《统计计算》案例1，吕晓玲
应用潜在分类泊松回归模型及EM 算法分析陈述偏好数据：
以网络购物使用次数为例
1. 问题提出
随着网络的兴起，网上购物已经在人们的生活中发挥着越来越重要的作用。网上购物以其方便快捷等特点吸引了很多购物者，但是也有一些人质疑网上购物安全性、不可触摸性等问题。影响人们选择网上购物的因素有很多，不同的人对网上购物也有不同的态度。大学生是网络购物这个群体的很重要的一部分，什么因素影响大学生对网络购物的选择？大学生由于对网络购物的态度取向不同可分为多少潜在的类别？本文应用陈述偏好方法（stated preference method ）收集大学生网上购物的数据，并应用潜在分类泊松回归模型（latent class Poisson regression model ）及EM 算法分析数据，回答以上两个问题。
2. 数据收集
源于心理学的陈述偏好调查已经被市场营销中研究消费者行为广泛应用。虽然在进行每个具体研究时操作不尽相同，总的原则是事先设定几个重要因素，每个因素有若干水平，然后提出一些假想情景，每个情景是这些因素不同水平的组合。受访者按照他们的喜好给不同的情景打分或者排序。研究者应用模型分析数据，寻找各因素的重要性。
为了确定影响网络购物的重要因素，我们首先开展了预调查，针对购买商品的种类、价格、邮费、卖家信用度、介绍商品详细程度以及网上购物节省时间和到货时间等因素对大学生进行了调查，并应用简单统计分析得到了对网上购物次数影响比较显著的四个因素，分别是购买商品的种类、价格、卖家信誉度以及介绍商品的详细程度。具体因素和因素水平如下所示：
种类：服饰，化妆品，文体
价格：50元，100元，150元，200元，250元 卖家或网站的信誉度：1，2，3，4，5 介绍商品的详细程度：1，2，3，4，5
若每一种组合都进行调查则共有3555225???=组合，在这里运用了正交设计的方法进行试验设计，共进行75种不同的组合，将这75种组合分成25组，每组中包含3个场景（分别为3个不同的种类），每一个被调查者将被给定3个不同的场景。每个被调查者回答的问题是在特定的场景能够在十次购物中选择网上购物的可能次数。我们总共访问了197名在京大学生，得到了在588种场景下他们对网络购物的使用情况的有效回答。
3. 模型介绍
市场营销中常用的分析陈述偏好数据的方法是联合分析（conjoint analysis ），我们这里使用泊松回归模型，因为：（1）因变量不是受访者对场景的排序，而是使用网络购物的次数，它是一个取值为离散整数的变量，可以假设服从泊松分布；（2）可以对泊松回归模型进一步应用潜在分类模型分析受访者的异质性。我们首先介绍泊松回归模型和潜在分类模型，然后介绍如何应用最大似然法和EM 算法估计参数。
令ij Y 为第i （I i ,...,1=）个个体在面临第j （J j ,...,1=）种场景时的选择，服从参数为ij λ的泊松分布。因为从平均的意义上来讲，ij λ取值越大意味着受访者越倾向于多次使用
网络购物，所以ij λln 可理解为该场景的效用（utility ），它是这个场景各因素水平和受访者
个人特征的函数：βλ'ln ijk ij x =，其中：ijk x 是K 维协变量，},...,,{10K βββ=Θ是参数，
体现了受访者对协变量变化的反映，如果假设它是常数，则表明受访者是同质的（Homogeneity ），但我们知道，不同受访者对不同的协变量的重要程度看法是不一样的，也就是说人群有异质性（Heterogeneity ），处理这种问题的办法是假设Θ为一个随机变量，服从概率分布)(Θπ。这里我们可以假设)(Θπ为一个连续的多元密度函数，但由于无法判定哪种形式以及在参数估计的时候很难计算多维积分，所以一般来说我们不采取这种方式，取而代之的是假设)(Θπ是一个离散的多元分布，取值为},...,,{10Ks s s s βββ=Θ，相应的概率密度是S s s ,...,1,=π，S 的大小以及s Θ和s π的取值均由数据估计得到。我们称这种方法为潜在分类模型或者离散随机系数模型（discrete random-coefficient model ）。
在上述模型假定下，我们知道第i 个个体在面临第j 种场景时，给定参数取值为s Θ时，泊松分布的参数∑+
=Θk
ijk
ks s s j i x )exp()(0β
βλ。则第i 个个体的无条件概率密度为：
)(]!
))
(exp()([1
1s S s J
j ij s j i y s ij y ij
ΘΘ-Θ∑∏
==πλλ （1）
如果使用最大似然法估计参数，样本的似然函数可以写成：
∏∑∏
===ΘΘ-Θ=I
i s S s J
j ij s j i y s ij y L ij
1
1
1
)}(]!
))
(exp()([{πλλ （2）
4. 估计方法
可以看到似然函数的形式很复杂，即使使用数值算法，也不容易找到全局最优的最大似然估计。这里我们使用EM 算法。引入缺失变量：
其他
个潜在类
个个体来自第如果第s i 0
1??
?=s i u （3）
假定，is u 的分布为独立同分布，密度函数是s π，则∏==
S
s u
s i is
u f 1
)|(ππ，其中
),...,(1iS i i u u u =，),...,(1S πππ=。完全对数似然函数可写成：
∏∏∏
===Θ-Θ=I
i u S
s J
j u ij s j i y s ij C is
s
is ij
y L 1
1
1
}]!
