云南师大附中2013届高考适应性月考卷（三）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式：
样本数据12,,,n x x x 的标准差
s =
其中x 为样本平均数 柱体体积公式V
Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式
1
3
V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式
24R S π=，33
4R V π=
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
．设集合{}
|A x x k N ==∈，{}|5,B x x x Q =≤∈，则A B ＝
A ．{}1,2,5
B ．{}1,2,4,5
C ．{}1,4,5
D ．{}1,2,4
2．在复平面内，复数
31
1i i
+-对应的点位于 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为
A ．1
B
．
3
C
D
4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是
A ．||
2x y = B
．lg(y x =
C ．22x
x
y -=+ D ．1
lg 1
y x =+
5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x 的值是
A ．8
B ．6
正视图 1 1 1 侧视图
俯视图
C ．4
D ．3
6．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤，若p 是q 的充分不必要条件，则
m 的取值范围是
A ．[]1,1-
B ．[]4,4-
C ．(][),44,-∞-+∞
D ．(][),11,-∞-+∞
7．如图3，直线2y x =与抛物线2
3y x =-
A ．
353
B ．
C ．2
D 8．对于函数11
()(sin cos )|cos sin |22
f x x x x x =
+--，则下列说法正确的是 A ．该函数的值域是[]1,1-
B ．当且仅当22()2
k x k k Z π
ππ<<+∈时，()0f x >
C ．当且仅当2()2
x k k Z π
π=+
∈时，该函数取得最大值1
D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数
9．实数对(,)x y 满足不等式组20,
250,20,x y x y y --≤??
+-≥??-≤?
若目标函数z kx y =-当且仅当3,1x y ==时取
最大值，则k 的取值范围是
A ．[)1,1,2??
-∞-
+∞ ???
B ．1,2??
-
+∞ ???
C ．1,12??
- ???
D ．(],1-∞-
10．已知函数21,0,()1,0,
x f x x x -≥?=?-
(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为
A ．[)3,0-
B ．()3,0-
C ．()3,1-
D ．(-
11．若在曲线(,)0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)f x y 的“自公切
线”．下列方程：①221x y -=；②2
||y x x =-；③3s i n 4c o s y x x =+
；④||1x +
=对
应的曲线中存在“自公切线”的有
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
12．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有
A ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f <
B ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f >
C ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f >
D ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f <
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．在区间[]6,6-内任取一个元素0x ，若抛物线2y x =在0x x =处的切线的倾斜角为α，则
3,4
4ππε??
∈????
的概率为 ．
14．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3
B π
=
且
sin 2sin()sin A A C B +-=，则△ABC 的面积为 ．
15．正三棱锥A BCD -内接于球O
2，则球O 的表面积为 ．
16．如图4，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB AB ⊥时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，
113543(2)n n n n S a a S n --=-+≥．
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
18．（本小题满分12分）某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是9
10
和
13
． （1）如果以投篮得分的期望值作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由； （2）求该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．
19．（本小题满分12分）如图5甲，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2DB =，1DC =
，
BC =
，AB AD ==BD 折起，使二面角A BD C --为60°（如
图乙）．
（1）求证：AE ⊥平面BDC ； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20．（本小题满分12分）已知()ln f x x x =． （1）求()f x 在[],2(0)t t t +>上的最小值； （2）证明：(0,)x ?∈+∞，都有12
ln x
x e ex
>
-． 21．（本小题满分12分）设抛物线C 的方程为2
4x y =，M 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A 、B ．
（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M 、A 、B 三点的圆的标准方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；
（2）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使MA MB ⊥？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．
A
E
C
D
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图6，在正△ABC 中，点,D E 分别在边,AC AB 上，且1
3
AD AC =
，2
3
AE AB =
，,BD CE 相交于点F ． （1）求证：,,,A E F D 四点共圆；
（2）若正△ABC 的边长为2，求,,,A E F D 所在圆的半径． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M
的极坐标为4π??
??
?
，曲线C
的参数方程为1,,
x y αα?=+??
=??（α为
参数）．
（1）求直线OM 的直角坐标方程；
（2）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|21||23|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．
A
C
E
D
F
数学试题参考答案
一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力
二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧
13．
1112
1415．
163
π
16 三、解答题 17．