北师大版九年级数学上册 第二章一元二次方程全章导学案

认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。

经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。

简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。

三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

第二章一元二次方程1 .认识一元二次方程及相关观点 .2 .会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3 .掌握依照实质问题成立一元二次方程的数学模型的方法.4 .提出问题、剖析问题,成立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实质问题.1.经过丰富的实例 ,让学生合作商讨 ,老师评论剖析 , 成立数学模型 , 依据数学模型恰到好处地给出一元二次方程的观点 .2.经过掌握形如 (x＋m)2＝n(n≥0) 的一元二次方程的解法——直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程 ,再经过大批的练习稳固配方法解一元二次方程.3.经过用已学的配方法解方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0) 推导出一元二次方程的求根公式 ,导入用公式法解一元二次方程 .4.经过实例探究一元二次方程的根与系数的关系.1 .经历由事实问题中抽象出一元二次方程等相关观点的过程,使同学们领会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数目关系的一个有效数学模型.2 .经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们领会到转变等数学思想.3 .经历设置丰富的问题情境,使学生领会到成立数学模型解决实质问题的过程,进而更好地理解方程的意义和作用 ,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包含:一元二次方程及其相关观点,一元二次方程的解法( 配方法、公式法、因式分解法 ), 运用一元二次方程剖析和解决实质问题.此中解一元二次方程的基本思路和详细解法是本章的要点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的持续和深入 , 同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教课在本章获得进一步浸透和稳固.在整体设计思路上,本章按照了“问题情境——成立模型——解说、应用与拓展”的模式, 第一经过详细的, 问题情境成立相关方程,并概括出一元二次方程的相关观点,而后探究其各样解法, 并在现真相境中加以应用确实提升学生的应意图识和能力.详细来讲 ,第 1 节经过丰富的实例, 如“地毯周围有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,成立一元二次方程, 让学生经过察看概括出一元二次方程的相关观点,并从中领会方程的模型思想;第 2~4 节经过详细方程逐渐探究解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探究一元二次方程的根与系数的关系 ;第 6 节再次经过几个问题情境增强一元二次方程的应用.【要点】1 .一元二次方程及其余相关的观点 .2 .用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3 .利用实质问题成立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1 .用配方法解一元二次方程及实质问题 .2 .用公式法解一元二次方程时的议论 .。

第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程一、问题引入：1、只含有 ，并且未知数的最高次数是2的 ，称为一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式是 （c b a ,,为常数，0≠a ），其中2ax 称为 ，bx 称为 ，c 称为 ； 称为二次项系数， 称为一次项系数．3、一元二次方程的解：满足方程的 的值叫做一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、基础检测：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A ．0722=+xB ．013222=++x x C ．04152=++xx D ．012)1(32=+++x x 2、方程0)1()23(22=++--x x x 的一般形式是（ ） A ．0552=+-x x B ．0552=++x x C ．0552=-+x x D ．052=+x3、一元二次方程0272=-x x 的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A ．o x x ,2,72B ．x x 2,72- ，无常数项C ．x x 2,0,72D ．0,2,72x x -4、当m 时，关于x 的方程01)2(2=+++x x m 是一元二次方程．5、一元二次方程x x 6152=+-化为一般形式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．三、例题展示：例1：把方程21)2(2-=+-x x 化成一元二次方程一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项．四、课堂检测：1、下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．x x 432=+ B ． 0112=-+xx C ． 162=x D ．2362≥+x x2、若关于x 的方程0351=-+-x x m 是一元二次方程，则m 等于（ ） A ．2 B ． -3 C ．3 D ．-13、若关于x 的方程22)1(22-=-x x a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．2B ． -2C ．0D ．2≠4、若1=x 是方程02=++c bx ax 的解，则（ ）A ．1=++c b aB ．0=+-c b aC ．0=++c b aD ．0=--c b a5、（2013来宾市）已知关于x 的一元二次方程02=+-k x x 的一个根是2，则k 的值是（ ）A ．2B ． -2C ．1D ．-16、（2013牡丹江市）若关于x 的一元二次方程)0(052≠=++a bx ax 的一个解是1=x ，则b a --2013的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．20127、一元二次方程01522=-+x x 的二次项是 ，一次项是 ，常数项是 ．8、已知两个数之和为3，乘积等于4，若设其中一个数为x ，可得方程为 ．9、两个正方形的周长和是cm 16，面积和是210cm ，这两个正方形的边长各是多少？（只列方程不用解答）。

