最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y
为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x.+1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0.);>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学
第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1
第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析上机实验最小二乘法 数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最 小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟 合这组数据，并绘出图形。 二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。 二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后： 请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插 值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 结果 save and run 之后： 请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插 值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x 9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展： 1 / 2
实验过程： 一、根据所给数据作出温度随时间变化的散点图。>> x=0:24; >> y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16]; >>stem(x,y,'k*') 点的标记是黑色的*. 这是温度随时间变化的散点图。 二、输入数据，拟合出各类函数的各个系数。（用polyfit
命令来求拟合系数） （1）>> x=0:24; >> y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16]; >> b2=polyfit(x,y,2) b2 = -0.0936 2.5943 8.4157 ---这是拟合出的二次多项式的各项系数。 （2）>> x=0:24; >> y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16]; >> b3=polyfit(x,y,3) >>b3 = -0.0080 0.1931 -0.1022 13.2513 ---这是拟合出的三次多项式的各项系数。 （3）>> x=0:24; >> y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16]; >> b4=polyfit(x,y,4) >>b4 = 0.0009 -0.0521 0.8658 -3.5257 16.6041 ---这是拟合出的四次多项式的各项系数。 （4） function y=f1(x) for i=1:25 y(i)=log(x(i)); end >> y1=f1( x); >> b5=polyfit(x,y1,2) b5 = -0.0045 0.1253 2.3866 >> y_=f1(y);
工程数值分析实验报告 指导老师 班级 学号 姓名
实验一：最小二乘法拟合曲线实验 一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验 实验时间：2015-5-14 实验地点：主楼机房 实验器材： 计算机matlab 二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 三、实验要求： （1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数； （2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式； （3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数和拟合函数的图形； （4）用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。 四、算法描述（实验原理与基础理论） 基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,…,m)绝对值的最大值 ，即误差 向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和 ，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和 的算术平方根，即误差向量r 的2 —范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 来 度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大 小。 五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。 第一组给定数据点如表1所示如下： 表1 数据表 表2 数据表 ),(i i y x i i i y x p r -=)(i i i y x p r -=)(i m i r ≤≤0max T m r r r r ),,(10 =∑ =m i i r 0 ∑=m i i r 2 ∑=m i i r 02 i r
第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0)! k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最
大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1
课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1 、用最小二乘法进行曲线拟合； 2 、近似解析表达式为()t?=a1t+a2t2+a3t3 3 、打印出拟合函数()t?，并打印出()tj y tj的误差 ?与() 4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。 三、目的和意义 1 、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验结果： 1.用最小二乘法做出的曲线拟合为 三次多项式a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。 ()t?= (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3 三次多项式的误差平方和=0.2583。 图形为： 图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。 源代码为： x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]; y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% b1= polyval(a1,x)
r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% （说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot） 2.另外选取几个近似表达式： 主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。 （说明6多项式用绿线表示，9次多项式用蓝线表示，12次多项式用黄线表示）图形为： 讨论： 1.从上面的曲线图形我们可以看出9次多项式的拟合效果最好，所 有点的都在9次多项式的曲线上。
课题八曲线拟合的最小二乘法 、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的 拟合曲线。 、要求 1 、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为t =a i t+a2t2+a3t3 3、打印出拟合函数:t ,并打印出「tj与y tj的误差 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1 、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验结果: 1. 用最小二乘法做出的曲线拟合为 三次多项式q= -0.0052 , a2= 0.2634 ,比二 0.0178。t = (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3 三次多项式的误差平方和=0.2583。 图形为： 图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。 源代码为： x二[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]; y二[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; %三次多项式拟合% a仁 polyfit(x,y,3) b1= polyval(a1,x)
r1= sum((y-b1).八2) %三次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用 *画出 x,y 图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% (说明本程序调用了 MATLAB 中的函数polyfit 、polyval 、plot ) 2?另外选取几个近似表达式： 主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。 (说明6多项式用绿线表示，9次多项式用蓝线表示，12次多项式用黄线表示) 图形为： 讨论： 1.从上面的曲线图形我们可以看出 9次多项式的拟合效果最好，所 有点的都在9 次多项式的曲线上。
数值分析第二次实验报告 姓名：董安葳 学号：5123119 题目：曲线拟合的最小二乘法 实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。 实验过程： 1．实验代码： zuixiaoerchengnihe.m function zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X); G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵G d=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵d for ii=1:n+1 for jj=ii:n+1 for kk=1:a; G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角 end G(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值 end for pp=1:a d(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵d end end jielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量 %将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出 fprintf('f(x)=') for ii=1:n+1 fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)]) if ii~=n+1 fprintf('+') end end fprintf('\n') 2．调用方法和输出结果： P95第十六题：
