第6章习题答案
6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是
)3
sin(),(π
ω+
-=kz t E t z E m
若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求：
（1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E
（3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？
（4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω==
=r c
f
k
)m/s (105.1/8?==r p c v ε
)m (12==
k
π
λ )Ω(60120πεμπη=r
r
＝ （2）∵ 62002
10265.02
121-?===
m r
m av E E S εεμη
∴ (V/m)1000.12-?=m E
)V/m (1066.83
sin
)0,0(3-?==π
m E E
（3） 往右移m 15=?=?t v z p
（4） 在O 点左边m 15处
6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是
米伏/1010)
202
(
j 4
20j 4
y
x e e E z z
e
e
πππ----+=
试求： （1）电磁波的传播方向？
（2）电磁波的相速?=p v 波长?=λ频率?=f （3）磁场强度?=H
（4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？
解：（1） 电磁波沿z 方向传播。
（2）自由空间电磁波的相速m/s 1038?==c v p )m (1.02022===
π
π
πλk ∵ πω
20==
c
k
∴ c πω20=
∴ Hz 1031029?===c f π
ω
（3）)A/m )((106521
20j )
2
20(j 7
y z x z z e e
.e e E e H ππ
πη
-+--+?=?=
（4）)W/m (106522)Re(21211*z z av .e e H E S *
-?=?=?=η
E E
6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。
证 ∵ 0j j 0≠-=??-kz e kE Ε，即不满足Maxwell 方程
∴ 不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。
6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国
家标准，人暴露在微波下的限制量为10－
2W/m 2不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8
小时连续照射，不超过3.8×10－
2W/m 2。）
解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为
230
2
W/m 1065.2377
1
-?==
=
ηe av E S 可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。
6-5 在自由空间中，有一波长为12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm ，且此时m /V 41.31=E ，m /A 125.0=H 。求平面波的频率以及无损耗媒质的r ε和r μ。 解：因为r r εμλλ/
0=，所以4/9)8/12(2==r r εμ
又因为r r H E
εμπ120=，所以4443.01202
=??
? ??=H E r r πεμ 1=r μ，25.2=r ε
6-6 若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v 运动，同时一个均匀平面波也沿v 的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。 解：设v 沿z 轴方向，均匀平面波电场为E ，则磁场为 E e H ?=
z 0
1
η
电荷受到的电场力为
E F q e =
其中q 为点电荷电量，受到的磁场力为
E E H e B v
F 000
00εμημμqv v
q v q q z m -=-
=?=?＝
E c
qv -
= 故电荷所受磁场力与电场力比值为
c
v F F e m =
6-7 一个频率为GHz 3=f ，y e 方向极化的均匀平面波在5.2=r ε，损耗角正切值为10
－2
的非磁性媒质中，沿正x e 方向传播。 （1）求波的振幅衰减一半时，传播的距离； （2）求媒质的波阻抗，波的相速和波长；
（3）设在0=x 处的y t e E ??
?
?
?+
?=3106sin 509
ππ，写出),(t x H 的表示式。 解：（1）210tan -==
ωε
σ
ψ，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为
497.01035
.2210321021028
922=????==≈--πμεωεμσ
α
因为2/1=-i
e
α，所以m 40.12
ln ==
α
l
（2）对低损耗媒质，Ω4.2385.2/120/==≈πεμη 相速m/s 1090.15
.21031
88?=?==μεv
波长(cm)32.6(m)0632
.0/===f v λ （3）3.9910
35
.21068
9=???=≈πμεωβ
(A/m)
)3
3.99106sin(21.0)3
106sin(50
),(95.095.0z
x z
x x t e x t e t x e e H π
ππ
βπη
+
-?=+
-?=
--
6-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j 3.01(40~-=r
ε。求： （1）微波传入牛排的穿透深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？
（2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数=r
ε~ )103.0j 1(03.14-?-。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。
解：（1）20.8mm m 0208.01121
1
2
1
2==??
?
?????-??? ??+=
=
-
ωεσμεω
α
δ
%688.20/8/0
===--e e E E z δ
（2）发泡聚苯乙烯的穿透深度
(m)1028.103
.1103.01045.2210321
22
1
3
4
98?=???????=??