第二章一元二次方程第一节花边有多宽（一）【学习目标】1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：认识产生一元二次方程知识的必要性。

难点：列方程的探索过程。

【学习过程】模块一预习反馈一．预习要求1．请同学们阅读教材46页～48的内容，并完成教材48页的随堂练习和习题2．1 2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

二．知识点1．一元二次方程的概念：一元二次方程属于“”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．注意：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。

……模块二合作探究探究一．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？点评：探究二．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？点评：探究三．莲花问题平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。

出泥不染婷婷立，忽被强风吹一边。

渔人观看忙向前，花离原位两尺远。

能算诸君请解题：湖水如何知深浅？点评：模块三形成提升1．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。

另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。

你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。

2.1 认识一元二次方程（2）学案【学习目标】会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．【重点】探索一元二次方程的解或近似解【难点】培养学生的估算意识和能力．【学习过程】一、温故而知新1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_____________________________.2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)2x2―x+1=0(2)―x2+1=0 (3)x2―x=0(4)- 3 x2=0二、探所新知探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。

地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)=18也就是：2x2―13x+11=0你能估算出地毯花边的宽度x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x的整数部分是_____？十分位是_______？进一步计算所以 ___<x<___因此x 的整数部分是___,十分位是___.注意：（1）估算的精度不适过高。

（2）计算时提倡使用计算器。

三、我的课堂我做主，看我有多棒（每题5分，共10分）1．填写下表并探索一元二次方程0962=+-x x 的解的取值范围。

从表中可以看出方程解应介于 _____和 之间。

2．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?四、谈谈本节课你的收获。

北师大版九年级数学上册第二章2.1.2 一元二次方程的解导学案预习目标1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)预习导学阅读教材P33～34，完成下列问题：(一)知识探究1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．2．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．(二)自学反馈幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？例题讲解活动1 小组讨论例如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1)如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.(2)x 0 0.5 1 1.5 2 …x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13 …(3)完成下表，并得出x的整数部分是几？十分位是几？x … 1.1 1.2 1.3 1.4 …x2＋12x－15 …－0.59 0.84 2.29 3.76 …活动2 跟踪训练12x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A．3＜x＜C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.262．根据关于x2x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是23．为估算方程x2－2x2．x －2 －1 0 1 2 3 4x2－2x－8 0 －5 －8 －9 －8 －5 04.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.(1)你能列出相应的方程吗？(2)x可能小于0吗？说说你的理由．(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．活动3 课堂小结1．一元二次方程的解(根)的概念．2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．参考答案【预习导学】(一)知识探究1．相等 2.小于大于之间(二)自学反馈设教室未铺地毯区域的宽为x m，根据题意，得(8－2x)(5－2x)＝18.列出下表：x 0 0.5 1 1.5 2 2.5(8－2x)(5－2x) 40 28 18 10 4 0由上表看出，当(8－2x)(5－2x)＝18时，x＝1.故可知所求的宽为1 m.【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.C 3.－2和44．(1)(80－2x)(60－2x)＝3 500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为x 2 3 4 5 6 7 …x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m．。

最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

2.1认识一元二次方程【教学目标】知识与技能一元二次方程的概念及它的一般形式及求一元二次方程的近似解过程与方法经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。

情感、态度与价值观1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.发展估算意识和能力【教学重难点】教学重点：一元二次方程的概念：a≠0教学难点：理解一元二次方程的概念：a≠0【导学过程】【创设情景，引入新课】什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？【自主探究】阅读课本P31，回答问题：1、什么是一元二次方程？2、什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？【课堂探究案】阅读课本P31-33，回答问题：1、什么是一元二次方程？2、什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？元二次方程应用举例：（1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为__________m，宽为___________m，根据题意，可得方程________________________.化成一般形式得_______________ .（2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.列出方程并化简. 如果设五个连续整数中第一个数为x ，那么后面四个数依次表示为 ， ， ， .根据题意，可得方程 . 化成一般形式得_______________ .（3）如图2，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简.由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m ，如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯子底端距墙 m ，根据题意，可得方程 . 化成一般形式得_______________：在前一节的问题中，梯子底端滑动的距离x （m ）满足(x+6)2+72=102一般形式是： 。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程导学案第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能力培养：能根据具体情景应用知识。