))
(exp()([{πλλ （4） ∑∑∑∑====+=I i S
s I
i S
s s is s i is C u L u LnL 11
11
|ln ln π （5）
其中，∏
=Θ-Θ=
J
j ij s j i y s ij s i y L ij
1
|!
))
(exp()(λλ
应用EM 算法，首先给定初始参数估计值)
0()0(,s s πΘ。之后的迭代（B b ,...,1,0=）过程中，E 步就是在给定观测数据和参数估计)
()(,b s b s πΘ的情况下，对完全对数似然函数以is u 的
分布求期望，因为（5）中完全对数似然函数是is u 的线性函数，所以它的期望也是is u 期望
的线性函数。为了求is u 给定观测数据和参数估计)()(,b s b s πΘ的条件期望，
我们需要寻找它的条件分布。因为∏==
ΘS
s u s s
i s s ij i is
L
y u f 1
|)
(),|,(ππ，∑==
ΘS
s s s
i s s ij L
y g 1
|),|(ππ，所以
∑∏===ΘS
s s s i S
s u s s i s s ij i L L y u g is
1
|1
|/)(),,|(πππ。则is u 的条件期望是：
∑==Θ=S
s s s i s s i s s ij is is L L y u E w 1
||/],,|[πππ （6）
所以在E 步得到的完全对数似然函数的期望是：
∑∑∑∑====+=ΘI i S
s s b is I i S s s i b is
b s
b s j i C w LnL w y LnL E 11
)
(11
|)
()()
(ln ],,|[ππ （7）
M 步即是最大化（7）式得到更新的)1()
1(,++Θb s b s π。可以看到（7）式右侧第一项仅与)(b s Θ有关，并且和式的每一项与一个s 对应，（7）式右侧第二项仅与)(b s π有关，可以单独优化，大
大降低了似然函数的复杂度。此外，EM 算法所得估计量的均方误差可以由Louis 公式计算而得。
5. 数据分析
应用上述模型分析大学生网络购物数据，首先把分类变量（商品种类）转化为0、1变量，即
12110
X X ??==?
?
??种类为服饰种类为化妆品种类不是服饰
种类不是不是化妆品
当12X X 和同时取0时，表示种类为文体。
我们使用BIC 准则来确定S 的取值。从S =1开始，模型的BIC 开始下降，并且到某一值时，开始上升。我们就选择使得BIC 取最小值的S 。从表1可以看出S =3。
表2给出了模型在S=3和S=1（没有异质性）时的参数估计值。当S=1（假设受访者没有异质性时），受访者整体表现出更倾向于多次购买文体类商品，使用次数随商品价格下降，
增加卖家或网站的信誉以及介绍商品的详细程度可以增加受访者的使用网络购物的次数。当S=3时，可以看到受访者分为三类，在网络购物的使用次数上，几个因素对这三类受访者有着不同的影响。根据表2的结果，第一类受访者（约占18.89%）更倾向于购买文体类商品，也倾向于购买价格便宜的商品，并重视卖家或网站的信誉程度和介绍商品的详细情况；第二类受访者（约占48.62%）不在乎商品的种类、价格、以及介绍的详细情况，只注重网站的信誉；第三类受访者（约占32.49%）更倾向于购买文体类商品，不重视商品的价格和卖家或网站的信誉程度，但较看重介绍商品的详细情况。
表1：BIC准则
注：括号中是参数估计的标准误差，其中*代表0.05的显著性水平，**代表0.01的显著性水平。
6. 总结
本案例应用潜在分类的泊松回归模型及EM算法分析了大学生对网络购物的使用情况。最终得到三类人群，他们对商品类型、价格、卖家或网站的信誉度、以及介绍商品的详细程
度有着不同的重视程度，网络营销者可以根据此结果制定不同的营销策略。此外，我们还可以进一步根据模型估计结果得到每个个体属于哪一类，从而分析这三类人在个人特征方面的差异。
参考文献
Lo, Hing-Po and Wendy Lam (2001), A Latent Class Model Applied to Stated Preference Data, in Hensher, D. (ed.) Travel Behaviour Research – The Leading Edge, Pergamon Press
《算法分析与设计》 学习中心： 专业： 学号： 姓名：
作业练习二 一、名词解释 1、MST性质 2、子问题的重叠性质 递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次，这种性质称为子问题的重叠性质。 二、简答题 1、简述动态规划算法求解的基本要素。 答：动态规划算法求解的基本要素包括： 1)最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提； 2)动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果，即重叠子问题。 2、备忘录方法和动态规划算法相比有何异同简述之。 答：备忘录方法是动态规划算法的变形。与动态规划算法一样，备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同的子问题的重复求解，而直接递归方法没有此功能。
3、贪心算法求解的问题主要具有哪些性质简述之。 答：贪心算法求解的问题一般具有二个重要的性质： 一是贪心选择性质，这是贪心算法可行的第一个基本要素； 另一个是最优子结构性质，问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法求解的关键特征。 三、算法编写及算法应用分析题 1、设计求解如下最大子段和问题的动态规划算法。只需给出其递推计算公式即可。 最大子段和问题：给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列a1a2 … an，求该序列形如Σi≤k≤j ak的子段和的最大值。当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为0。依次定义，所求的最优值为max{0, max1≤i≤j≤n Σi≤k≤j ak }。