? ??==
=
-πμε
ωεσωμεσ
α
δ
可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
6-9 已知海水的1,81S /m 4===r r μεσ，，在其中分别传播MHz 100=f 或
kHz 10=f 的平面电磁波时，试求：????====λβαp v
解：当MHz 1001=f 时，
888.=ωεσ
当kHz 102=f 时，41088?=.ωε
σ
故kHz 102=f 时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式
ωμσβα2
1
≈
≈ 而MHz 1001=f 时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。 （1） 当MHz 1001=f 时
(Nep/m)5.371)(12
2
21=-+=ωε
σμε
ωα (rad/m)0.421)(
12
2
21=++=ωε
σμε
ωβ (m/s)101490811?==
.βω
υp (m)149021
1.==βπ
λ
（2） 当kHz 102=f 时 39702
1
22.=≈
≈ωμσβα ∴ (Nep/m)39702.≈α
(rad/m)39702.≈β
(m/s)1058.1522?==
βω
υp (m)81522
2.==βπ
λ
6-10 证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减54.54dB 。 证：在良导体中，βα≈，故α
π
β
π
λ22=
=
因为 l l
e E e
E E α2π
00--==
所以经过一个波长衰减 54.57(dB))lg(20lg
2020
=-=--πe E E
6-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即
πδ2=d
式中δ是穿透深度。试计算
（1）收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。 （2）电源变压器铁屏蔽罩的厚度。
（3）若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？ （铝：S /m 1072.37?=σ，1=r ε，1=r μ；铁：S/m 107=σ，1=r ε，410=r μ，f ＝465kHz 。）
解： ωμσ
π
πδ2
22==d
（1）铝屏蔽罩厚度为
0.76(mm)
(m)1060710
7231041046522
247
7
3
=?=??????=--.. πππ
d （2）铁屏蔽罩厚度为
(mm)41.1(m)1041.110
10104502223
7
47=?=?????=-- πππ
d （3） m)(741(m)1047110
101041046522
257
4
7
3
μπππ
..=?=??????=-- 铁d
(mm)73(m)1033710
723104502222
7
7=?=?????=--.. πππ
铝d 用铝屏蔽50Hz 的电源变压器需屏蔽层厚73mm ，太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚m 714μ.，故可以选用作屏蔽材料。
6-12 在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的N 股纱包线的高频电阻只有单股线的N
1。
证：设N 股纱包中每小股线的半径为r ，
单股线的半径为R ，则22r N R ππ=，即r N R =
单股线的高频电阻为 δ
πσR R 21
1?=
其中σ为电导率，δ为趋肤深度。 N 股纱包线的高频电阻为 δ
πσrN R N 21
?=
∴
N
rN r N rN R R R N 1
1=
==
6-13 已知群速与相速的关系是
ββ
d dv v v p p g +=
式中β是相移常数，证明下式也成立
λ
λ
d dv v v p p g -=
证：由λ
π
β2=
得λλπ
λπβd d d 2
2)1(2-
==
∴ λ
λλλ
πλπ
d dv v d dv v v p p p p g -=-?+=)2(22
6-14 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式 （1）y x e e E kz kz e E e jE j 1j 1j +=
（2）z kx y kx e H e H e e H j 2j 1--+= （021≠≠H H ） （3）y x e e E kz kz
e E e
E j 0j 0j ---=
（4）)(j 00j y x e e E ?e AE E e kz +=- （A 为常数，π?±≠,0）
（5）)j (
j j z x e e H ky m
ky m
e E e E --+=η
η
（6）y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()sin(),(-+-=ωω
（7）y m x m kz t E kz t E t z e e E )4
cos()4sin(),(π
ωπ
ω--++
-= 解：（1）—z 方向，直线极化。
（2）＋x 方向，直线极化。 （3）＋z 方向，右旋圆极化。 （4）＋z 方向，椭圆极化。 （5）＋y 方向，右旋圆极化。 （6）＋z 方向，左旋圆极化。 （7）＋z 方向，直线极化。
6-15 证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。 证：设沿z 方向传播的直线极化波的电场矢量方向与x e 方向夹角为θ，
则E ＝z
y x e
E βθθj 1)sin (cos -+e e
＝z y x e e e e e E βθ
θθθj j j j j 1)j 22(----++e e
＝z y x z
y x e e e E e
e e E βθθβθθj j j 1j j j 1)j (2
)j (2----++-e e e e ＝左圆右圆＋E E
6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿z 方向传播的圆极化波为
y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()2
cos(),(?ωπ
?ω+-+±
+-=
则坡印廷矢量瞬时值
E e E e E
E E
e E H E S η
η
η
z
z z ?-
?=
??
