则△AFP是等边三角形，
∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ=AP
∴BQ=PF
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF
∵∠=
BQD∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°,
∴BD =DF =FA =
3
1AB =631 =2, ∴AP =2. 解法二： ∵P 、Q 同时同速出发，∴AQ =BQ
设AP =BQ =x ，则PC =6-x ，QC =6+x
在Rt △QCP 中，∠CQP =30°,∠C =60° ∴∠CQP =90°
∴QC =2PC ,即6+x =2（6-x ）
∴x =2
∴AP =2
（2）由（1）知BD =DF
而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF ,
∵AE =EF
又DE +(BD +AE )=AB =6,
∴DE +(DF +EF )=6，
即DE +DE =6
∵DE =3为定值，即 DE 的长不变
3．（3分）（2013?临沂）如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是 3 ．
AE=2EF=AE=2
的面积是：AM=23=3
4．（3分）（2013?威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=25°．
【操作发现】：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF 的长直角边DE重合．
【问题解决】：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
6.（本题满分10分）
如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边B D 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC.
⑴求证：△BAD ≌△AEC ；
⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积.
解析：
（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又 ∵四边形ABDE 是平行四边形
∴AE ∥BD ， AE=BD ，∴∠ACB=∠CAE=∠B ，
∴⊿DBA ≌⊿AEC(SAS) ………………4分
（2）过A 作AG ⊥BC,垂足为G.设AG=x ，
在Rt △AGD 中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x ，
在Rt △AGB 中，∵∠B=300，∴BG=x 3，………………6分
又∵BD=10.
∴BG-DG=BD,即103=-x x ，解得AG=x=5351310
+=-.…………………8分
∴S 平行四边形ABDE =BD·AG=10×（535+）=50350+.………………10分
7．（4分）（2013?淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则DE 的长为（ ）
8．（2013聊城）如图，在等边△ABC 中，AB=6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为 ．
解：
如图，∵在等边△ABC 中，∠B=60°，AB=6，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BD ，∠BAD=∠CAD=30°，
∴BD=21AB =62
1 =3 AD=
==3． 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE ，
∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°，
∴△ADE 的等边三角形，
∴DE=AD=3，即线段DE 的长度为3．
9. (2013?内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．
证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CD=CE ，
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD ，
∴∠ACE=∠BCD ，
在△ACE 和△BCD 中，，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴BD=AE ．
10.（2013?湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO ⊥AC ，于点O ，点P 、D 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE ⊥AC 于点E ，求证：△BPO ≌△PDE ．
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
x
=
，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
①证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°；
12．（4分）（2013?莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．
CD=
∵
A'F=DF=
=
．AD=BC=