精品文档习题胡明-版)-王红梅-算法设计与分析(第2答案 1 习题）—1783Leonhard Euler，17071.图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（提 出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：北区一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现东区在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部岛区的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，南区是这条河以及河上的两个岛和七座桥的图1.7 1.7 七桥问题图草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点一次步行1，经过七座桥，且每次只经历过一次2，回到起点3，该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。）用的不是除法而是减最初的欧几里德算法2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n r=0 循环直到2.m=n 2.1 n=r 2.2 r=m-n 2.3 m 输出3 ．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代3++描述。C码和 采用分治法// //对数组先进行快速排序在依次比较相邻的差//精品文档． 精品文档 #include
投资者风险承受能力与风险偏好测试问卷 投资有风险，不同承受能力和风险偏好的客户，应选择不同的投资产品或投资组合。以下测试，帮助您更好地了解自己的风险偏好和风险承受能力。 提示：请在相应选项上打“√”。 （一）客户风险承受能力测试 1. 您现在的年龄: A 60岁以上 B 46-60 C 36-45 D 26-35 E 25岁以下 2.您的健康状况如何: A一直都不是很好,要经常吃药和去医院 B有点不好,不过目前还没什么大问题, 我担心当我老了的时候会变的恶劣 C 至少现在还行,不过我家里人有病史 D 还行, 没大毛病 E 非常好 3. 是否有过投资股票、基金或债券的经历？ A没有 B有，少于3年 C有，3～5年 D有，超过5年 4．您目前投资的主要目的是？ A 确保资产的安全性，同时获得固定收益 B 希望投资能获得一定的增值，同时获得波动适度的年回报 C 倾向于长期的成长，较少关心短期的回报和波动 D 只关心长期的高回报，能够接受短期的资产价值波动 5．您投资的总额占您个人（或家庭）总资产（含房产等）的： A 低于10% B 10%-25% C 25%-40% D 40%-55% E 55%以上 6．您预期的投资期限是： A 少于1年 B 1 —3年 C 3—5年 D 5—10年 E 10年以上 7. 在您投资60天后，价格下跌20%。假设所有基本面均未改变，您会怎么做? A 为避免更大的担忧，全部卖掉再试试其他的 B 卖掉一部分，其余等着看看 C 什么也不做，静等收回投资 D 再买入。它曾是好的投资，现在也是便宜的投资。 8. 您有没有想过如果有一天您的财务状况发生很大的变化,比如说突然有一笔很大的开支,这笔开支可能会动用您10%的个人资产或甚至更多: A 没想过, 我感觉这种大变化不会在我身上发生 B 经常想, 我很担心整个生活都将变得一团糟,可是我又有什么办法呢? C 想过一两次, 感觉挺可怕的 D 曾经有想过一两次,但是我还年轻，无所谓的 9. 您对您目前的财务状况满意吗？ A 不太好, 常常要借钱
数据整理与分析 重要值的计算 在森林群落的分析中，重要值（IV ）的数值大小可作为群落中植物种优势度的一个度量标志，并可以体现群落中每种植物的相对重要性及植物的最适生境，其计算公式为： （1）乔木重要值 3(%)相对多度 相对显著度相对高度++=tr IV （3-15） 式（3-15）中，相对高度（%）＝100×某个种的高度／所有种的总高度；相对显著度（%）＝100×某个种的基径断面积／所有种的基径断面积之和；相对多度（%）＝100×某个种的株数／所有种的总株数。 （2）灌木和草本植物的重要值 2(%)相对多度 相对盖度+=tr IV （3-16） 式（3-16）中，相对盖度（%）＝100×某个种的盖度／所有种的总盖度（宋永昌，2002）。 多样性分析 物种多样性是物种丰富度和分布均匀性的综合反映，体现了群落结构类型、组织水平、发展阶段、稳定程度和生境差异。本研究采用α多样性测度来测量所查区域内森林群落的物种多样性。 α多样性可定义为群落内的多样性（diversity within a community ），从物种组成的角度研究群落的组成和结构的多样化程度，是生物多样性研究的基础，群落的α多样性作为刻划植物群落组成结构的重要指标，一直受到生态学家的关注。采用以下指数测度α多样性。 （1）物种丰富度指数
物种丰富度即物种的总数目，是最简单最古老的物种多样性计测方法，但生物学意义显著。 SA=S （3-17） 式（3-17）中，SA 表示丰富度指数，S 表示样方内物种总数。 （2）物种多样性测度 物种多样性考虑了群落中不同物种的重要值，从而比直接的物种丰富度指标更能准确地反映植物群落的多样性特征（马克平等，1994）。采用物种多样性指数、均匀度及生态优势度作为描述群落的综合特征的指标。 a. Shannon-Wiener 指数： 'ln i i H P P =∑－ （3-18） 式（3-18）中，Pi 为每一物种的多度比例，本研究中用物种的相对重要值来计算多样性。Shannon-Winner 指数是将丰富度和均匀度综合起来的一个量，能较全面的测度物种的多样性，Shannon-Wiener 多样性指数假设个体是从一个“无限大”的总体中随机抽取的（Pielou ，1975；Magurran ，1988），它还假设总体中的所有种都在样本中出现。Shannon-Wiener 指数在生态学上的意义可以理解为：保证了对种数一定的总体，各种间数量分布均匀时，多样性最高；两个个体数量分布均匀的总体，物种数目越多，多样性越高。 b. Pielou 均匀度指数： (ln )/ln i i E P P S =-∑ （3-19） 式（3-19）中，S 为物种数目。Pielou 均匀度指数是群落中不同物种的多度（生物量、盖度或其他指标）分布的均匀程度，Pilou 指数定义为群落实测多样性（以Shannon-Wiener 指数为基础）和最大多样性（即在给定物种数的情况下完全均匀群落的多样性）之间的比值关系。 c. Simpson 生态优势度指数： 2 1s i i p λ==∑ （3-20）