=?=
()
z
m
z
m m E kz t E kz t E e e η
η
?ωπ?ω2
22
22cos 2cos =
+-+??? ??±+-=
6-17 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：
（1）如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？
（2）如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？
（3）如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解：（1）设
kz y x e e E j j 011
)j (-±=?e e E
kz y x e e E j j 022
)j (-±=?e e E
则 21E E E += kz y x e e e
E j j j 0))(j (21
-+±=??e e 故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。 （2）设 kz y x e e
E j j 011
)j (-+=?e e E kz y x e e
E j j 021
)j (--=?e e E
则 21E E E += kz x e e
E j j 01
2-=?e
故合成波是线极化波。 （3）设 kz y x e e
E j j 1011
)j (-±=?e e E kz y x e e
j j j 2021
)(-±=?e e E E
则 kz y x e e E E j j 2010211
)j )((-±+=+=?e e E E E
故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。
6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场
)j (j 0y x kz e E e e E +=-
垂直入射到0=z 处的理想导体平面。试求：
（1）反射波电场、磁场表达式； （2）合成波电场、磁场表达式；
（3）合成波沿z 方向传播的平均功率流密度。 解：（1） 根据边界条件 0|)(0z =+=r i E E
故反射电场为
z y x r e E βj 0)j (e e E +-=
r z E -e H r ?=
)(1
η)j (j 0
y x z e E e e --
=βη
（2） r i E E E +=())j (sin j 20y x z E e e +-=β
r z i z E -e E e H ?+?=)(1
1ηη)j (cos 20y x z E e e +-=βη
（3） )Re(2
1
*?=H E S av )](j cos 2)j )(sin(j 2Re[21
00y x y x z E z E e e e e +?+-=η
ββ
0=
6-19 当均匀平面波由空气向理想介质（1=r μ，0=σ）垂直入射时，有84％的入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数r ε。
解：因为r
r
R εεηηηη+-=+-=111212
所以1
1
+-=
r r R εε 2
11???
?
??-+=R R r ε
又因为16.0%8412
=-=R ，故4.0=R
44.54.014.012
=??
? ??-+=r ε
6-20 当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，若媒质波阻抗>2η
1η，证明分界面处为电场波腹点；若12ηη<，则分界面处为电场波节点。
证：在分界面处的总电场为)1(000R E E E E i r i +=+=，00/i r E E R =，R 的幅角即为
分界面处入射电场与反射电场的相位差，若相位差为零，则形成电场波腹点，若相位差180o ，则形成电场波节点。
1
21
2ηηηη+-=
R ，对于理想介质，R 为[-1,1]之间的实数。
若>2η1η，则0>R ，R 的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点；
若12ηη<，则0 6-21 均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布如图所示，求：（1）介质墙的r ε；（2）电磁波频率f 。 解：（1）r r R εεηηηη+-=+-= 111212 5 .05 .111= =-+=r R R ερ， 9=r ε （2）因为两相邻波节点距离为半波长， 所以m 422=?=λ (MHz)754 1038=?=f 6-22 若在4=r ε的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为μm 75.0，试求：（1）该介质膜的介电常数及厚度；（2）当波长为μm 42.0的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。 解：（1）312ηηη= 2312==r r r εεε， μm 13.02 475 .042=?== r d ελ （2）d d ef 2322232tan j tan j βηηβηηηη++= j 99.0312tan j 211tan j 22 1 4333 231131 311--= ??? ? ??++-= ++-=+-= λ πλεεεβηηηηηηηηηηr r r ef ef d R 1.02 =R ，即反射功率与入射功率之比为0.1。 6-23 证明在无源区中向k 方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为下列方程 E H k ωε-=? H E k ωμ=? 0=?E k 0=?H k 证：在无源区中向k 方向传播的均匀平面波可表示为 题6-21图 r k E E ?-=j 0e r k H H ?-=j 0e 因为 () ()H k H k H r k H H H r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0 j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第1方程：E H ωεj =?? 可得 E H k ωε-=? 