二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：
1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：上加下减
3. y a x h 2的性质：左加右减
2
4. y a x h k 的性质：
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0
向上 h ，k
X=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的
增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．
a0
向下
h ，k
X=h
x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的
增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 y
ax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：
方法二：
① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx c
m )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )
2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字
“左 加右减，上加下减”．
四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较
从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
b 4a
c b 2
b 4a
c b 2 者，即 y a x
，其中 h ，k ．
2a 4a 2a 4a
y=ax 2
y=ax 2+k
平移 |k|个单位
y=a (x-h) 2
向右 (h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
y=a( x-h)2 +k
向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位
向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位
向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位
向右 (h>0)【或左
(h<0)】 平移 |k| 个单位
五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 y
a(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一
般我们选取的五点为：顶点、与 y
轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.
六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质
2
1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y
2a 2a 4a 2a
2
随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．
2a 2a 4a
2
随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x
b
时，y 有最大值 4ac b ．
2a 2a 4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；
2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；
3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解
析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．
⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．
2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x
b
， 2a ，
顶点坐标为
b 2a
4ac b 2 4a
当x 2b a 时，y
2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a 0 的前提下，
当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2a
当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；
2a
当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
2a
⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 b 0
时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a
当 b 0
时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；
2a
当 b 0
时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在
2a
y 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”
3. 常数项c
⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；
⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；
y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；
2. 关于y 轴对称
y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22
y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；
3. 关于原点对称
y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；
y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
b2
y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a
22
y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．
5. 关于点m ，n 对称
22
y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.
a
② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0时，图象与x 轴没有交点.
1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；
2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．
2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
一、二次函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。
如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是
A B C D
1.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
5 已知一条抛物线经过
（0,3），（4,6）两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
3 2.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛
3 物线y ax2 bx c
（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5 ．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数y ax2 bx c 的图像如图1，则点M （b, c）在（）
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图 2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当 x=1
和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2 时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例 2. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点（-2 ，O ）、（x 1，0） ，且 1
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D ．4 个 答案：D
用待定系数法求二次函数解析式
例 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=3的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax 2+bx+c 的对称轴 是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）
A （2 ，-3） B.（2 ，1） C （2 ，3） D ．（3 ，2）
答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动， 直到 AB 与CD 重合．设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． （1）写出y 与 x 的关系式； （2）当x=2，3.5 时，y 分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称 轴.
例 5 、已知抛物线 y= 1
x 2+x- 5 ．
22
．3个 (2)
D
1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-（b+1）x-3a 的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x1,0），B （x2,0）两点
（x1 x2 ），交y轴负半轴于C点，且满足3AO=O．B
（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO∠>ACO 若? 存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
（1）解：如图∵抛物线交x 轴于点A（x1，0），B（x2，
O），则x1·x2=3<0
又∵x1 ∴x2>O，x1 ∵30A=O，B ∴ x2=-3x1 ∴x1·x2=-3x12=-3 2 ∴x12=1.x1<0 ∴x1=-1．∴．x2=3． ∴点A（-1 ，O），P（4，10）代入解析式得解得a=2 b=3 ∴二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 ． （2）存在点M使∠MC0∠< ACO． （2）解：点A关于y 轴的对称点A'（1 ，O），∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0，-6），（5，24）． ∴符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 图象经过点A（c，－2）， 2 求证：二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 ［解答］（1）根据y 1 x2 bx c的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 2 1c2 bc c 2, 2 3, 解得b 3, c 2. 所以所求二次函数解析式为y 1 x2 3x 2.图象如图所示 2 2）在解析式中令y=0，得1 x2 3x 2 0 ，解得x1 3 5,x2 3 5. 2 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ 5,0）”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标 是(3 5,0). 5 令x=3 代入解析式，得y 5, 2 所以抛物线y 1 x 3x 2 的顶点坐标为（ 3, 5）, 22 5 所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3, 5）等等。 2 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCD（E如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。在物业人员配备中，我们遵循如下原则： 本着精简、 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好 考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）?与产品的日销售量y （件）之间 的关系如下表： x （元） 15 20 30 ? y （件） 25 20 10 ? 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． （1）求出日销售量y （件）与销售价 x （元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 15k b 25, 【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b ．则 15k b 25, 解得 k=-1，b=40，?即一次函数表 2k b 20 达式为 y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25 ）2+225． 产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为 225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在 “当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设 为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例 3. 你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩 绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为 1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平 距离 1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．建立的平面直角坐标系如右图所示. A ．1．5 m B ．1．625 m C ．1．66 m D ．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 高效原则根据项目实际服务、管理和经营的需要，推行统一目标、分解责任、责权利相结合。2、职责、权限明确原则日常工作由综合服务主管直接对各服务人员即集指挥和职能于一身，便于综合服务主管全面掌握日常工作及人员状况，减小失控。 已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为（ 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
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