一般线性回归分析案例 1、案例 为了研究钙、铁、铜等人体必需元素对婴幼儿身体健康的影响，随机抽取了30个观测数据，基于多员线性回归分析的理论方法，对儿童体内几种必需元素与血红蛋白浓度的关系进行分析研究。这里，被解释变量为血红蛋白浓度（y）,解释变量为钙(ca)、铁(fe)、铜(cu)。 表一血红蛋白与钙、铁、铜必需元素含量 (血红蛋白单位为g；钙、铁、铜元素单位为ug) case y（g）ca fe cu 17.0076.90295.300.840 27.2573.99313.00 1.154 37.7566.50350.400.700 48.0055.99284.00 1.400 58.2565.49313.00 1.034 68.2550.40293.00 1.044 78.5053.76293.10 1.322 88.7560.99260.00 1.197 98.7550.00331.210.900 109.2552.34388.60 1.023 119.5052.30326.400.823 129.7549.15343.000.926 1310.0063.43384.480.869 1410.2570.16410.00 1.190 1510.5055.33446.00 1.192 1610.7572.46440.01 1.210 1711.0069.76420.06 1.361 1811.2560.34383.310.915 1911.5061.45449.01 1.380 2011.7555.10406.02 1.300 2112.0061.42395.68 1.142 2212.2587.35454.26 1.771 2312.5055.08450.06 1.012 2412.7545.02410.630.899 2513.0073.52470.12 1.652 2613.2563.43446.58 1.230
投资风险偏好测试卷 只能单选，为了能测试出来你的真实风险偏好，请尽量如实填写。 填好后回复给我就可以了，我给你做一个免费的评测，在进行投资前，对自己的风险偏好有一个了客观了解很必要，他将决定你的组合风险，影响未来的投资收益。 1．你的家庭负担：（） A．家庭负担较重，例如家中有病人等。 B．子女尚小，父母需要赡养，家庭负担较重。 C．简单的三口之家，父母刚退休不久，有固定的收入。 D．单身或者结婚不久，没有子女，父母还年轻，无需赡养。 2．你的投资收益预期是什么？（） A．获得相当于银行定期存款利率的回报。 B．保障资本增值及抵御通货膨胀。 C．获取每年5%~10%的回报率。 D．获取每年10%的回报率。 3．在海滨，你是否经常不小心游出安全区内？（） A．绝对不会。 B．很少这样，太危险。 C．这样也没有什么大不了的。 D．经常这样，无视安全线的存在。 4．你是不是经常喜欢自己做决定？（） A．不喜欢，最好有朋友帮忙。 B．有人给我意见会使我的信心大幅度增加。 C．我习惯于自己做决定，但是别人的意见我会参考。 D．自己做决定是我一贯的作风，从来不需要别人的参与。 5．假设有一项电视智力竞赛节目，并且你已经胜出，主持人让你在以下获奖方式作出选择，你会选择：（） A．立刻拿到10000元现金。 B．有50%的机会赢取50000元现金的抽奖。 C．有25%的机会赢取100000元现金的抽奖。 D．有5%的机会赢取1000000元现金的抽奖。 6．独自到国外旅游，遇到三叉路口，你会：（） A．仔细研究地图和路标，确认无误再做出选择。 B．向别人问路，问清楚之后选择。 C．大致判断一下方向，然后毅然决然地走下去。 D．用抛硬币的方式来做决定。 7．例如你预计有一项投资可能会有较大的收益，可是手中却没有足够的资金，你是否会对外融资？（） A．肯定不会。
客户风险偏好与风险承受能力测试题 投资有风险，不同风险偏好和承受能力的客户，应选择不同的投资产品或投资组合。以下测试，帮助您更好地了解自己的风险偏好和风险承受能力。 第二位客户 1 客户风险偏好测试 １．风险投资于您而言：B Ａ觉得很危险Ｂ可以尝试低风险Ｃ比较感兴趣Ｄ非常感兴趣 ２．您的亲友会以下列哪句话来形容您：C Ａ您从来都不冒险 Ｂ您是一个小心、谨慎的人 Ｃ您经仔细考虑后，会愿意承受风险 Ｄ您是一个喜欢冒险的人 ３．假设您参加一项有奖竞赛节目，并已胜出，您希望获得的奖励方案：B Ａ立刻拿到１万元现金 Ｂ有５０％机会赢取５万元现金的抽奖 Ｃ有２５％机会赢取１０万元现金的抽奖 Ｄ有５％机会赢取１００万元现金的抽奖 ４．因为一些原因，您的驾照在未来的三天无法使用，您将：A Ａ搭朋友的便车、坐出租或公车 Ｂ白天不开，晚上交警少的时候可能开 Ｃ小心点开车就是了 Ｄ开玩笑，我一直都是无照驾驶的 ５．有一个很好的投资机会刚出现。但您得借钱，您会选择融资吗？C Ａ不会Ｂ也许Ｃ会 ６．您刚刚有足够的储蓄实践自己一直梦寐以求的旅行，但是出发前三个星期，您忽然被解雇。您会： C Ａ取消旅行 Ｂ选择另外一个比较普通的旅行 Ｃ依照原定的计划，因为您需要充足的休息来准备寻找新的工作 Ｄ延长路程，因为这次旅行可能成为您最后一次豪华旅行 ７．如果投资金额为５０万元人民币，以下四个投资选择，您个人比较喜欢：B Ａ最好的情况会赚２万元（４％）人民币，最差的情况下没有损失
Ｂ最好的情况会赚８万元（１６％）人民币，最差的情况下损失２万元（４％）人民币 Ｃ最好的情况会赚２６万元（５２％）人民币，最差的情况下损失８万元（１６％）人民币Ｄ最好的情况会赚４８万元（９６％）人民币，最差的情况下损失２４万元（４８％）人民币 ４．如果您收到了２５万元的意外财产，您将：B Ａ存到银行 Ｂ投资债券或债券型基金 Ｃ投资股票或股票型基金 Ｄ投入到生意中 2 客户风险承受能力测试 １．您现在的年龄：D Ａ６０岁以上Ｂ４６－６０岁Ｃ３６－４５岁 Ｄ２６－３５岁Ｅ２５岁以下 ２．您的健康状况如何：D Ａ一直都不是很好，要经常吃药和去医院 Ｂ有点不好，不过目前还没什么大问题，我担心当我老了的时候会变得恶劣 Ｃ至少现在还行，不过我家里人有病史 Ｄ还行，没大毛病 Ｅ非常好 ３．是否有过投资股票、基金或债券的经历？A Ａ没有Ｂ有，少于３年 Ｃ有，３～５年Ｄ有，超过５年 ４．您目前投资的主要目的是？D Ａ确保资产的安全性，同时获得固定收益 Ｂ希望投资能获得一定的增值，同时获得波动适度的年回报 Ｃ倾向于长期的成长，较少关心短期的回报和波动 Ｄ只关心长期的高回报，能够接受短期的资产价值波动 ５．您投资的总额占您个人（或家庭）总资产（含房产等）的：C Ａ低于１０％Ｂ１０％－２５％Ｃ２５％－４０％Ｄ４０％－５５％ Ｅ５５％以上 ６．您预期的投资期限是：C Ａ少于１年Ｂ１－３年Ｃ３－５年Ｄ５－１０年Ｅ１０年以上