同理可得 H E k ωμ=? 又因为 ()()E k E k E r k E E E r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0 j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第4方程：0=??E 可得 0=?E k 同理可得 0=?H k 6-24 已知平面波的电场强度 []V /m 34)32()4.28.1(j z y z y x e j -+++=e e e E 试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？ 解：（1）z y e e k 4.28.1+-= 传播方向位于yz 平面内，与y 轴夹角 009.1268.14 .2arctan 180=-=θ （2）由于电场分量存在相位差2 3 arctan =?，故为右旋椭圆极化。 （3）因为E ?k =0，所以是横电磁波。 6-25 证明两种介质（021μμμ==）的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成 ) sin() sin(t i t i R θθθθ+--⊥＝ ，)(t i i t sin cos T θθθθ+⊥sin 2＝ ) tan() tan(t i t i R θθθθ+-＝ ∥，)cos()sin(cos t i t i i t T θθθθθθ-+sin 2＝∥ 式中i θ是入射角，t θ是折射角。 证：（1）因为 t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-⊥＝ t i v v θθεεηηsin sin 211221=== 所以 t i i t t i i t R θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-⊥＝ ) sin() sin(-t i t i θθθθ+-＝ （2） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝∥ t t i i t t i i θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-＝ t i t i θθθθsin2sin2sin2sin2+-＝ ))cos(sin() )cos(sin(t i t i t i t i θθθθθθθθ-++-＝ ) (tan )tan(t i t i θθθθ+-＝ （3）因为 ⊥⊥+=R T 1 所以 =⊥T ) sin() sin(1t i t i θθθθ+--+ ) sin(cos sin 2t i i t θθθθ+= （4） )1(1 2 ////R T +=ηη ]))cos(sin())cos(sin(1[s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-++-+＝ ))cos(sin()] ()sin[(s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-+++-? ＝ ) )cos(sin(sin2s sin t i t i i i t in θθθθθθθ-+? ＝ ) )cos(sin(cos 2sin t i t i i t θθθθθθ-+＝ 6-26 当平面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为2/π。 证：布儒斯特角2 2211arccos 1arcsin arctan n n n n B +=+==θ 折射角B i t n n B i θθθθθcos 11 sin sin 2 =+== = 所以布儒斯特角与折射角互余，即2 π θθ= +t B 6-27 当频率GHz 3.0=f 的均匀平面波由媒质14==r r με，斜入射到与自由空间的交界面时，试求 （1）临界角?=c θ （2）当垂直极化波以o 60=i θ入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何？相速 ?=p v （3）当圆极化波以o 60=i θ入射时，反射波是什么极化的？ 解：（1） o 304 1 arcsin ==c θ （2）因为 c i θθ>发生全反射 所以折射波沿分界面传播，形成表面波。 888 21073.1103sin 103?=?=?==i r p M v v θε（m/s ） （3） 因为 c i θθ>发生全反射，反射系数的模1=⊥∥＝R R ，但反射系数的幅角 //δδ≠⊥。将圆极化波分解成相位差π/2的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变， 但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。 6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到4=r ε、1=r μ的介质分界面，如果入射波的电场与入射面的夹角是45o 。试问： （1）当入射角?=i θ时反射波只有垂直极化波。 （2）这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？ 解：（1） 布儒斯特角o 4.63arctan arctan ===r B n εθ 故当o 463.==B i θθ平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。 （2） 6.0|11|sin cos sin cos 222 2222-=+-=-+--==⊥n i i i i n n n n R B i θθθθθθ＝ 垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的 2 1 ，故 %.18602 1 2 1 22 =?