集合关系求参数
1．设A={2，﹣1，a2﹣a+1}，B={2b，﹣4，a+4}，M={﹣1，7}，A∩B=M．（1）求a和b的值．（2）设全集U=A，求C U M；
2.设集合A={}
2
|40
x x x
-=，B={}
2
|280
x ax x
-+=，A B B
?=，求a的
取值范围。
3．已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣2ax+1=0}，若B≠Φ，且A∪B=B，求实数a的取值范围．
4．已知集合A={x|x2+2x﹣3=0，x∈R}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}．（1）当a=2时，求A B
?；（2）若A∪B=A，求实数a的取值集合5．若集合A={x|﹣3≤x≤4}和B={x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）当m=﹣3时，求集合A∩B；
（2）当B? A时，求实数m取值范围．
6．已知集合A={x|﹣3≤x≤2}，集合B={x|1﹣m≤x≤3m﹣1}．（1）求当m=3时，A∩B，A∪B；（2）若A∩B=A，求m的取值范围．7．已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，集合N={x| 1﹣2m≤x≤m﹣1}．（1）若M∪N=N，求实数m的取值范围；
（2）若M∩N=Φ，求实数m的取值范围．
8．设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．
（1）求A∪B，（C R A）∩B；
（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C?A，求实数a的取值范围．9．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|4＜x＜10}，C={x|x＜a}．
（1）求A∪B；（C R A）∩（C R B）；（2）若C∩B?A,求a的取值范围．
二次函数
1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??= ???
A ．2b a -
B ．b a -
C ． c
D ．244ac b a
- 2：函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，则()2f 的取值范围是
_________
3、函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 4：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．
5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．
6. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；
(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．
7求二次函数22()2(21)542f x x a x a a =--+-+在区间[0,1]上的最小值()g a 的解析式
8、函数f (x )＝－2x ＋4x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最大值记为g (t )．
(1)求g (t )的解析式；
(2)求g (t )的最大值
9、已知函数f(x)＝2x -2ax+3，[3,5]x ∈， 求函数的值域。
10、如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值
11、 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
12、已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．
13、已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式
不等式恒成立求参数的取值范围 武汉市第四十九中学 李清华 邮政编码；430080 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固 练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x
又因为x∈[-1，1]，所以a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示
集合、函数基本性质中的参数问题 1、已知集合},1{},,3,1{m B m A ==，A B A = ，则=m （ ） A 、0或3 B 、0或3 C 、1或3 D 、1或3 2、已知集合}{},1{2a M x x P =≤=，若P M P = ，则a 的取值范围是（ ） A 、]1,(--∞ B 、),1[+∞ C 、]1,1[- D 、),1[]1,(+∞--∞ 3、设集合},1{R x a x x A ∈<-=，},51{R x x x B ∈<<=，若?=B A ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、}60{≤≤a a B 、}42{≥≤a a a 或 C 、}62{≥≤a a a 或 D 、}42{≤≤a a 4、已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上单调，则实数a 的取值范围是 5、已知函数)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是 6、已知函数???<≥+=0 ,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(x f x f >-的x 的取值范围是 7、若R a ∈，且对于一切实数x 都有032 >+++a ax ax ，那么a 的取值范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、),0[+∞ C 、)4,(--∞ D 、),0()4,(+∞--∞ 8、关于x 的方程02)12(22=-+--a x a x 至少有一个非负实根，则a 的取值范围是 9、已知集合}32{},12{≤≤-=+≤≤=x x B a x a x A ，若A B A = ，求实数a 的取值范围
求解含参数的两个集合的关系常用五法 判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考： 法一：借助数轴或韦恩图寻找关系 例1：已知全集+ =N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( ) A Q P ? B Q P C U ? C Q C P U ? D Q C P C U U ? 解：依题意得，P Q ?,则其韦恩图如下： 由韦恩图可知，=U Q C P U ?，即选C 法二：列举对比法 例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（ ） A N M ? B N M = C M N ? D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B 法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断 例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5 154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（ ） A N M ? B M N ? C N M = D N M ≠ 解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(5 1 当Z n n k ∈=,21时，5 154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5 154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ? 又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(5 15154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数 Z n n k x ∈+=±=∴),12(5 1)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ? 综上可得，N M =
高考备考——深度总结函数恒成立求参数范围的解题秘笈 对于函数恒成立问题，是当今高考数学的主旋律。恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。对于这类问题，都与函数、导数知识密不可分。 一般的解法是分析含有参数的函数在定义域内的单调性，且涉及到参数分情况讨论，这种解法计算量比较大，而且解题步骤比较复杂。本文给大家总结出解含参数恒成立问题的常用方法。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④利用线性规划。下面我就以近两年高考试题为例加以剖析： 一、函数性质法 1、二次函数： ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >???（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。 例1.设函数3 2 9()62 f x x x x a =- +-． （1）对于任意实数，()f x m '≥恒成立，求的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求的取值范围． 【分析】对于（1）中()f x m '≥恒成立，可转化为 恒成立，即为二次函数大 于等于0在R 上恒成立，则有0 a >?? ?;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5 (1)2 f a = -; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-; 故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52 a >. 例2. 设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，．
求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0, 2 1］都成立，则a 的最小值是＿＿ 2.设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。 3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 例2：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围． 变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值． 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间．集合中的求参数的取值范围