广东技术师范学院天河学院
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第2章点、直线和平面的投影
一、本章重点：
1．点的坐标与投影，重影点；
2．直线在三面投影体系中的投影特性；
3．平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：
1．求线段的实长及其对投影面的倾角；
2．两直线的相对位置；
3．直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：
掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。
四、教学手段
讲授法，演示法教学、习题集作业
五、本章内容：
2．1 投影法的基本知识
2.1.1 投影法概述
在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。
将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。
图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法
1．中心投影法
该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。
2．平行投影法
投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
3. 正投影法的基本特性
⑴实形性
当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。
⑵积聚性
当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。
⑶类似性
当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。
另外，平行投影法还有这样的规律：
（1）平行两直线的投影仍互相平行。
（2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影
（3）点分线段之比，投射后保持不变。
(a) (b) (c)
图2.5 正投影法的基本特性
2.1.2 三视图的形成
根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。
1．三投影面体系
图2.6 三投影面体系图2.7 三视图的形成过程三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。
2．三视图的形成
(a) (b) ( c)
图2.8 三视图的形成
如图2.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图2.8(a)所示。这样便得到物体的三个视图。V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图,如图2.8(b)所示。在画视图时，投影面的边框及投影轴不必画出，三个视图的相对位置不能变动，即俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边，三个视图的配置如图2.8(c)所示,不必标注三个视图的名称。
3．三视图之间的对应关系
三视图之间的对应关系是：
主视图：反映物体的上、下、左、右四个方位，同时反映了其高度、长度；
俯视图：反映物体的左、右、前、后四个方位，同时反映了其长度、宽度；
左视图：反映物体的上、下、前、后四个方位，同时反映了其高度、宽度。
三视图之间的投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。简言之：长对正；高平齐；宽相等。
图2.9 三视图之间的对应关系
2.2 点的投影
2.2.1 点的两面投影图的性质
1. 一点的两面投影连线垂直于投影轴（aa'⊥OX），且aa'到点O的距离反映x坐标。
2. 一点的水平投影到OX轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（Aa'），都反映其y 坐标（aax=Aa'=y）；其正面投影到OX轴的距离（a'ax）等于该点到H面的距离（Aa），都反映其z坐标（a'ax=Aa=z）。
2.2.1 点的三面投影规律
组成物体的基本元素是点、线、面。图2.10（a）所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成。点是最基本的几何元素，下面分析锥顶A点的投影规律。
点的投影规律如下：
⒈点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即a ＇a⊥OX;
⒉点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即a ＇a〃⊥OZ;
⒊点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a〃aZ。
(a) (b) (c)
图2.10 点的三面投影规律
2.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系
如图2.12（a）所示，点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。如果将三个投影面作为坐标面，投影轴作为坐标轴，则点的投影与点的坐标关系如下：
(a) (b)
图2.12 点的三面投影与直角坐标的关系
⒈点到W面的距离为A a〃＝a＇a Z＝aa y＝O a X＝X轴坐标；
⒉点到V面的距离为A a＇＝aa X＝a〃a Z＝O a y＝Y轴坐标；
⒊点到H面的距离为A a＝a＇a X＝a〃a y＝O a Z＝Z轴坐标。
例已知空间点B的坐标为：X＝15，Y＝20，Z＝25（单位为mm,）也可写成B(15,20,25)。求作B点的三面投影。
(a) (b) (c)
图2.13 已知点的坐标作投影图
分析已知空间点的三个坐标，便可作出该点的两个投影，再求作另一投影。
作图⒈在OX轴上向左量取15，得b X，如图2.13（a）；
⒉过b X作OX轴的垂线，在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b＇，如图2.13（b）；
⒊由b、b＇作出b〃，如图2.13（c）。
2.2.3 两点的相对位置
两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
(a) (b)
图2.14 两点的相对位置