= =⊥⊥R P P i r 6-29 证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（1>r μ、1>r ε、0=σ）时，其布儒斯特角应满足下列关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεεμμθ 而对于平行极化波则满足关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεμεεθ 证：（1） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-=⊥ 当B i θθ=时，0=⊥R ∴ t B θηθηcos cos 12= （1） 由折射定律 t B k k θθsin sin 21= （2） 可求出 222)sin 1 (1sin 1cos B r r t t θεμθθ-=-= 代入方程（1）得 B r r B r r in θεμθεμ22s 11cos -= B r r B r r in in θεμθεμ22s 11)s (1-=- ∴ 1)(11s 2 2 --=- -=r r r r r r r r r r B in μεμμεμεμεμθ 1 1 cos 2 2 --= r r r B μεμθ ∴ 1 )(tan 2--= r r r r r B μεεμμθ （2） ∵ t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝∥ ∴ t B θηθηcos cos 21= （3） （2）（3）式联立?? ? ??==t r r B t r r B θεμθθεμθcos cos sin sin 与垂直极化相比较，r μ与r ε互换 ∴ 1 ) (tan 2 --= r r r r r B μεμεεθ 6-30 设0 92=r ε、12=r μ。若入射波的电场强度为 ( ))3(36j z y x z x e e e e E -+=+- 试求：（1）平面波的频率； （2）反射角和折射角； （3）反射波和折射波。 解：（1）入射面为xz 面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即 y z x i e e E ) 3( 6j +-⊥= )3() 3( 6j z x z x i e e e E -=+-|| 已知() z x z x k i i +=+36)cos sin (1θθ得 121=k MHz 28721 11== εμπk f （2） 2 3 sin = i θ r i θθ==o 60 由 2 3 sin sin 12==k k t i θθ可得 18,3.353 1 sin 2o ==?= k t t θθ （3） 420.0sin /cos sin /cos 2 12212-=-+--= ⊥i i i i R θεεθθεεθ 580.0sin /cos cos 22 12=-+= ⊥i i i T θεεθθ 0425.0sin /cos )/(sin /cos )/(2 121221212=-+--= i i i i R θεεθεεθεεθεε|| 638.0sin /cos )/(cos /22 121212=-+= i i i T θεεθεεθεε|| 因此，反射波的电场强度为||r r r E E E +=⊥，其中 y z x r e e E ) 3( 6j 420.0--⊥-= )3(0425.0) 3( 6j z x z x r e e e E --=--|| 折射波的电场强度为||t t t E E E +=⊥，其中 y z x t e e E )3 23 ( 18j 580.0+ -⊥= ) 32 3 (18j )3 23(18j 3132276.1312322638.0z x z x z x z x t e e +-+-??? ? ??-=???? ??-=e e e e E || 6-31 当一个MHz 300=f 的均匀平面波在电子密度1410=N 3/1米并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉的等离子体内传播，试求 （1）该等离子体的张量介电常数?][=r ε （2）如果这个均匀平面波是往z 方向传播的右旋圆极化波，其相速?=p v （3）如果这个波是往z 方向传播的左旋圆极化波，其相速?=p v 解：（1） ???? ??????=31 2 2 1 0j 0j ][εεεεεε－r 1712 3114 219022 10177.310 854.8101.910)106.1(?=?????==---εωm Ne p 8 331 1901079.810510 1.9106.1?=????==---B m e g ω 866.012 221=-+=ω ωωεg p 053.0) (22 22-=-= ωωωωωεg g p 91.0122 3=-=ω ωεp ∴ ?? ?? ? ?????-=91.0000866.0053.0j 0053.0j 866.0][r ε （2） 882 11033.3053.0866.0103?=-?=+=+εεc v p （m/s ） （3） 882 11013.3053 .0866.0103?=+?= -=-εεc v p （m/s ） 6-32 在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆 极化波同时向z 方向传播，一个右旋圆极化 )j (1j 1y x e e E -=-z m e E β 另一个是左旋圆极化 )j (2j 2y x e e E +=-z m e E β 式中12ββ>，试求 （1）0=z 处合成电场的方向和极化形式。 （2）l z =处合成电成的方向和极化形式。 解：（1） x m E e E E 221＝＋＝Ε 合成场指向x e 方向，是线极化波。 （2） 21E E ＋＝Ε ])(j )[(1221j j j j y z z x z z m e e e e E e e ββββ-----++＝ ])(j )[(2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 1 21 21 21 22 1y z z x z z z m e e e e e E e e ββββββββββ------+--++＝ ])2 sin( )2 [cos( 21 21 22 j 2 1y x z m z z e E e e ββββββ-+-+-＝ ∵ 电场两分量相位差等于零 ∴ 合成场是线极化波 ∵ z z z 2)2 cos() 2sin( tan 12121 2ββββββθ-=--= 故当l z =时合成电场与x 轴夹角为l 2 1 2ββθ-= 6-33 设在0≥z 的半空间是电子密度为1410=N 3/1米的等离子体，并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉，在0 向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？ 