《抽象代数》试题及答案 本科
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)
1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2
x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）
A. 2
21x x ++
B. 23x +
C. 2
45x x ++
D. 2
3x x ++
2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）
A. 单射
B. 满射
C. 双射
D. 可逆映射
3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个
B. 2个
C. 4个
D. 无限个
5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8
a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9
7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111
)
(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶
C. G 的单位元不唯一
D. G 中消去律不成立
8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群
9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C )
A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}
B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}
C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}
D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}
10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）
A. 单射
B. 满射
C. 双射
D. 可逆映射
11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。
A. R 的零元惟一
B. 若0x a +=，则x a =-
C. 对a R ∈，a 的负元不惟一
D. 若a b a c +=+，则b c = 14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32
a 的阶为( B )
A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9
15．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )
A. ||||a G
B. |b| = ∞
C. G 的单位元不唯一
D. 方程ax b =在G 中无解
16. 设G 是交换群，则以下结论正确．．
的是( B ) A. G 的商群不是交换群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是循环群 D. G 的任何子群都是循环群
17. 设A={1，-1, i ，-i}，B = {1, -1}, ?: A →B, 2
a a , ?a ∈A ，则?是从A 到B 的( A )。
A. 满射而非单射
B. 单射而非满射
C. 一一映射
D. 既非单射也非满射
18.设A=R （实数域）， B=+
R （正实数集）， γ:a →a
10， a ∈A ，则γ 是从A 到B 的( C )。
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
19.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x
20. 数域P 上的n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )
A. 构成一个交换群
B. 构成一个循环群
C. 构成一个群
D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z 8的子群有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 23. 下列含有零因子的环是 （ B ）
A. 高斯整数环Z[i]
B.数域P 上的n 阶全矩阵环
C. 偶数环 2Z
D. 剩余类环5Z 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）
A. R 中的每个元素都可逆
B. R 的子环一定是理想
C. R 一定含有单位元
D. R 的理想一定是子环 25．设群G 是6阶循环群，则群G 的子群个数为（ A ） A ． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的满射的个数为 ( D )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A 的分类的是 ( C )
A. 1P = { {a, b},{a, c}}
B. 2P = {{a},{b, c},{b,a}}
C. 3P = {{a},{b,c}}
D. 4P = {{a,b},{b,c},{c}}
28. 设R = 00a a b Z b ??????
∈?? ???????
,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环
C. 无单位元的非交换环
D. 有单位元的非交换环
29. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3的子群的个数是( D )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。
A. 0
B. 1
C. i
D. i -
31.. 设G 是运算写作乘法的群，则下列关于群G 的子群的结论正确的是 ( B )。
A. 任意两个子群的乘积还是子群
B. 任意两个子群的交还是子群
C. 任意两个子群的并还是子群
D. 任意子群一定是正规子群
32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。
A. 1
B. 2
C. 6
D. 7
33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的映射有( D )。
A. 1
B. 6
C. 18
D. 27
34. 设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ D ）
A.0和x -；
B.1和0；
C.k 和k x 2-；
D.k -和)2(k x +-} 35. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素，且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ A ） A.1
1
--a bc ； B.1
1
--a c ； C.1
1
--bc a ； D.ca b 1
-。 36. 下列正确的命题是（ A ）
A.欧氏环一定是唯一分解环；
B.主理想环必是欧氏环；
C.唯一分解环必是主理想环；
D.唯一分解环必是欧氏环。
37．设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果=|H |6，那么G 的阶=G （ B ） A.6； B.24； C.10； D.12。 38. 设G 是有限群，则以下结论正确．．的是（ A ） A. G 的子群的阶整除G 的阶 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群
39．设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f 的同态核是1G 的正规子群； B.2G 的正规子群的原象是1G 的正规子群； C.1G 的子群的象是2G 的子群； D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群。 40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）
A. 半群可以有无穷多个右单位元
B. 半群一定有一个右单位元
C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元
D. 半群一定至少有一个左单位元
二、填空题(每空3分)
1. 设A 是m 元集，B 是n 元集，那么A 到B 的映射共有 （ m
n ）个.
2. n 次对称群n S 的阶是（ n ！ ）.
3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.
4.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有（ )1p -个.
5.除环的理想共有（ 2 ）个.
6.剩余类环6Z 的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是（ ［4］ ）.
7.在 i+3, 2
π, e-3中，（ 3i + ）是有理数域Q 上的代数元.
8. 2在有理数域Q 上的极小多项式是（ 2x 2
- ）.
