流体力学
11.1 流体的基本性质
1)压缩性
流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。与弹性 体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律 v v k
p ?-=?
描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用 马赫数M 来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M 2<<1，可视气体为不可压缩的。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。
2)粘滞性
为了解流动时流体内部的力学性
质，设想如图10.1.1所示的实验。在
两个靠得很近的大平板之间放入流
体，下板固定，在上板面施加一个沿
流体表面切向的力F 。此时上板面下
的流体将受到一个平均剪应力F/A 的作用，式中A 是上板的面积。
实验表明，无论力F 多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。若图10.1.1中的上板以速度u 沿x 方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u （上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体上的切向力F 正比与板的面积和流体上表面的速度u 反比与板间流体的厚度l ，所以F 可写成
l u A F μ=， 因而流体上表面的剪应力可以写成
l u ?μ=τ。 式中l u
是线段ab 绕a 点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成
dl du ?μ=τ， 或 dA dl du dF ?
μ=。
上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数μ称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。μ为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，μ不是常数的流体称为非牛顿流体。
流体的粘滞系数μ是反映流体粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿?秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。
实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的
水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处 理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体 是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。
3）压力与压强
从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体 表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与 容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假 想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流 体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面 ，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意 方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物 理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计 算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面?s 是无限小的，若该 面上的正压力为?F ，则定义该点的压强 s F lim p 0s ??=→? 。
在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa 表示。在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力?F 可写成 d F = -p d s 。由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。
4）流体的密度和比重
在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为 dv dm v m lim
0v =??=ρ→?。
对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积?v ，?v 中包含流体的质量为?m ，因而?v 内流体的重量为?mg ，由定义该流体的比重 g v mg lim 0v ρ=??=γ←? 。
11.2 流体静力学方程
1）静止流体内任一点的压强
静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向
的面元上压强有什么关系。在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC 包围该点，如图10.2.1所示。设面元ABC 法线的方向余弦为α、β、γ，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P 1、P 2、P 3和P 表示，当流体静止
时所受到的合外力为零，即
?????=γ??-?=β??-?=α??-?0S P S P 0
S P S P 0S P S P ABC OAB 3ABC OAC 2ABC COB 1
因为
??????=γ???=β???=α??OAB ABC OAC ABC COB ABC S S S S S S
由上式得到 P = P 1= P 2 = P 3 。
由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。
2）流体静力学方程
处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作
用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds 。另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力ρgdv 、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为
0=+∑∑体面F F 。
与压强类似，我们引入一个体力密度dv d 体F f = ，它
表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f 的大小就是比重ρg ，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －ρa 。为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有
?????=?+??+-?=?+??+-?=?+??+-?∑∑∑0v f s )p p (s p 0v f s )p p (s p 0v f s )p p (s p z xy z z xy z y zx y y zx y x yz x x yz x
整理后得
?????=?+??-=?+??-=?+???-∑∑∑0v f s p 0v f s p 0v f s p z xy z y zx y x yz x
利用 ,v z p z s z p s p ,v y
p y s y p s p ,v x
p x s x p s p z xy z xy z y zx y zx y x yz x yz x ????=??????=???????=?????=???????=??????=???
可将前式简化成 ?????????=??+??-=??+??-
=??+??-∑∑∑0v )f z p (0v )f y
p (0
v )f x p (z z y y x x
显然体积?v ≠0，所以只能是
0f z p ,0f y p ,0f x
p z z y y x x =+??-=+??-=+??-∑∑∑。
在上面的式子中取极限
0z ,0y ,0x →?→?→?，就可得静止流体内
任一点都
必须满足的方程
0f z p ,0f y p ,0f x p z y x =+??-=+??-=+??-∑∑∑。
借助梯度算符
k j i z y x ??+??+??=?， 上式可以改写成更简洁的形式