Ex.1(p20)若将y ← uniform(0, 1) 改为y ← x, 则上述的算法估计的值是什么？解：若将y ← uniform(0, 1) 改为y ← x，此时有，则k++，即，此时k++，由于此时x ← uniform(0, 1)，所以k/n=，则此时4k/n=2。所以上述算法估计的值为2。Ex.2(p23) 在机器上用估计π值，给出不同的n值及精度。解：由ppt上p21可知，的大小，其中k为落入圆内的数目，n为总数，且π=，即需要计算4k/n。我们先令x ← un iform(0, 1)，y ← uniform(0, 1)。计算 的值，如果小于等于1，那么此时k++。最后计算4k/n的值即可估计此时的π值。代码的主要部分为： 执行结果为：
结果分析：随着N的取值不断地增加，得到的π值也就越来越精确。 Ex.3(p23) 设a, b, c和d是实数，且a ≤ b, c ≤ d, f:[a, b] → [c, d]是一个连续函数，写一概率算法计算积分： 注意，函数的参数是a, b, c, d, n和f, 其中f用函数指针实现，请选一连续函数做实验，并给出实验结果。 解：的值为y=，y=0，x=a，x=b围成的面积。根据之前的例子我们可以知道 = k(b-a)d/n。其中k是落在函数y=，x=a，x=b以及y=0所包围区间内的个数。代码的主要部分为： 运行结果为：
结果分析： 随着N的取值不断地增加，得到的积分值越来越精确。 Ex4(p24). 设ε,δ是(0,1)之间的常数，证明：若I是的正确值，h是由HitorMiss算法返回的值，则当n ≥ I(1-I)/ε2δ时有： Prob[|h-I| < ε] ≥ 1 –δ 上述的意义告诉我们：Prob[|h-I| ≥ ε] ≤δ, 即：当n ≥ I(1-I)/ ε2δ时，算法的计算结果的绝对误差超过ε的概率不超过δ，因此我们根据给定ε和δ可以确定算法迭代的次数 () 解此问题时可用切比雪夫不等式，将I看作是数学期望。 证明：由切比雪夫不等式可知： P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε2 由题目知，E(X)=I。且根据题意，我们可知，在HotorMiss算法中，若随机选取n个点，其中k个点在积分范围内，则。且k的分布为二项分布B(n，I)（在积分范围内或者不在 积分范围内），则。又因为k=x*n，所以D(X)=I(1-I)/n。再将E(X)和D(X)带入切比雪夫不等式中即可得到 Ex5(p36). 用上述算法，估计整数子集1~n的大小，并分析n对估计值的影响。解：由题知，集合的大小，通过计算新生成的集合中元素的个数来估计原集合的大小，代码的主体部分如下：
1. )(n T 给定数组a[0:n-1],试设计一个算法,在最坏情况下用n+[logn]-2次比较找出 a[0:n-1] 中的元素的最大值和次大值. (算法分析与设计习题 2.16 ) （分治法） a 、 算法思想 用分治法求最大值和次大值首先将问题划分，即将划分成长度相等的两个序列，递归求出左边的最大值次大值，再求出右边的的最大值次大值，比较左右两边，最后得出问题的解。 b 、复杂度分析： 把问题划分为左右两种的情况，需要分别递归求解，时间复杂度可如下计算： 有递推公式为： T(n)=1 n=1 T(n)= 2T(n/2)+1 n>1 所以，分治算法的时间复杂度是n+[logn]-2，当n 为奇数时，logn 取上线，当n 为偶数时，logn 取下线。//不知道为什么会-2！ C 、代码实现： #include
if(lcmax>rmax) { max=lmax; cmax=lcmax; } else { max=lmax; cmax=rmax; } else if(rcmax>lmax) { if(rmax==rcmax) { max=rmax; cmax=lmax; } else { max=rmax; cmax=rcmax; } } else { max=rmax; cmax=lmax; } } } int main() { int n; int max,cmax; printf("输入数组长度"); scanf("%d",&n); printf("输入数组:\n"); for(int i=0;i 线性回归模型 1.回归分析 回归分析研究的主要对象是客观事物变量之间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的方法。回归分析方法是通过建立模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态及进行模型预测的一种有效工具。 2.回归模型的一般形式 如果变量x_1,x_2,…,x_p与随机变量y之间存在着相关关系，通常就意味着每当x_1,x_2,…,x_p取定值后，y便有相应的概率分布与之对应。随机变量y与相关变量x_1,x_2,…,x_p之间的概率模型为 y = f(x_1, x_2,…,x_p) + ε（1） f(x_1, x_2,…,x_p)为变量x_1,x_2,…,x_p的确定性关系，ε为随机误差项。由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 当概率模型（1）式中回归函数为线性函数时，即有 y = beta_0 + beta_1*x_1 + beta_2*x_2 + …+ beta_p*x_p +ε (2) 其中，beta_0，…,beta_p为未知参数，常称它们为回归系数。当变量x个数为1时，为简单线性回归模型，当变量x个数大于1时，为多元线性回归模型。 3.