解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为()21εε+的介质，其中ε1、ε2与6-31题相同，故 %8.94053 .0866.01053.0866.021*********=-+-=+++=+= εεεεηηηT 6-34 我们知道，当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时，将产生极化面连续偏转的法拉第旋转效应。若已知1=r ε及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 平面波在自由空间的相位常数是πβ20=rad/m ，其磁场强度在0=z 处是x e H 02H =。 试问（1）该铁氧体中任一点的?=H （2）在m 2.0=z 处H 与x 轴的夹角?=θ （3）该平面波在铁氧体中的传播速度?=p v 解：（1） H 可分解成正负圆极化波向前传播 z y x e H + -+-=βj 0)j (e e H z y x e H - --+=βj 0)j (e e H 式中 3.02)(2100πμμεβμεββ=+==++r r 3.12)(2100πμμεβμεββ=-==--r r ∴ ）（＋ －＋－＋ －y x z z z e H e e H H H 2 sin 2cos 22 j 0ββββββ-+-=+=+--+ [ ] y x z z z e H e e )86.1sin()86.1cos(23.5j 0+=- （2） o 21.3rad)(372.02.02 ) 3.03.1(22 ==?-= -= πββθl ＋ － （3） c c c v p 18.13 .03.122 2 0=+=+=+== ＋－＋－βββββωβω 6-35 一个频率GHz 3=f 、磁场强度是)j (j 0y x e e H +=-z e H β的平面电磁波，在沿波的传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10002.13.0j 03.0j 2.1][r μ 相对介电常数16=r ε。试求 （1）电磁波在该铁氧体中的相速?=p v 波长?=λ （2）波阻抗?=η电场强度?=E 解：（1）因为H 是一个左旋圆极化波 ∴ ） （＝＝－－m/s 1012.63 .02.1167 0?=+?=c v r p εμβωβω )cm (04.2)m (1004.22=?== -f v p λ （2） )Ω(4.11516 3 .02.100=+==-ηεμηηr H E ??= ωε j 1 ) j (4.115308j 0y x z z e H e e e H -=?=-η 其中)m /rad (30810 04.2222 =?= = -π λ π β 6-36 无界均匀铁氧体由恒定磁场z e B 00B =饱和磁化，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 相对介电常数16=r ε。试问 （1）磁场是z e H y e H βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v （2）电场是z e E y e E βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v 解：传播方向垂直磁化方向，是横向波 （1） 因为H 沿y 方向传播，只有z e 分量 所以是寻常波，故相速为 (m/s)1075.0/ 8?==r p c v ε （2） 因为平面波向y 方向传播，且0≠z E ，所以是非寻常波，故相速为 (m/s)1007.18 .05.08.01682 21 2 221?=-? = -= c c v r p μμμε 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 第四章习题解答 ★【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)y a y ??==；② (,0)0x ?=； ③ 0(,)x b U ?= 根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为 1 (,)sinh()sin()n n n y n x x y A a a ππ?∞ ==∑ 由条件③，有 01 sinh()sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑ 两边同乘以sin()n x a π，并从0到a 对x 积分，得到00 2sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ==? 0 2(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ? =???= ? ， 故得到槽内的电位分布 1,3,5,41(,)s i n h ()s i n ()s i n h ()n U n y n x x y n n b a a a ππ?ππ== ∑ 4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位0U ，下电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化， 板保持零电位，求板间0(0,)y U y d ?=。 解 应用叠加原 理，设板间的电位为 (,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+ 其中，1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即 10(,)x y U y ?=；2(,)x y ?是两个电位为零的平行导体板间有导 体薄片时的电位，其边 界条件为： 22(,0)(,)0x x b ??== ① ② 2(,)0()x y x ?