3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。

自学指导 阅读教材第31至32页，并完成预习内容.（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 （8－2x ） m ，宽为为 （5－2x ） m.根据题意，可得方程 (8 － 2x) (5 － 2x) = 18（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 x ＋1 、 x ＋2 、 x ＋3 、 x ＋4 ，根据题意可得方程： 22222(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)x ++++=+++（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m ，如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m ，梯子顶端距地面的垂直距离为 7 m ，根据题意，可得方程： 72＋(x ＋6)2 ＝102归纳总结：观察上述三个方程，它们的共同点为：① 含有一个未知数x ；② 整式方程 ；这样的方程叫做 一元二次方程 .其中我们把 ax ２＋bx ＋c ＝０(a ，b ，c 为常数, a ≠０) 称为一元二次方程的一般形式，ax 2，bx ，c 分别称为 二次项 、一次项 、 常数项 ，a 、b 分别称为 二次项系数 、 一次项系数 .活动1小组讨论例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解：2x 2-13x+11=0；2，-13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 例2判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1-ｘ2=0 ； (2)2(x 2-1)=3y ； (3)2ｘ2-3x-1=0；(4)212x x-=0 ； (5)(x+3)2=(x-3)2； (6)9x 2=5-4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.活动2 跟踪训练1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)5x2-1=4x ；(2)4x2=81；(3)4x(x+2)=25 ；(4)(3x-2)(x+1)=8x-3.解：(1)5x2-4x-1=0；5，-4，-1；(2)4x2-81=0；4，0，-81；(3)4x2+8x-25=0；4，8，-25；(4)3x2-7x+1=0；3，-7， 1.4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：(1)4x2=25；4x2-25=0；(2)x(x-2)=100；x2-2x-100=0；(3)x=(1-x)2；x2-3x+1=0.活动3课堂小结1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强调a≠0.当堂训练请使用《名校课堂》相应部分练习第2课时一元二次方程的解1、知识与技能：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。

北师大版九年级数学上册导学案年级九班级学科数学课题应用一元二次方程（2）第 2 课时总课时编制人审核人使用时间第周星期使用者课堂流程具体内容学习目标1、使学生会找等量关系用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题（重点）2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识(难点)操作流程学法指导温故知新某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350-10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？（3分钟）自主、合作、探究、交流一、新课导入：前面我们学过用一元二次方程解决实际问题，本节课继续探索用一元二次方程解决“市场营销”问题（板书课题）二、本节课的学习目标是：（指定一名学生宣读）三、新旧知识链接：按要求完成“温故知新”栏中的问题四、新知探究活动一：探索列一元二次方程解决实际问题的步骤方法1、导读：例1、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。

调查发现，当销售价为2900元时平均每天能售出8台。

而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。

商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？分析：本题的主要关系是：___________________________________=5000元如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 ____________元，每台冰箱的销售利润为________________元，平均每天销售冰箱的数量为_________________台。

这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决。

解法一；（间接设元法）设设每台冰箱降价x元，根据题意得解法二；（直接设元法）（14分钟）承上启下明确学习目标学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价根据计算过程总结方法展示、评价、点拨、总结 2、导读：例２、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

新北师大版九年级数学上册2.1．认识一元二次方程（2）导学案班级： 姓名： 年 月 日教学目标：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。

2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。

教学重点：探索求解一元二次方程的方法．教学难点：体会用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路。

一、复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ； ()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。

上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？ 二、情境引入1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。

2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）根据题目的已知条件，你能确定x 的大致范围吗？说说你的理由．（2）x 可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流． （3）完成下表：（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流． 三、做一做上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? x 应该在 之间，理由是： （2）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 完成下面的表格：通过表格分析发现， x应该在和之间，它的整数部分是。

x 第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习内容】问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