回归建模的过程 在实际问题的回归分析中，模型的建立和分析有几个重要的阶段，以经济模型的建立为例： （1）根据研究的目的设置指标变量 回归分析模型主要是揭示事物间相关变量的数量关系。首先要根据所研究问题的目的设置因变量y，然后再选取与y有关的一些变量作为自变量。通常情况下，我们希望因变量与自变量之间具有因果关系。尤其是在研究某种经济活动或经济现象时，必须根据具体的经济现象的研究目的，利用经济学理论，从定性角度来确定某种经济问题中各因素之间的因果关系。（2）收集、整理统计数据 回归模型的建立是基于回归变量的样本统计数据。当确定好回归模型的变量之后，就要对这些变量收集、整理统计数据。数据的收集是建立经济问题回归模型的重要一环，是一项基础性工作，样本数据的质量如何，对回归模型的水平有至关重要的影响。 （3）确定理论回归模型的数学形式 当收集到所设置的变量的数据之后，就要确定适当的数学形式来描述这些变量之间的关系。绘制变量y_i与x_i（i = 1,2,…,n）的样本散点图是选择数学模型形式的重要手段。一般我们把（x_i,y_i）所对应的点在坐标系上画出来，观察散点图的分布状况。如果n个样本点大致分布在一条直线的周围，可考虑用线性回归模型去拟合这条直线。 （4）模型参数的估计 回归理论模型确定之后，利用收集、整理的样本数据对模型的未知参数给出估计是回归分析的重要内容。未知参数的估计方法最常用的是普通最小二乘法。普通最小二乘法通过最小化模型的残差平方和而得到参数的估计值。即 Min RSS = ∑（y_i – hat(y_i）)^2 = 其中，hat(y_i)为因变量估计值，hat(beta_i)为参数估计值。 （5）模型的检验与修改 当模型的未知参数估计出来后，就初步建立了一个回归模型。建立回归模型的目的是应用它来研究经济问题，但如果直接用这个模型去做预测、控制和分析，是不够慎重的。因为这个模型是否真正揭示了被解释变量与解释变量之间的关系，必须通过对模型的检验才能决定。统计检验通常是对回归方程的显著性检验，以及回归系数的显著性检验，还有拟合优度的检验，随机误差项的序列相关检验，异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等。 如果一个回归模型没有通过某种统计检验，或者通过了统计检验而没有合理的经济意义，就需要对回归模型进行修改。 （6）回归模型的运用 当一个经济问题的回归模型通过了各种统计检验，且具有合理的经济意义时，就可以运用这个模型来进一步研究经济问题。例如，经济变量的因素分析。应用回归模型对经济变量之间的关系作出了度量，从模型的回归系数可发现经济变量的结构性关系，给出相关评价的一些量化依据。 在回归模型的运用中，应将定性分析和定量分析有机结合。这是因为数理统计方法只是从事物的数量表面去研究问题，不涉及事物的规定性。单纯的表面上的数量关系是否反映事物的本质这本质究竟如何必须依靠专门学科的研究才能下定论。 Lasso 在多元线性回归中，当变量x_1,x_2,…,x_3之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性。这种情况下，用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计方差太大，使普通最小二乘的效果变得很不理想。为了解决这一问题，可以采用子集选择、压缩估计或降维法，Lasso即为压缩估计的一种。Lasso可以将一些增加了模型复杂性但与模型无关的 数值分析matlab实现高斯消元法： function[RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b];n=length(b);RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 εβα+=L AK y 其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y ΛΛ 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为 线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）εββ++=x e y 10 （2）εββββ+++++=p p x x x y Λ2210 （3）ε+=bx ae y (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y Λ22110 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。加性误差项模型认为t y 是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了t y 值大的项（近期数据）的作用，强化了t y 值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用加权最小二乘。 第一步：您的风险偏好 风险偏好是影响投资的重要因素之一。不同的人由于多种原因的影响，其风险偏好各不相同。因此，作为一个投资者来说，您是独一无二的。 请认真的完成以下的趣味测试，以确定您的风险偏好类型。 1、您目前所处的年龄阶段： 30岁以下30-39岁40-49岁50-59岁60岁以上 2、您的朋友或同事会以下列哪句话来形容您？ 您是一个喜欢冒险的人 经仔细考虑后，您会愿意承受风险 您是一个小心、谨慎的人 您从来都不愿承担风险 3、什么是您目前投资的主要目的？请在以下五个答案中选择最符合您的一个描述： 希望利用投资以及投资所获得的收益在短期内用于大额的购买计划。 没有具体目标，只想确保资产的安全性，同时希望能够得到固定的收益。 没有具体目标，希望投资能获得一定的增值，同时获得波动适度的年回报。 没有具体目标，更倾向于长期的成长，较少关心短期的回报以及波动。 没有具体目标，只关心长期的高回报，能够接受短期的资产价值波动。 4、假设您参加一项有奖电视智力竞赛节目，并且已经胜出。现在，主持人要求您在以下的获奖方式 中做出选择，您会选择： 立刻拿到10,000现金 有50%机会赢取50,000现金的抽奖 有25%机会赢取100,000现金的抽奖 有5%机会赢取1,000,000现金的抽奖 5、长期来说，如果与股票市场整体的表现相比，您希望您的投资： 与股市保持同步增长 略微超过股市整体的增长 显著超过股市整体的增长 极大的超过股市整体的增长 6、以下哪项描述最符合您对本项投资在未来3年内的表现的态度？ 