9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则A ?B=（)}.3,b (),3,a (),2,b (),2,a (),1,b ,1
,a {(（）） 10. 设R 是交换环，则主理想)(a =（ Z }.m R,r |ma {ra Ra ∈∈+=）
11．设),3154(=π 则).1345(1
=-π
12 . 设F 是9阶有限域，则F 的特征是（ 3 ）. 13．设)2154(),351(21==ππ是两个循环置换，则=12ππ（（1342）） 14 . 设F 是125阶有限整环，则F 的特征是 （ 5 ）.
15. 设集合A 含有3个元素，则A A ?的元素共有（ 9 ）个.
16. 设群G 的阶是 2n,子群H 是G 的正规子群，其阶是n, 则G 关于H 的商群所含元素的个数是（ 2 ）.
17.设a 、b 是群G 的两个元，则 1)ab (- =（ 1
1a b --）. 18. 环10Z 的可逆元是（ ]9[],7[],3[],1[）.
19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 20．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]a)(1
=-a f f
。
21.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n
=，那么m 与n 存在整除关系为（n m 整除）。 22．设)31425(=π是一个5-循环置换，那么)).52413((1=-π。 23．有限群G 的阶是素数p ，则G 是（ 循环 ）群。
24．若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 （}R y ,x |ay
x {i i i
i
i ∈∑有限和
）
。 25．群),(12⊕Z 的子群有（ 6 ）个。
26．由凯莱定理，任一个抽象群G 都同一个（ 群G 的变换群 ）同构。
27．设A 、B 分别是m 、n 个元组成的集合，则||B A ?=（ mn ）。 28．设A ={a,b,c }，则可定义A 的（ 5 ）个不同的等价关系。A 的分类
M ={{a,c },{b }}确定的等价关系是R )}a ,c (),c ,a (),c ,c (),b ,b (),a ,a ({(=）。 29. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有（ 2 ）个。 30. 非零复数乘群C *中由-i 生成的子群是（ 1}1,,i ,i {-- ）。 31. 剩余类环Z 7的零因子个数等于（ 0 ）。 32. 素数阶有限群G 的子群个数等于（ 2 ）。
33. 剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是（ ]3[ ）。 34．群σ:G ~~G ，e 是G 的单位元，则)(e σ是（G 的单位元 ）。 35. 复数域的特征是（ 0 ）.
36. 在剩余类环),,(Z 12?+中， ]7[]6[?=（ ]6[ ）. 37. 在3-次对称群3S 中 ， 元素)123(的阶为：（ 3 ）.
38. 设Z 和m Z 分别表示整数环和模m 剩余类环， 则环同态]n [n ,Z Z :f m →→的同态核为（ }Z r |mr {mZ ∈= ） 39.
3
2在有理数域上的极小多项式为（ 2x 3- ）
40. 无限循环群一定和（ 整数加群),Z (+ ）同构.
三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“?”，每小题3分)
1. 设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。（ ? ）
2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G 的运算之下，仍在该非空子集之中。（ √ ）
3. 设G 是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: G →G 是一个映射，且f(x) =7x
, x ∈G. 则f 是G 到G 的同态映射。（ ? ）
4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（ ? ）
5. 设G 是群，则群G 的任意两个正规子群的交仍是群G 的正规子群。（ √ ）
6. 设G 是n 阶有限循环群，则G 同构于模n 剩余类加群 n Z 。 （ √ ）
7. 设 :G G ?→是群同态，则?将G 的单位元不一定映射为 G 的单位元。（ ? ）
8. 设R 是环，A ，B 是R 的任意两个理想，则A B +也是环R 的理想。（ √ ） 9. 域的特征可以为任何自然数. （ ? ）
10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. （√ ） 11. 4次交错群4A 在4次对称群4S 中的指数为4. （ ? ） 12. 复数域是实数域的单代数扩张。 （ √ ） 13. 除环一定是域. （ ? ） 14.3-次对称群3S 的中心是(1). （ √ ） 15. 整数环的商域是有理数域. （ √ ） 16. 无限循环群和整数加群同构. （ √ ） 17. 多项式 3x 2
-在有理数域上可约。 （ ? ） 18. 在特征为p 的域F 中始终有.F b ,a ,b a )b a (p
p
p
∈?+=+ （ √ ）
19. 高斯整数环]i [Z 是唯一分解环. （ √ ） 20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 （ ? ） 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 （ √ ）
22. 设21G G :→δ是群21G G 到群的同态， 则同态核)(Ker δ是1G 的正规子群. （ √ ） 23.素数阶群不一定是循环群。 （ ? ） 24.设),,Z (?+为整数环，p 为素数， 则),(pZ,?+是),,Z (?+的极大理想。 （ √ ） 四、证明题
1. 设Q 为有理数域，设},|2{Q b a b a T ∈+=， 则T 按数的乘法和加法构成一个域.（6分）
证明： T 非空，且T 是实数域的一个子集。T 关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且
,)2(,201T b a T b a ∈+∈+≠?-这样我们就得T 关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T 按数的乘法
和加法构成一个域.。
2. 设E 是F 的扩域，且（E ：F ）=1，则E=F . （6分）
证明：用反证法：若F E ≠， 则存在F x E x ?∈,， 这样2):(≥F E ， 矛盾！ 3. 证明：交换群的商群是交换群.（8分）
证明：设G 为交换群， 且G H ，则 H
G G 关于正规子群H 的商群，且对
任意,,H
G
bH aH ∈有,
))(()()())((aH bH H ba H ab bH aH ===
故H G 是交换群.
