8.2 消元——解二元一次方程组
代入消元法
分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：课本P例2~P“练习”之前的内容. 9392（2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：认真阅读课本，找出问题中包含的两个条件.
（4）自学参考提纲：
①本题中的两个等量关系分别为：5x=2y和500x+250y=22500000.
②所列的方程组中方程②右边的数为什么不是22.5？答案：22.5t=22500000g.
③解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.答案：可以
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题.
②差异指导：对少数学有困难、学法不当的学生进行点拨引导.
（2）生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助.
4.强化：
（1）列方程组解应用题的一般思路.
（2）列方程时应注意单位的统一.
（3）练习：
①有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设篮球有x支参赛，排球队有y支参赛，由题意，得
x?y?48，①??10x?12y?520.②?由①，得x=48-y.③
y=20.
解得+12y=520.）48-y（10把③代入②，得．
把y=20代入③，得x=28.
x?28，?所以这个方程组的解为?y?20.?答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛.
②张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h，路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设他骑车用了xh，步行用了yh，由题意，得
x?y?1.5，①?由①得x=1.5-y.③?15x?5y?20.②?把③代入②，得15(1.5-y)+5y=20. 解得y=0.25.
把y=0.25代入③，得x=1.25.
x?1.25，?所以这个方程组的解为?y?0.25.?答：他骑车用了1.25h，步行用了0.25h.
三、评价
1.学生的自我评价：各小组汇报本组的学习收效和不足.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由浅入深、循序渐进”的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教师应该引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要注意把握训练尺度.
)
分100满分：分钟12时间：(
一、基础巩固（70分）
1.(30分)把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
317；（1）（2）；2y?1?x?x?2y244（3）5x-3y=x+2y；（4）
2(3y-3)=6x+4.
31（2）y=-17x+87 解：（1）?x??y4245(3) (4) ??x?yxy532.（40分）用代入法解下列方程组：
y?x?3；①3s?t?5，①??（1）（2）??7x?5y?9；②5s?2t?15；②??解：把①代入②，得解：由①，得t=3s-5.③
7x+5(x+3)=9，把③代入②，得5s+2（3s-5）=15.
125解得解得.
??x?.s211125205把代入①，得. 把代入③，解得.
?y??tx??s221111∴方程组的解为∴方程组
的解为
125??s???，，x????112. ??205??t?y?. ????211
????5y?41x?2，①，15?y?4x??（3）（4）????②3；
?2y?3x?23.?3y?2x???解：由①，得解：化简，得
7①4x?5y??，?y=-4x+15.③?②2x?3y??3.??5y?7?x.由①，得③把③代入②得4把③代入②，得
3x-2(-4x+15)=3.
?5y?7解得x=3. 3.?y??2?34把x=3代入③，
解得y=1.
得y=3. 把y=1代入③，得x=-3.
∴方程组的解为∴方程组的解为
x??3，x?3，????y?1.y?3.??二、综合运用（20分）3.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水洞的人数的2倍少1，到两地旅游的人数各是多少？
解：设到花果岭的人数为x人，到云水洞的人数为y人，由题意，得
x?y?200，①??x?2y?1.②?把②代入①，得2y-1+y=200.
解得y=67.
把y=67代入②，得x=133.
x?133，?所以这个方程组的解为?y?67.?答：到花果岭的人数是133人，到云水洞的人数是67人.
三、拓展延伸（10分）
x?1，x?2，??4.小婷知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知
??y??1y?2??x?3，?道是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.
?y?4?x?1，x?2，??解：∵和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，
??y??1y?2??a?b?4?0，a??3，??∴解得??2a?2b?4?0.b?1.??代入二元一次方程
ax+by+4=0，得-3x+y+4=0.
x?3，?将代入-3x+y+4=0，得?y?4?
-3×3+4+4=-1≠0，
x?3，?∴不是方程-3x+y+4=0的解.
?y?4?
用代入法解二元一次方程组 学习目标 ：会运用代入消元法解二元一次方程组． 学习重难点：1、会用代入法解二元一次方程组。 2、灵活运用代入法的技巧． 学习过程： 一、基本概念 1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。 2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做________，简称_____。 3、代入消元法的步骤： 二、自学、合作、探究 1、将方程5x-6y=12变形：若用y 的式子表示x ，则x=______，当y=-2时，x=_______；若用含x 的式子表示y ，则y=______，当x=0时，y=________ 。 2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= ____________。 3、若???-=-=+???-==1by ax 7by ax 2y 1x 是方程组的解，则a=______，b=_______。 4、若方程y=1-x 的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。
5、用代人法解方程组???=+-=7 y 3x 23x y ①②，把____代人____，可以消去未知数______。 6、已知方程组???=-=-1y 7x 45y x 3的解也是方程组? ??==-5by -x 34y 2ax 的解，则a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。 7、已知x=1和x=2都满足关于x 的方程x 2+px+q=0，则p=_____， q=________ 。 8、当k=______时，方程组???=-+=+3y 1k kx 1y 3x 4）（的解中x 与y 的值相等。 9、用代入法解下列方程组: ⑴???=+=5x y 3x ⑵???==+y 3x 2y 32x ⑶? ??=-=+8y 2x 57y x 3 二、训练 1、方程组{1 y 2x 11y -x 2+==的解是（ ）
二元一次方程组练习题100道（卷一） 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x （ ） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ） 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（ ） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（ ） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；
第五章二元一次方程组 2. 求解二元一次方程组（第1课时） 一.学生起点分析 学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组. 学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验. 二.教学任务分析 《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，今天要学习的是第1课时，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组，本节课体现的消元方法是代入消元法.本节课为第1课时，基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想. 教学目标： （1）会用代入消元法解二元一次方程组；
（2）了解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学思想中“化未知为已知”的化归思想. 教学重点： 用代入消元法解二元一次方程组. 教学难点： 在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 三.教学过程设计： 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业. 第一环节：情境引入 教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“驮包裹”问题： 老牛和小马到底各驮了几个包裹呢？这就需要解方程组 ???-=+=② y x ①y x )1(21,2- 由①，得 2-=x y ③ 由于方程组中相同的字母代表同一对象，所以方程②中的y 也等于2-x ，可以用2-x 代替方程②中的y .这样有 )12(21--=+x x ④ 解所得的一元一次方程，得 7=x 再把7=x 带入③，得 5=y 所以二元一次方程组???-=+=② y x ①y x )1(21,2-的解???==57y x ，因此，老牛驮了7个包 裹，小马驮了5个包裹. 目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并且在第一节课的时候学生对“驮包裹”问题印象肯定很深，所以以它来引课能吸引学生的注意力.