=→∞ ③ 002100(0) (0,)(0,)(0,)() U U y y d b y y y U U y y d y b d b ???? -≤≤??=-=? ?-≤≤??； 根据条件①和②，可设2(,)x y ?的通解为 21 (,)sin()e n x b n n n y x y A b π π?∞ -==∑；由条件③有 00100(0) sin()() n n U U y y d n y b A U U b y y d y b d b π∞=?-≤≤??=??-≤≤??∑ 两边同乘以sin( )n y b π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin()()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ?=0022 121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑ 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 a 题4.1 题 4.2图 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 第四章习题解答 ★【】如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ??==；② (,0)0x ?=； ③ 0(,)x b U ?= 根据条件①和②，电位(,) x y ?的通解应取为 1 (,)sinh()sin()n n n y n x x y A a a ππ?∞ ==∑ 由条件③，有 01 sinh( )sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑ 两边同乘以sin( )n x a π，并从0 到a 对x 积分，得到 002sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ==? 0 2(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ? =???= ? ， 故得到槽内的电位分布 0 1,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x x y n n b a a a ππ?ππ== ∑ 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到d y =， 0(0,)y U y d ?=。 电位线性变化， 解 应用 叠加原理，设板间的电位为 (,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+ 其中，1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）10(,)x y U y b ?=；2(,)x y ?是两个电位为零的平行导的电位，即 体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： 22(,0)(,)0x x b ??== ① ② 2(,)0()x y x ?=→∞ ③ 002100(0) (0,)(0,)(0,)() U U y y d b y y y U U y y d y b d b ???? -≤≤??=-=??-≤≤??； 根据条件①和②，可设 2(,) x y ?的通解为 21 (,)sin()e n x b n n n y x y A b π π?∞ -==∑；由条件③有 00100(0) sin()() n n U U y y d n y b A U U b y y d y b d b π∞=? -≤≤??=??-≤≤??∑ 两边同乘以sin( )n y b π，并从0到b 对y 积分，得到 a 题图 题 图 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通 量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2. 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 2009——2010学年第一学期期末考试 ?电磁场与微波技术?试卷A 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+- ，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 0ε0ε 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之 间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范 与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程 考试试卷参考答案及评分标准 命题教师：李学军 审题教师：米燕 一、判断题（10分）（每题1分） 1. 旋度就是任意方向的环量密度 （ × ） 2. 某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 （ √ ） 3. 点电荷仅仅指直径非常小的带电体 （ × ） 4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于 1 （ √ ） 5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 （ × ） 6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 （ × ） 7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 （ √ ） 8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 （ × ） 9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 （ √ ） 10 趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度 （ × ） 二、选择填空（10分） 1. 