4. 设}1,1{},,,1,1{-=--=B i i A ，“·”是数的乘法，证明：（A ，·）～（B ，·）。（这里“～”表示（A ，·）与（B ，·）是
满同态）（8分）
证明：构造映射：1,1,11,11,:----→ i i B A f ，则容易验证f 是的同态到（),),(??B A 映射.
5. 证明：设G=???
??0a
????00?
??∈R a |， 则G 关于矩阵乘法构成（??,2
2R ）的子半群.（6分） 证明：对任意的G ab b a G b a ∈???
?
??=???? ?????? ??∈???? ??????
??000000000,000,000， 故由子半群的判定知，G 关于矩阵乘法构成（??,22R ）的子半群，得证.
6. 设a 是群G 的任一元素，若a 的阶|a|=2，求证： 1
a a -=.（6分）
证明：由题设我们知道：,2
e a = 对这个式子的两边同时乘以1
-a 得
11121)(,----=?=a a a a e a a a
利用群G 中逆元和单位元的性质，即得，1
-=a a .
7. 设ε=
2
31i +-，即3
1ε==1，G={}
2,,1εε，证明：有如下的群同构：（3Z ，⊕）≌（G ，·），这里σ（[0]）=1，σ（[1]）=ε，σ（[2]）=2
ε。（8分） 证明：容易验证下述映射
σ：23]2[,]1[,1]0[,εε G Z →
是双射，且σ保持运算， 即：
3Z ]j [],i []),j ([])i ([])j ][i ([∈?=σσσ.
由同构映射的定义，即得（3Z ，⊕）≌（G ，·）. 8. 设G 是R 2
×2
中所有可逆矩阵组成的集合，
（i ）. 证明G 关于矩阵的乘法成群。（6分） (ii). ?
??
?
??0 1-1
0 的阶是多少？（4分） (iii). ???
?
??1 01 1的阶是多少？（4分） (iv). 证明G 不是交换群.（6分）
解：（i ）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积， 由此G AB ,G A
,G B ,A 1
∈∈∈?-, 故G 关于矩阵的乘法成群.
(ii). 注意到此时群G 的单位元是：????
??1001，经过简单计算，我们可知???
? ??0 1-1
0 的阶是3. (iii). ???
? ??1 01
1的阶是∞. (iv). 通过简单计算，得?
??
?
??-???? ??≠???? ??????
??-0110101110110110， 故G 是非交换群。 解答题：
1. 设Q 是有理数集，“+”是数的加法，找（Q ，+）的所有不同的自同构映射。（8 分）
解：对任意Q x ∈， 定义,,,:Q a ax a Q Q f x ∈?→对 则集合}0x ,|{≠∈但Q x f x 为),(+Q 的所有自同构
映射. ２
．
设
G
=
{}
821,,,A A A ?，其中
1
A =
231 0 1 0 1 0,,,0 10 -10 1A A --??????
== ? ? ???????
4A =???? ??-=???? ??=???? ??i - 00 ,i 00 ,1- 00 165i A i A 7A =???
?
??-=???? ??i 00 ,i - 00 8i A i 列出G 的乘法（矩阵乘法）运算表。
解：运算表如下：
３．（１）写出３－次对称群3S 的所有元素；（４分） （２） 求出3S 中所有元素的阶；（６分） （３）求出3S 中所有元素的逆元.（６分）
解：
(１)3S 的全部元素为： ?
?=110σ 2
2
33????， ??=111σ 32 23????， ??=212σ12 33????， ??=213σ 32 13????， ?
?=31
4σ 22 1
3????
， ??=315σ 12 23???
