:2x2―13x+11=0你能估算出地毯花边的宽度x吗?(1)x可能小于0吗?说说你的理由;_____________________________. (2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?为什么?(3)完成下表(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴交流。
探索2:梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?(2)x的整数部分是_____?十分位是_______?进一步计算所以 ___<x<___因此x 的整数部分是___,十分位是___.注意:(1)估算的精度不适过高。
(2)计算时提倡使用计算器。
三、我的课堂我做主,看我有多棒(每题5分,共10分)1.填写下表并探索一元二次方程0962=+-x x 的解的取值范围。
从表中可以看出方程解应介于 _____和 之间。
2.五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,你能求出这五个整数分别是多少吗?四、谈谈本节课你的收获。
北师大版九年级数学上册第二章2.1.2 一元二次方程的解导学案预习目标1.经历估计一元二次方程解的过程,增进对方程解的认识.2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型.(难点)预习导学阅读教材P33~34,完成下列问题:(一)知识探究1.能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值,叫做一元二次方程的解.2.估计一元二次方程的解,应先确定方程解的大致范围,然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值,如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果,把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果,那么方程的解就在这两个值________.(二)自学反馈幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?例题讲解活动1 小组讨论例如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?(1)如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?解:根据题意,得72+(x+6)2=102,即x2+12x-15=0.(2)x 0 0.5 1 1.5 2 …x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 …(3)完成下表,并得出x的整数部分是几?十分位是几?x … 1.1 1.2 1.3 1.4 …x2+12x-15 …-0.59 0.84 2.29 3.76 …活动2 跟踪训练12x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09A.3<x<C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.262.根据关于x2x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2+px+q -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29则方程x2+px+q=0的正数解满足( )A.解的整数部分是0,十分位是5B.解的整数部分是0,十分位是8C.解的整数部分是1,十分位是1D.解的整数部分是1,十分位是23.为估算方程x2-2x2.x -2 -1 0 1 2 3 4x2-2x-8 0 -5 -8 -9 -8 -5 04.某大学为改善校园环境,计划在一块长80 m,宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道,如图所示,若设人行走道宽为x m.(1)你能列出相应的方程吗?(2)x可能小于0吗?说说你的理由.(3)x可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由.(4)你知道人行走道的宽是多少吗?说说你的求解过程.活动3 课堂小结1.一元二次方程的解(根)的概念.2.用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤:(1)先确定大致范围;(2)再取值计算,逐步逼近.参考答案【预习导学】(一)知识探究1.相等 2.小于大于之间(二)自学反馈设教室未铺地毯区域的宽为x m,根据题意,得(8-2x)(5-2x)=18.列出下表:x 0 0.5 1 1.5 2 2.5(8-2x)(5-2x) 40 28 18 10 4 0由上表看出,当(8-2x)(5-2x)=18时,x=1.故可知所求的宽为1 m.【合作探究】活动2跟踪训练1.C 2.C 3.-2和44.(1)(80-2x)(60-2x)=3 500,即x2-70x+325=0.(2)x的值不可能小于0,因为人行走道的宽度不可能为负数.(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这是不符合实际的,当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为x 2 3 4 5 6 7 …x2-70x+325 189 124 61 0 -59 -116 …显然,当x=5时,x-70x+325=0,∴人行走道的宽为5 m.。
最新北师大版九年级上册数学导学案(全册共119页)目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标:①通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质。
2.1认识一元二次方程【教学目标】知识与技能一元二次方程的概念及它的一般形式及求一元二次方程的近似解过程与方法经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识。
情感、态度与价值观1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.3经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神.发展估算意识和能力【教学重难点】教学重点:一元二次方程的概念:a≠0教学难点:理解一元二次方程的概念:a≠0【导学过程】【创设情景,引入新课】什么是一元一次方程、什么是二元一次方程?【自主探究】阅读课本P31,回答问题:1、什么是一元二次方程?2、什么是一元二次方程的一般形式?二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项?【课堂探究案】阅读课本P31-33,回答问题:1、什么是一元二次方程?2、什么是一元二次方程的一般形式?二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项?元二次方程应用举例:(1)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为__________m,宽为___________m,根据题意,可得方程________________________.化成一般形式得_______________ .(2)求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.列出方程并化简. 如果设五个连续整数中第一个数为x ,那么后面四个数依次表示为 , , , .根据题意,可得方程 . 化成一般形式得_______________ .(3)如图2,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ,如果梯子的顶端下滑1m ,那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简.由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m ,如果设梯子底端滑动xm ,那么滑动后梯子底端距墙 m ,根据题意,可得方程 . 化成一般形式得_______________:在前一节的问题中,梯子底端滑动的距离x (m )满足(x+6)2+72=102一般形式是: 。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程导学案第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程1、知识与技能:理解一元二次方程的定义,会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养:能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度:体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
自学指导 阅读教材第31至32页,并完成预习内容.(1)如果设未铺地毯区域的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 (8-2x ) m ,宽为为 (5-2x ) m.根据题意,可得方程 (8 - 2x) (5 - 2x) = 18(2)试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和:;如果设五个连续整数中的第一个数为x ,那么后面四个数依次可表示为 x +1 、 x +2 、 x +3 、 x +4 ,根据题意可得方程: 22222(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)x ++++=+++(3)根据图2-2,由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 6 m ,如果设梯子底端滑动xm ,那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m ,梯子顶端距地面的垂直距离为 7 m ,根据题意,可得方程: 72+(x +6)2 =102归纳总结:观察上述三个方程,它们的共同点为:① 含有一个未知数x ;② 整式方程 ;这样的方程叫做 一元二次方程 .其中我们把 ax 2+bx +c =0(a ,b ,c 为常数, a ≠0) 称为一元二次方程的一般形式,ax 2,bx ,c 分别称为 二次项 、一次项 、 常数项 ,a 、b 分别称为 二次项系数 、 一次项系数 .活动1小组讨论例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:2x 2-13x+11=0;2,-13,11.将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整. 例2判断下列方程是否为一元二次方程:(1)1-x2=0 ; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x2-3x-1=0;(4)212x x-=0 ; (5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.活动2 跟踪训练1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)5x2-1=4x ;(2)4x2=81;(3)4x(x+2)=25 ;(4)(3x-2)(x+1)=8x-3.解:(1)5x2-4x-1=0;5,-4,-1;(2)4x2-81=0;4,0,-81;(3)4x2+8x-25=0;4,8,-25;(4)3x2-7x+1=0;3,-7, 1.4.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.解:(1)4x2=25;4x2-25=0;(2)x(x-2)=100;x2-2x-100=0;(3)x=(1-x)2;x2-3x+1=0.活动3课堂小结1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强调a≠0.当堂训练请使用《名校课堂》相应部分练习第2课时一元二次方程的解1、知识与技能:经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识。