如果发生亏损，我并不在乎 我能承受一定程度的亏损 我只能承受较小的亏损 我几乎不能承受任何亏损 我需要至少获得一定的收益 7、根据您以往投资的经验，当有相当的资金被分配到高风险的股票或是其他不确定收益的项目中时， 您通常： 非常焦虑有一些焦虑完全放心 风险承担偏好的问卷(整理)： 1。如果你跟朋友赌足球赛，赢了300元，你会： A。赎买日常用品B。买彩票C。存到银行D。买股票 2。你买了200股股票，每股20元，两周后，股票涨到30元，你会决定： A。加码购买该股B。卖掉，获利了结C。卖掉一半，先捞回成本，再保留一半，继续投资（机）。3。当股市大涨时，你会： A。“早知道就多买一些！” B。打电话给你的投资顾问，听听他的意见C。觉得很庆幸没有投资股市，因为它波动太厉害了。 D。毫不关心。 4。你正计划旅行，你可选择事先预订150元/日的房间，或者宁可等旅馆当晚空出房间，但价格可能是100元/日或是300元/日，你会： A。选择固定费率B。问问亲友临时订户的情况C。一方面等待旅馆空房，一方面买度假保险 D。宁可投机，等待旅馆有空房。 5。你的公寓房东目前想要把公寓改装成Condo出售，他让你选择你可以用75000元的价格买下现住的公寓，或现在支付15000元，保留用同样价格购买之权利（目前公寓市价100000元，价格仍持续上扬中），你必须贷款来支付房屋的首期付款，而且所支付的抵押借款分期款及Condo的管理费用比目前房租还贵，你应该： A。买下公寓B。买下公寓，再想办法转手。C。出售权利，然后再承租该公寓。 D。出售权利，然后搬出到外面住，因为你认为有小孩的夫妇购买这样的单元更合适。 6。你在一家快速成长的公司已经工作三年，你身为主管，老板给你权利以10元的价格，购买到最多2000股的普通股，虽然这家公司是未上市的公司，但是老板也曾经顺利地出售过其他三家关系企业，利润也很高，而且将来也有意思将此公司出售，你： A。买越多股票越好，并告诉老板还可以买更多。B。购买2000股 C。购买一半数量的股票D。购买数量很少的股票 7。你第一次到赌城，你会选择： A。25分的老虎机B。5元的轮盘C。1元的老虎机D。25元底的21点。 8。你到一陌生城市，想请某人吃饭，你会如何挑选适合的餐厅： A。从当地报纸了解有关餐厅的报道。B。询问同事 《计算方法》实验内容 一．实验一：用两种不同的顺序计算 644834.110000 1 2 ≈∑=-n n ，分析其误差的变化。 1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。 2.算法描述：累加和s=0； 正序求和： 对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和： 对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型# #include 4.运行结果： 双精度型运行结果： 单精度型运行结果： 5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。 二．实验二： 1、拉格朗日插值 按下列数据 x i -3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 y i 1.0 1.5 2.0 2.0 1.0 作二次插值，并求x 1=-2，x 2 =0，x 3 =2.75时的函数近似值 2牛顿插值 按下列数据 x i 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72 y i 1.0440 3 1.0846 2 1.1180 3 1.1560 3 1.19817 1.23223 作五次插值，并求x 1=0.46，x 2 =0.55，x 3 =0.60时的函数近似值. 1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。 2.算法描述： 3.源程序： 拉格朗日插值： #include 算法分析与设计 学习总结 题目:算法分析与设计学习总结 学院信息科学与工程学院专业2013级计算机应用技术 届次 学生姓名 学号2０１31１0６57 二○一三年一月十五日 算法分析与设计学习总结 本学期通过学习算法分析与设计课程，了解到:算法是一系列解决问题的清晰指令,代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。算法能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂性和时间复杂度来衡量。算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。计算机系统中的操作系统、语言编译系统、数据库管理系统以及各种各样的计算机应用系统中的软件，都必须使用具体的算法来实现。算法设计与分析是计算机科学与技术的一个核心问题。 设计的算法要具有以下的特征才能有效的完成设计要求，算法的特征有：（1）有穷性。算法在执行有限步后必须终止。(2)确定性。算法的每一个步骤必须有确切的定义。(3)输入。一个算法有0个或多个输入,作为算法开始执行前的初始值，或初始状态。(4）输出。一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。 (5)可行性。在有限时间内完成计算过程。 算法设计的整个过程,可以包含对问题需求的说明、数学模型的拟制、算法的详细设计、算法的正确性验证、算法的实现、算法分析、程序测试和文档资料的编制。算法可大致分为基本算法、数据结构的算法、数论与代数算法、计算几何的算法、图论的算法、动态规划以及数值分析、加密算法、排序算法、检索算法和并行算法。 经典的算法主要有: 1、穷举搜索法 穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，bing从中找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。有些问题所列举书来的情况数目会大得惊人，就是用高速计算机运行,其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。