?． （２）各元素的阶为：.1||,3||||,2||||||053421======σσσσσσ （３）
0σ， 1σ， 2σ ，3σ，4σ，5σ的逆元分别为：0σ，1σ，2σ，5σ，4σ，3σ．
４．找出12Z 中的所有零因子．（６分）
解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．
５． 在有理数域的扩域Q （32）中，求1+32的逆。（１０分）
解：由于=α32在Q 上的最小多项式是p(x)= 3x -2，因此由定理4.3.3，得到
},,42{)2(210223103Q a a a a a a Q ∈++=
由于1+32在Q )2(3的逆元仍然是Q )2(3中的元素，故可设1+32在Q )2(3的逆元为3231042a a a ++,则
（1+32）（3231042a a a ++）=1
将p(32
)= 3-2=0代于上式，并经过简单计算，得到
1(1- =
3
12 3143133+- ６． 设]}9[],6[],3[],0{[=H ≤12Z ，写出12Z 关于H 陪集分解式。（８分）
解：12Z 关于H 的陪集分解式为
12Z ={
{[]0 []3 []6 []9} {[]1 []4 []7 []10}{[]2 []5 []8 []11}}
７． 列出整数模6剩余类环 6Z 中元素的加法和乘法运算表.（１２分）
解：6Z = {[0] [1] [2] [3] [4] [5]}
6Z 中元素的加法和乘法运算表如下:
８． 写出4Z 中每个元所含整数。（８分）
解 [0]{4|},[1]{41|},[2]{42|},[3]{43|}q q Z q q Z q q Z q q Z =∈=+∈=+∈=+∈
９．在3S 中，计算(1 2)(2 3)与(2 3)(1 2)。（６分）
解： (1 2)(2 3) = (1 2 3)， (2 3)(1 2) = (1 3 2)。
１０．求出3S 的所有正规子群。（１０分）
解： 3S 的所有正规子群为：33321)},132(),123(),1{()},1{(S H A H
H ====．
１１．设A ={}2,1，写出A 的所有双变换的集合G ，关于变换的乘法列出G 的运算表。
（１２分） 解：所有双变换为：12,21:,22,11: g f ， 则},{g f G =， 其运算表如下：
１２．求模8的剩余类环8Z 的所有子环。（８分）
解：8Z 的所有子环为：8Z ；{[0]}；[4]}{[0],；[6]}[4][2]{[0]
，，，．
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A0B1C－1D1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）。 AG只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 BG是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 CG是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 DG是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群G是指一个集合 B环R是指一个集合 C群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A反身性B对称性C传递性D封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类()。 A（1） B（123），（132），（23） C（123），（132） D（12），（13），（23） 二、计算题(每题10分，共30分) 1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群S3的正规化子和中心化子。
2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 3.设R是由一切形如x,y 0,0 （x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。
三、证明题(每小题15分，共45分) 1、设R是由一切形如x,0 y,0 （x，y是有理数）方阵作成的环，证 明0,0 0,0 是其零因子。 2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。
3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A、2阶 B、3阶 C、4阶D6阶 2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A、(N, ) B 、(乙) C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),) 5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有() A (1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- , 3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。 5、环Z8的零因子有 -------------- 。 &一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》 考试试卷（B 卷）参考答案 一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件： 1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性） 2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性） 3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性） 则这个关系是的一个等价关系． 2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元． 3、错，因为由于[]Z x x Z <>?，而整数环Z 不是一个域． 4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群． 5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且 1）存在?：()()f x f x →的次数， 是非零多项式到非负整数集的一个映射； 2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环． 二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)． 2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{} 50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+ 5432 [4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分） 1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>?，整数环Z 是一个
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案 一、判断题（每题4分，共60分） 1、设21:G G →σ是群单同态，则σKer 为单点集（√） 2、设21:G G →σ是群同态，σKer 为单点集，则σ必为单射（√） 3、设21:G G →σ是群同态，则σKer 为单点集当且仅当σ为单射（√） 4、5元置换（42351）是偶置换（√） 5、两子群的并一定是子群（×） 6、4元置换（4231）是偶置换（×） 7、已知K H ,是群G 的子群，则HK 也为G 的子群（×） 8、已知,*),(6+Z 是域（×） 9、两子群的并一定是子群（×） 10、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（√） 11、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构（√） 12、设G 是n 阶, e 是它的单位元,则e 的周期为1（√） 13、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群（×） 14、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子（√） 15、唯一分解环必是主理想环(×) 二、证明题（每题20分，共300分） 1、设[]x F 为域F 上的一元多项式环,[]x F x f ∈)(,则))((x f 为极大理想当且仅当)(x f 为不可约多项式。 证明：（必要性）假设)(x f 不是不可约多项式，可知)(x f 不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元[]x F x h x g ∈)(),(，使得)()()(x h x g x f =，故))(())((x g x f ?，))(())((x g x f ≠，因为))((x f 是极大理想，所以[]x F x g =))((，故1)(±=x g 矛盾。综上，)(x f 为不可约多项式。
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). ￥ A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在.