消元——二元一次方程组的解法（代入消元法） 学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。 三维目标 知识与技能 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元”过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成 未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归 思想。 情感态度与价值观 :通过研究解决问题的方法，培养学生合作交 流意识和探究精神。 教学重点： 用加减消元法解二元一次方程组。 教学难点： 理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。教学过程 (一）创设情境，激趣导入 在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)， 可以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中问题的数量关系。如果只 设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程
________________________[1]来解。 分析：[1]2x＋(22－x)=40。 观察 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。 （二）新课教学 可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。[3] [3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。 归纳: 上面的解法，是由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]
8.2 消元——解二元一次方程组 代入消元法 分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：课本P 92例2~P 93“练习”之前的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：认真阅读课本，找出问题中包含的两个条件. （4）自学参考提纲： ①本题中的两个等量关系分别为：5x=2y 和500x+250y=22500000. ②所列的方程组中方程②右边的数为什么不是22.5？答案：22.5t=22500000g. ③解这个方程组时，可以先消去x 吗？试试看.答案：可以 2.自学：同学们可结合自学指导进行学习. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和自学中存在的问题. ②差异指导：对少数学有困难、学法不当的学生进行点拨引导. （2）生助生：小组内的学生之间相互交流和帮助. 4.强化： （1）列方程组解应用题的一般思路. （2）列方程时应注意单位的统一. （3）练习： ①有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？ 解：设篮球有x 支参赛，排球队有y 支参赛，由题意，得 481012520.x y x y ?++=? =?，①② 由①，得x=48-y.③ 把③代入②，得10（48-y ）+12y=520.解得y=20.
把y=20代入③，得x=28. 所以这个方程组的解为2820.x y ==??? ， 答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛. ②张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h 后到达县城.他骑车的平均速度为15km/h ，步行的平均速度为5km/h ，路程全长20km ，他骑车与步行各用了多少时间？ 解：设他骑车用了xh ，步行用了yh ，由题意，得 1.515520.x y x y +==?+??，①② 由①得x=1.5-y.③ 把③代入②，得15(1.5-y)+5y=20. 解得y=0.25. 把y=0.25代入③，得x=1.25. 所以这个方程组的解为 1.250.25. x y ==???， 答：他骑车用了1.25h ，步行用了0.25h. 三、评价 1.学生的自我评价：各小组汇报本组的学习收效和不足. 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收效进行点评. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）: 本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由浅入深、循序渐进”的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教师应该引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要注意把握训练尺度 . (时间：12分钟 满分：100分)
二元一次方程组及代入法 一、本讲教学内容及要求 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。 会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。 灵活运用代入法解二元一次方程组。 了解代入法解二元一次方程组的思想方法。 二、本讲的重点、难点和关键： 1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。 2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。 3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。 三、本讲重要数学思想： 1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。 2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。 四、主要数学能力： 1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。 五、化归思想： “解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。 本章中“化归”思想的突出运用有： 1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。 2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。 3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。 六、例题分析 第一阶梯 [例1] 1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的
一、工程问题 1、公式：工作量=工作时间×工作效率 公式变形：工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 一般把总工作量看作单位“1” 2、例题： 例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解：设这批零件有x个，按原计划需y小时完成， 根据题意，得 10y=x+3 x=77（个） 11·（10-1）=x y=8（小时） 答:这批零件有77个,按计划需8 小时完
二、银行存款问题 1、公式：本息和＝利息+本金 利息＝本金×年利率×年数 例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 解：设x为第一种存款的方式，y第二种方式存款，则 x+y=4000 x=1500（元） 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500（元） 解得：第一种存款的金额为1500元，第二种存款的金额为2500元 例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款的利率是13％。求这两种贷款的金额分别是多少？ 解：设这两种贷款的金额分别x万元、y万元 由题意得： x+y=35 x=15（万元） 12%x+13%y=4.4 y=20（万元） 答：这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元