p ?=∑f 。
这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该
点
处压强的梯度则流体一定处于静止状态。
3）重力场中流体内部压强分布
i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为ρ放置
在一 长方形的容器内，液面的
柱面高为z 0，液体表面的压强为P 0如图10.2.3所示。
在重力场中液体受到的体力密度为－ρg k ，由流体静
力学普遍方程得
g z p ,0y p ,
0x
p ρ-=??=??=??。 由上述方程知液体内部压强与坐标x 、y 无关，只是深度的函数。积分第三
式得 p = -ρgz + c ，
当z=z 0时P=P 0.故c=P 0+ρgz 0，所以液体内部压强随深度变化的关系为
P = ρg(z 0-z) + P 0 = ρgh + P 0 ,
式中h 为液面下的深度。上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的
深度
有关与液体内部水平位置无关。
ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简单起见，
假
定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地
面处
空气的压强为P 0、密度为ρ0，则理想气体的状态方程可表示成
00P P ρ=ρ。 以地面为坐标系原点所在处，z 轴垂直地面向上，由流体静力学方程
dp= -ρgdz,。
将理想气体状态方程代入上式消除ρ得到 gdz p p dp 00ρ-=，
分离变量后 ??ρ-=p p z
000
dz p g p dp ， 完成上面的积分得
z p g p p Ln 000ρ-=。 所以压强随高度的变化
]/gz exp[p p 00ρρ-=] ，
这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。
4）帕斯卡原理
如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内，容器上端与一个可移动的活
塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为P 0时，按照重力场中液体内部压强
公式，在液面下深度为h 处的压强为
P = P 0+ρg h 。
如果把活塞对液体表面的压强增大至P 0+?P 0，液面下h 深处的压强也会变化，
按照液体内部压强公式，此时液体下h 深处的压强变为
000P P gh P P P ?+=ρ+?+='。
这就是说当液体表面压强增加?P 0时液体内任一点(h 是任意)的压强也增大了
?P 0，因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体
内的各个部份包括存放液体的器壁，这一结论称之为帕斯卡原理，是早期由
帕斯卡从实验中总结出来的，从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论。
5）阿基米德定律
任何形状的物体置于密度为
ρ的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大
小等
于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代观点
看，它也是流体静力学方程的推论。
如图10.2.4所示，物体完全浸没在密度为ρ的液体
中。由于物体在液体中处
于平衡状态，因此它受到的浮力与同体积的液体所受
到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体受到的重力是-ρgdv。要使液体保持平衡，周围的液体必然对它有一个向上的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程
p
g?
=
ρ
-k
，
得
dv
dF
dxdydz
dF
dz
dp
g=
=
=
ρ
-
，
或者
gdv
dFρ
-
=
。积分后得F
合
=F2- F1= -ρgv. ，于是得到浮力大小
F浮=F1-F2= ρgv
这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。
例一；在密闭的容器内盛满密度为ρ1的液钵，在液体中浸放一长为L、密度为
ρ2的物体，如图10.2.5所示。设ρ2 <ρ1，则它必定浮于液体表面，当容器以加
速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？
解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体
置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份
保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程
求出液体整体运动时内部压力分布。
由f=?p,
得
重力惯
f
dy
dp
,
dx
dp
f-
=
=
由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中
f惯= －ρ1a
所以液体内部沿x轴压强分布为p=－ρ1ax+c（c为常量），置换液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为?p= ρ1La，相应的压力差为?F=ρ1av(v为置换部份的体积)，在所选择的参照系看来，合外力F'=?F+F
惯
=ρ1av-ρ1av=0，液体相对
静止。对实际物体来说，受到的惯性力为F
惯
= -ρ2av，而物体两端的压力差不变
仍然为?F，因此实际物体受到的合外力F'=?F+F
惯
=ρ1av-ρ2av>0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。
例二；密度为ρ的不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器内，若此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液体表面的形状。
解：以容器为参照系，此时流体内任一流体元都受到
重力与惯性力的作用，
相应的体力密度为ρg k 和-ρa 。由流体静力学方程
j i k a k y x g g p 22ρω+ρω+ρ-=ρ-ρ-=?，
得到 g z p ,y y p ,x x
p 22ρ-=??ρω=??ρω=??。
所以有
,gdz dr 21gdz )y x (d 21gdz ydy xdx dz z
p dy y p dx x p dp 2222222ρ-ρω=ρ-+ρω=ρ-ρω+ρω=??+??+??=
积分后得
c gz r 21p 22+ρ-ρω= 。
如附图10.2.6所示，当r=0时，z=h ，p=p 0(p 0是液体表面的压强) ，所以c = p 0 +ρgh ，
最后求得液体内压强分布
)h z (g r 2p p 202
-ρ-ρω+=。 又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处于静止状态，液体
表面上任一点的合力必然沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满足下式
g r g r tg dr
dz 22ω=ρρω=θ=。 积分后
c g 2r z 2
2+ω= ，
当r=0时z=h ，故c=h 。最后得到液体表面的曲线方程
h g 2r z 2
2+ω=，
由此式知道液体表面为一旋转抛物线。
11.3流体运动学描述
1）流体运动分类
流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。
理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。
例如在稳定流动时，如果流体内某点的速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、ρ、T分别表
示流体内部速度、密度以及温度的分布，则稳定流动时满足
t
T
t
t
=
?
?
=
?
ρ?
=
?
?v
。
反之若流体内任一点的速度不满足
t
=
?
?v
就说流动不是稳定的，例如变速水泵
喷出的水流就是如此。
均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相
同，不随空间位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成
l
v
=
?
?
，其中l
表示沿任意方向求导数。反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。
层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更多的能量损耗。