》 D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G中下列各个元素 1213 ,, 0101 c d cd ???? == ? ? - ???? ， 的阶.； ;
2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群. } … & 3. 若e 是环R 的惟一左单位元，那么e 是R 的单位元吗若是，请给予证明.
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
练习题参考答案 一、 判断题 1. R 是A 的元间的等价关系. （错 ）见教材第27页习题2（2） 2. 则G 是交换群. （正确）见教材第37页习题6 3、则该群一定为有限群. （错 ）见教材第39页例4 4、则G 与整数加群同构. （正确）见教材49页定理1（1） 5、那么G 也是循环群. （错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群. 6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -?∈?. （正确）见教材84页定理1 7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈?,. （正确）见教材83页定义1 8、那么R 必定没有右零因子. （正确）见教材139页推论 9、则N G /也是循环群. （正确）见教材95页定理3 10、那么R 的单位元一定是非零元. （正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是 单位元. 11、整数环与偶数环同态. （错误）设Z Z 2:→?为同态满射，且k 2)1(=?，则 24)1()1()11()1(k ==?=????，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者 不可能，因此有02=k ，则0)1(=?，得0)(=n ?，与?为满射矛盾. 12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6- -----=Z ,47Z 均是整环. （错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环. 13、素数阶群一定是交换群. （正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的 阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-
近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,
逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
近世代数模拟试题 一、单项选择题 (每题 5 分，共 25 分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A 0 B 1C－1D1/n， n 是整数 2、下列说法不正确的是（）。 A G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群 G 是指一个集合 B环 R 是指一个集合 C群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A 反身性B对称性C传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类( )。 A（1） B（123），（ 132），（ 23） C（123），（ 132） D（12），（ 13），（ 23） 二、计算题 (每题 10 分，共 30 分) 1.求 S＝{ （ 12），（ 13）} 在三次对称群 S3的正规化子和中心化子。
2.设 G＝{1 ，－ 1，i，－ i} ，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 x, y 3.设 R 是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。
三、证明题 (每小题 15 分，共 45 分) 1、设 R 是由一切形如x,0（x，y 是有理数）方阵作成的环，证 y,0 明0,0 是其零因子。0,0 2、设 Z 是整数集，规定 a·b＝a＋b－3。证明： Z 对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。
自测练习参考答案 一、判断题 1.(× ) 2. (√ ) 3.(× )解释:同时还要适合结合律 4. (√ ) 5. (√ ) 6. (√ ) 7.(× ): 二、选择题 1. （D ） 2. （D ） 3. （C ） 4. （B ）解释:和第9节课后习题1完全类似，但也是大家作业中出现问题最多的一道题。详细答案如下：（按解答题格式写） 解：首先，A 的一一变换有3!=6个，具体为 :,,?→→→1112233 :,,?→→→2122331 :,,?→→→3133221 :,,?→→→4122133 :,,?→→→5112332 :,,?→→→6132231 其次，如果是的自同构，则必保持运算即.A ??,,()()(),x y A x y x y ???∈= 也即（这是是自同构的必要条件） ().??=11.可见，只有和??15满足此条件. 说明和??15可能为的自同构.A 经验证，和的确是的自同构.A ??15 5. （C ） 三、简答题 1.105,84,63;42;21:1→→→→→Φ 105,84,63,42,01:2→→→→→Φ则1Φ，2Φ是X 到Y 的两个单射。
2. A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{),(:，就是一个A A ?到A 的一个满射。 3. 设Z 为整数集，2Z 为偶数集，x x 2:1→Φ， )1(2:2+→Φx x ，其中Z x ∈，则1Φ，2Φ就是Z 到2Z 的两个不同的映射。 4. (1) ()2,f x x x Z =?∈；（2）,2(),21k x k f x k x k =?=?=+? (3) ()1,f x x x Z =+?∈ 5. 解:1R 不是等价关系，因为1),(R c c ?，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性； 2R 是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性； 3R 不是等价关系，因为3),(R c a ?，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性； 4R 不是等价关系，因为4),(R b c ?，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．