已知标量场u 的梯度为G ，则u 沿l 方向的方向导数为（ B ）。 A. G l ? B. 0G l ? C. G l ? 2. 半径为a 导体球，带电量为Q ，球外套有外半径为b ，介电常数为ε的同心介质球壳，壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E 等于（ C ）。 A. 24Q r π B. 2 04Q r πε C. 24Q r πε 3. 一个半径为a 的均匀带电圆柱(无限长)的电荷密度是ρ，则圆柱体内的电场强度E 为 （ C ）。 A. 2 2a E r ρε= B. 202r E a ρε= C. 02r E ρε= 4. 半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，则导体内的磁感应强度B 为（ C ）。 A. 02I r μπ B. 02Ir a μπ C. 022Ir a μπ 5. 已知复数场矢量0x e E =E ，则其瞬时值表述式为( B )。 A. ()0cos y x e E t ω?+ B. ()0cos x x e E t ω?+ C. ()0sin x x e E t ω?+ 6. 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f=108 Hz ，则电磁波的波长为（ C ）。 A. 3 (m) B. 2 (m) C. 1 (m) 7. 在良导体中平面电磁波的电场强度的相位比磁场强度的相位（ A ）。 A. 超前45度 B. 滞后45度 C. 超前0～45度 8. 复数场矢量( ) 0jkz x y E e je e =-+E ，则其极化方式为( A )。 A. 左旋圆极化 B. 右旋圆极化 C. 线极化 9. 理想媒质的群速与相速比总是（ C ）。 A. 比相速大 B. 比相速小 C. 与相速相同 10. 导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn 可简化为（ B ）。 A. Dn=0 B. n s D ρ= C. n D q = 三、简述题（共10分）（每题5分） 1．给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分） 答：若矢量场F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和； （3分） 物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。 （2分） 2．写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物理意义。（5分） 答：全电流定律的积分表达式为： d ()d l S t ??= +??? ? D H l J S 。 （3分） 全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。（2分） 四、一同轴线内导体的半径为a ， 外导体的内半径为b , 内、外导体之间填充两种绝缘材料，a 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 淮 海 工 学 院 10 - 11 学年 第 2 学期 电磁场与电磁波期末试卷(A 闭卷) 答案及评分标准 题号 一 二 三 四 五1 五2 五3 五4 总分 核分人 分值 10 30 10 10 10 10 10 10 100 得分 1.任一矢量A r 的旋度的散度一定等于零。 （√ ） 2.任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度。 （√ ） 3．在两种介质形成的边界上，磁通密度的法向分量是不连续的。 （ × ） 4．恒定电流场是一个无散场。 （√ ） 5．电磁波的波长描述相位随空间的变化特性。 （√ ） 6．在两介质边界上，若不存在自由电荷，电通密度的法向分量总是连续的。（ √） 7．对任意频率的电磁波，海水均可视为良导体。 （× ） 8．全天候雷达使用的是线极化电磁波。 （× ） 9．均匀平面波在导电媒质中传播时，电磁场的振幅将随着传播距离的增加而按指数规律衰减。 （√ ） 10．不仅电流可以产生磁场，变化的电场也可以产生磁场。 （√ ） 二、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．设点电荷位于金属直角劈上方，如图所示，则 镜像电荷和其所在的位置为[ A ]。 A 、-q(-1,2,0);q(-1,-2,0) ;-q(1,-2,0) B 、q(-1,2,0);q(-1,-2,0); q(1,-2,0) C 、q(-1,2,0);-q(-1,-2,0); q(1,-2,0)； D 、-q(-1,2,0);q(-1,-2,0); q(1,-2,0)。 2．用镜像法求解静电场边值问题时，判断镜像电荷设置是否正确的依据是[ C ]。 A 、镜像电荷的位置是否与原电荷对称； B 、镜像电荷是否与原电荷等值异号； C 、待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变； D 、镜像电荷的数量是否等于原电荷的数量。 3．已知真空中均匀平面波的电场强度复矢量为 2π()120 (V/m)j z E z e e π-=x r r 则其磁场强度的复矢量为[ A ] A 、2π=(/)j z y H e e A m -r r ； B 、2π=(/)j z y H e e A m r r ； C 、2π=(/)j z x H e e A m -r r ； D 、2π=-(/)j z y H e e A m -r r 4．空气（介电常数为10εε=）与电介质（介电常数为204εε=）的分界面是0 z =的平面。若已知空气中的电场强度124x z E e e =+r r r ，则电介质中的电场强度应为 [ D ]。 A 、224x z E e e =+r r r ； B 、2216x z E e e =+r r r ； C 、284x z E e e =+r r r ； D 、22x z E e e =+r r r 单选题1(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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