教学设计
一、课程基本描述
课程名称：错位相减法
课程内容所属学科：高中数学
教材选用：人教A版必修五
授课对象：高中学生
课前准备：多媒体课件、笔记本电脑
二、教学背景
数列是高中数学的重要内容之一，数列的求和是高考重点考查内容，错位相减法在书本上没有专门的要求，但错位相减法是求和中考察最多的，考察有变革，有创新，但在变中有不变性，因此，要求考生有效地分析通项，然后根据通项特征选择相应的求和方法。而错位相减法就是针对一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列求和方法．由等比数列求和的推导后，考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此类题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项或符号的正负出错，特别是含字母的需要讨论等，需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中来提高学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力，体现数学的核心素养。
三、教学目标
1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。
2.过程与方法：通过两等式错位相减，将不能求和的问题转化成能用等比数列求和的问题，让学生体会数学的转化思想。
3.情感、态度与价值观：在学习的过程中，培养学生的探究能力、化归能力、运算能力，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、转化与化归的数学思想和方法、获得广泛的数学经验。
教学重点：会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。
教学难点：错位相减后的项数、符号、计算问题，以及对转化数学思想的理解。
教学方法：探究式教学
四、教学过程
错位相减法的基本介绍：
通常一个公差为d 的等差数列{a n }与一个公比为q 的等比数列{b n }的对应项的乘积构成的新数列
c n ={an·bn }，则求新数列的前n 项和Sn ，一般将{a n ·b n }的各项乘以其公比，并向后错一项与{a n ·b n }的同项对应相减，相减时通常是用系数大的项减去系数小的项，避免出现太多的负号，相减后的式子，有n+1项相加，然后再把n-1项构成的等比数列相加，再跟剩余两项能合并的合并，力求结果形式上简洁。（有字母的需要注意讨论公比q 是否等于1）这就是错位相减法求和的基本步骤。
例题展示1：求和T n =1×2+4×22+7×23+?+(3n ?2)×2n
解： （1）
T n =1×2+4×22+7×23+?+(3n ?2)×2n （2）
2T n =1×22+4×23+7×24+?+(3n ?2)×2n +1（1）减（2）得：
?T n =1×2+3×22+3×23+?+3×2n ?(3n ?2)×2n +1
=3（2+22+23+?+2n ）?(3n ?2)×2n +1?4
=3（2n +1?2）?(3n ?2)×2n +1?4
=3×2n +1?6?3n ×2n +1+2n +2?4
=2n +2+3（1?n ）×2n +1?10
所以：T n =3（n ?1）×2n +1?2n +2+10
跟踪练习：求和T n =3×13+5×（13）2+7×（13）3+?+(2n +1)×（13）n
例题展示2．已知等比数列的公比为，前项和为，，分{a n }q ≠1n S n a 1+a 3=S 4
S 2a 1?1,a 2?1,a 3?1别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
{a n }（Ⅱ）设，求数列的前项和.
b n =a n lga n {b n }n T n 解：由分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项,
a 1?1,a 2?1,a 3?1得，
a 3?1?(a 1?1)=4[(a 2?1)?(a 1?1)]即，
a 3?a 1=4(a 2?a 1)因 为，所以 {a n }是等比数列a n ≠0
即，
q 2?1=4(q ?1)又因为，所以，
q ≠1q +1=4，q =3由得，，所以，所以.
a 1+a 3=S 4S 2a 1+a 1q 2=S 2(1+q 2)S 2=1+q 2a 1=1a n =3n ?1
(Ⅱ) ，
b n =a n lga n =(n ?1)?3n ?1lg3所以， （1）
T n =[0+3+2×32+3×33+?+(n ?1)×3n ?1]lg3， （2）
3T n =[0+32+2×33+3×34+?+(n ?1)×3n ]lg3（1）减（2）得：
?2T n =[3+32+33+?+3n ?1?(n ?1)×3n ]lg3
=3(1?3n ?1)lg3
1?3
?(n ?1)?3n lg3， = ?
3lg32?(n ?32)?3n lg3所以.
T n =3lg34+(n 2?34)?3n lg3五、教学总结
错位相减法的一般步骤：
1.把数列{an·bn }的各项乘以等比数列的公比
2.向后错一项与 {an·bn }的同项对应相减
3.转化为等比数列的求和并化简
六、作业布置
已知等比数列{a n }中，a 1=2，a n =2a n ﹣1（n ≥2），等差数列{b n }中，b 1=2，点P （b n ，b n +1）在一次函数y=x +2的图象上．
（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （Ⅱ）设c n =a n ?b n ，求数列{c n }前n 项和T n ．
六、板书设计：
1.错位相减法的适用范围明确，但化简易错，学生易于理解。学生了解错位相减法的适用前提，但算不出正确的结果，故本课在板演的基础上强化化简过程。