我们在用穷举算法解决问题是，应尽可能将明显不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。 2、迭代算法 迭代法是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或方程组)的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法。迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为ｆ(ｘ)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行： （1）选一个方程的近似根，赋给变量x0。 (2)将ｘ0的值保存于变量x1，然后计算g(x1),并将结果存于变量x0。 (3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（２）的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。 3、递推算法 递推算法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。它把问题分成若干步，找出相邻几步的关系,从而达到目的。 4、递归算法 递归算法是一种直接或间接的调用自身的算法。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为ｎ的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模 调查问卷 尊敬的朋友： 您好！ 本问卷是一份用于学术研究的问卷，关心的是投资者情况和投资风险偏好的关系，希望您能够客观真实地填写问卷。本调查完全采用匿名的方式进行，我们保证绝对不会透漏您的任何信息，保证不会对您的生活和工作带来任何不利的影响。本调查的结果仅用于学术研究。 谢谢！ 提示：选择题请您在想要选择的选项前的□里打√，非选择题请您在选项前的上填写。 问卷已全部填写完毕，再次感谢您的参与、配合与支持！ 二、 普通组 您手中现有10万元闲置资金，您将全部将其用于金融理财产品的投资，下面列出的是四种不同风险和收益组合的理财产品，请将您的资金分配情况写在每一选项后的横线上A．好的情况下会赚取0.75%的收益，最差情况下没有损失 B．好的情况下会赚取3%的收益，最差情况下会损失0.5%的本金 C．好的情况下会赚取12%的收益，最差情况下会损失4%的本金 D．好的情况下会赚取24%的收益，最差情况下会损失16%的本金 银行组 您手中现有10万元闲置资金，您将全部将其用于公益性理财产品投资，下面列出的是四种不同风险收益组合的公益型理财产品，请将您的资金分配情况写在每一选项后的横线上A．好的情况下会赚取0.5%的收益，最差情况下没有损失 B．好的情况下会赚取2%的收益，最差情况下会损失0.5%的本金 C．好的情况下会赚取8%的收益，最差情况下会损失4%的本金 D．好的情况下会赚取16%的收益，最差情况下会损失16%的本金 宜信组 您手中现有10万元闲置资金，您将全部将其用于公益性理财产品投资，下面列出的是四种不同风险收益组合的公益型理财产品，请将您的资金分配情况写在每一选项后的横线上A．好的情况下会赚取0.38%的收益，最差情况下没有损失 B．好的情况下会赚取1.5%的收益，最差情况下会损失0.75%的本金 C．好的情况下会赚取12%的收益，最差情况下会损失8%的本金 D．好的情况下会赚取16%的收益，最差情况下会损失16%的本金 一元线性回归 一元线性回归模型的一般形式：εββ++=x y 10 一元线性回归方程为：x y E 10)(ββ+= 当对Y 与X 进行n 次独立观测后,可取得n 对观测值 ,,,2,1),,(n i y x i i =则有i i i x y εββ++=10 回归分析的主要任务是通过n 组样本观测值,,,2,1),,(n i y x i i =对 10,ββ进行估计。一般用∧ ∧ 10,ββ分别表示10,ββ的估计值。 称x y ∧ ∧∧+=10ββ为y 关于x 的一元线性回归方程（简称为回归直线方程），∧ 0β为截距，∧ 1β为经验回归直线的斜率。 引进矩阵的形式： 设 ????????????=n y y y y 21，????????????=n x x x X 11121 ，????? ? ??????=n εεεε 21，??????=10βββ 则一元线性回归模型可表示为：εβ+=X y 其中n I 为n 阶单位阵。 为了得到∧ ∧ 10,ββ更好的性质，我们对ε给出进一步的假设（强假设） 设n εεε,,,21 相互独立，且),,2,1(),,0(~2n i N i =σε，由此可得： n y y y ,,,21 相互独立，且),,2,1(),,(~210n i x N y i =+σββ 程序代码： x=[]; y=[]; plot(x,y,’b*’) 多元线性回归 实际问题中的随机变量Y 通常与多个普通变量)1(,,21>p x x x p 有 关。 对于自变量p x x x ,,21的一组确定值，Y 具有一定的分布，若Y 的数学期望值存在，则它是Y 关于p x x x ,,21的函数。 12(,,,)p x x x μ是p x x x ,,21的线性函数。 212,, ,p b b b σ是与p x x x ,,21无关的未知参数。 逐步回归分析 逐步回归分析的数学模型是指仅包含对因变量Y 有显著影响自变量的多元线性回归方程。为了利于变换求算和上机计算，将对其变量进行重新编号并对原始数据进行标准化处理。 一、变量重新编号 1、新编号数学模型 令k x y αα=，自变量个数为1k -，则其数学模型为： 式中，1,2,3,,n α= （其中n 为样本个数） j x 的偏回归平方和为： k x ：为k x α的算术平均值 j b ：j x 的偏回归系数 jj c ：为逆矩阵1-L 对角线对应元素 2 回归数学模型 新编号的回归数学模型为： 二、标准化数学模型 标准化回归数学模型是指将原始数据进行标准化处理后而建立的回归数学模型，即实质上是每个原始数据减去平均值后再除以离差线性回归模型
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