BS北师版初三九年级数学上册第一学期秋（导学案）第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程学习目标：1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习案】二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：【探究案】探究点1：一元二次方程的概念1．一元二次方程的一般形式是（）（1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)（2）方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．探究点2：一元二次方程解决生活中的应用根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

第二章 一元二次方程2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x (x ＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． ①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x 2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2； ⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x＝2x2－ax－3；(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a≠2时，方程ax2－x＝2x2－ax－3为一元二次方程；(2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x(x－2)＝4x2－3x；(2)x23－x＋12＝－x－12；(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0(x ＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0），其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和 常数项，a ，b 分别称为二次 项系数和一次项系数本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.第2课时一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．解：(1)(2)(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.2．2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程；(重点)2．理解配方法的基本思路；(难点)3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)一、情景导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝20－5x2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，所以x1＝5，x2＝－1；(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，所以y1＝72，y2＝－12.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．探究点二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解析：方程左边不是一个完全平方式，需将左边配方．解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋(22)2＝1＋(22)2，即(x＋1)2＝2.开平方，得x＋1＝±2.解得x1＝2－1，x2＝－2－1.方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错．配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方．三、板书设计用配方法解简单的一元二次方程：1．直接开平方法：形如(x＋m)2＝n(n≥0)用直接开平方法解．2．用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法，便可求出它的根．3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式；(3)用直接开平方法求出它的解．通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点) 2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)一、情景导入某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s (m)和时间t (s)之间的关系为：s ＝10t ＋3t 2，那么行驶200m 需要多长时间？二、合作探究探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0.解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式，最后开平方即可．解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0.移项，得x 2－5x ＝－52.配方，得x 2－5x ＋(－52)2＝－52＋(－52)2，即(x －52)2＝154.两边开平方，得x －52＝±152.即x －52＝152或x －52＝－152.所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152.易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0.∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14.∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x －5x ＋7的值恒为正． 解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0，∴(x －52)2＋34≥34.∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．【类型三】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽．解析：若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．解：设花砖路面的宽为x m.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝59×48×24.整理，得x2－36x＝－128.配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x－18)2＝196.两边开平方，得x－18＝±14.即x－18＝14，或x－18＝－14.所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.故花砖路面的宽为4m.方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.2．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0； (3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可． 解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x ＋x ＝1，下列判断正确的是( ) A ．该方程有两个相等的实数根 B ．该方程有两个不相等的实数根 C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x 2＋x －1＝0.∵b 2－4ac ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x 的一元二次方程kx －2x －1＝0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k >－1B ．k >－1且k ≠0C ．k <1D ．k <1且k ≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0.解得k >－1且k ≠0，故选B. 易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2m ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧求根公式：x＝－b±b2－4ac2a（a≠0，b2－4ac≥0）用公式法解一元二次方程的一般步骤⎩⎪⎨⎪⎧①化为一般形式②确定a，b，c的值③求出b2－4ac④利用求根公式求解一元二次方程根的判别式经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.第2课时 利用一元二次方程解决面积问题1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点) 2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)一、情景导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点：利用一元二次方程解决面积问题如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x2m.根据题意，得x ·32－x2＝120.解得x 1＝12，x 2＝20.又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去． ∴该矩形草坪BC 边的长为12m.方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.(1)由题意可列方程(x4)2＋(20－x 4)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4.所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ； (2)由题意可列方程(x4)2＋(20－x 4)2＝12，此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．三、板书设计列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤： (1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义； (6)答：根据题意，选择合理的答案．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.2．4用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点)2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点)一、情景导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是()A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝0解析：把(x－3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x－3)(x＋1)－(x－3)＝0，所以(x－3)(x＋1－1)＝0，即x－3＝0或x＝0，所以原方程的解为x1＝3，x2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax2＝bx的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x，得到x＝ba，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x1＝0，x2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x－3)，从而得到x＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1.解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，即(x＋5)(3x－5)＝0，∴x＋5＝0或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0. 这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0， ∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.*2.5 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0； (2)x 2＋3x －4＝0； (3)x 2－5x ＋6＝0.二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a.探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x2x1＋x1x2.解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－32.(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x2x1＋x1x2＝x22＋x12x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143.方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35.又∵x1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求解m的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m＋3）m2＝－1，化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.。