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
数值分析实验报告 课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。 二、实验要求 t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10-4)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为?( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3； 3、打印出拟合函数?(t)，并打印出?(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图﹡。 三、实验目的 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验原理——最小二乘法拟合 在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,???=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0???==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据 (){} m i y x i i ,,1,0,,???=拟合，若记误差 ()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*???=???=-=，设()()()x x x n ???,,,10???是[] b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ????,,,10???=中找一函数()x S *,使误差平方和 ()[]()()[]2 2 * 2 2 2min ∑∑∑=∈==-=-==m i i i x S m i m i i i i y x S y x S ? δδ， （4.1） 这里 ()()()()()m n x a x a x a x S <111100???+???++=. （4.2） 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定()x S 的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测数据()i i y x ,有关；通常要从问题的运动规律或给定数据描图，确定()i x S 的形式，并通过实际计算选出较好的结果—这点将从下面的例题得到说明。()x S 的一般表达式为（4.2）式表示的线性形式。若()x k ?是k 次多项式，()x S 就是n 次多项式。为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 2 2δ都考虑为加权平方和
“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期
浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程，可能在计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777－1855）也随即参与了这次的计算。最终德国天文学家奥伯斯（Heinrich Olbers）
数学与计算科学学院实验报告 实验项目名称最小二乘多项式拟合 所属课程名称数值计算 实验类型验证型 实验日期 5.8.2012 班级隧道1002班 学号201008020233 姓名李彬彬 成绩
一、实验概述： 【实验目的】通过上机计算，对曲线的最小二乘法的拟合有进一步的掌握，并且能够熟练的运用这种方法。 【实验原理】在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据 ，求出自变量x与因变量y的函数关系， 这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通 过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即 (4.4.1) 这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中 这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法. (4.4.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 (4.4.3) 根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号 (4.4.4) 则(4.4.3)可改写为
这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为 (4.4.5) (4.4.5)称为法方程.当线性无关，且在点集 上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(4.4.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(4.4.5)的解为 从而得到最小二乘拟合曲线 (4.4.6) 可以证明对，有 故(4.4.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 (4.4.7) 均方误差为 在最小二乘逼近中，若取，则，表示为(4.4.8) 【实验环境】 Microsoft visual c++
《数值分析》实验报告课题八：曲线拟合的最小二乘法 姓名: 学号： 专业： 学院：
一、实验课题:曲线拟合的最小二乘法 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 二、理论意义和实用价值。 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值y i ,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误 地通过所有的点(x i ,y i ),就会使曲线保留着一些测试误差。当个别数据的误差较 大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。 所以我们设想:在大量的随机数据X（X 1、X 2 、X 3…… X n) 与Y(y 1、 y 2、…… y n), 从看 似无规律的这两组离散数据中，找到一条一条曲线Y=F(x),使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是曲线拟合最小二乘法。在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。 曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。此外，由于实验或观测提供的数据个数往往很多，如果用插值法，势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很麻烦，缺乏实用价值，所以从某些意义上来说,在解决实际问题的过程中，曲线拟合更具有实用价值。三、计算过程 将给定数据作散点图，始图所示，选择形如S 1(X)=a 1 (x)+a 2 (x2)+a 3 (x3)作为拟
实验报告：函数逼近&插值多项式补充 问题1：对于给函数2 1()1+25f x x = ，取点21 cos 22k k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2 1 ()1+25f x x = 在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试求3 次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关内容。 实验内容： （1）问题1： 这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当n=10时，代码为： clear all clc k=0:10; n=length(k); x1=cos((2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1.^2); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i);
数据拟合的最小二乘方法的实现 班级学号姓名榴莲 一、实验任务 给定离散样本点，采用最小二乘方法拟合样本数据，涉及的线性方程组请用高斯列主元消去法求解。 求函数f(x)=cosπx,x∈[0,1]的一次和二次最佳平方逼近多项式。 二、编程环境 Windows7，Codeblock. 三、算法步骤 1，采用目标函数对多项式系数求偏导，得到最优值条件，组成一个方程组； 2，方程组的解法采用行列式变换（两次变换：普通行列式——三角行列式——对角行列式——求解），行列式的求解算法上优化过一次了，目前还没有更好的思路再优化运算方法，限幅和精度准备再修改修改。 四、程序流程图 数据结构：
五、程序 #include
一实验名称：实验五最小二乘拟合法 二.实验题目：在某化学反应中，测得某物质的浓度y(单位：%)随时间t(单位：min)的变化数据如表。 理论上已知y和t的关系为 Y=ae b/t, 其中a>0和b<0为待定系数，上式两端取对数lny=lna+b/t.做变量替换z=lny,x=1/t,并记A=lna,B=b,则有z=A+Bx. 根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法确定A和B，进而给出y和t的关系。 三.实验目的： （1）要求我们掌握逐次最小二乘拟合法的原理和运用方法。 （2）培养编程和上机调试能力。
四.基础理论：要求会熟练运用C语言中的基本数学函数和逐次超松弛迭代法的具体操作思路。 五.实验环境：必须要有一台PC机，并且装有winXP，win7及以上版本的操作系统，还必须有Visual C++6.0或其他编程软件。 六实验过程： 理解题意，然后试着在草稿纸上写出伪代码，接着再用C语言编译，接着要在编程环境中调试。在实验过程中，经常遇到一些棘手的问题，需要通过百度才能够解决，最后还是很艰难的把代码都做好，最后写成实验报告。 七．实验完整代码： #include
x[i]=1/tx,y[i]=log(ty); } for(i=0;i<15;i++) { sum_x=sum_x+x[i]; sum_x2=sum_x2+x[i]*x[i]; sum_y=sum_y+y[i]; sum_xy=sum_xy+x[i]*y[i]; } D=sum_x2*15-sum_x*sum_x; a=(n*sum_xy-sum_x*sum_y)/D; b=(sum_x2*sum_y-sum_x*sum_xy)/D; A=log(a);B=b; printf("A=%.6f B= %.6f\n"); } 八实验结果：
东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 基于最小二乘原理的曲线拟合 及求解超定方程组 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5143125 姓名金易 指导教师李明维张建波 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2017年01月06日
1 绪论 1.1 最小二乘原理的由来 德国数学家高斯在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次提出最小二乘原理． 由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的．为了提高成果的质量，处理好测量中存在的误差问题，必须进行多余的观测，导致观测值的个数往往多余确定未知量所必须的观测值的个数．有了多余的观测，势必在观测结果之间产生矛盾，最小二乘法产生的目的就在于消除这些矛盾而求得观测值的最可靠结果并评定测量成果的精度． 1.2 最小二乘原理 最小二乘法是一种数字优化技术． 从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式．测量值与经验公式之间存在偏差，要求偏差越小越好，但由于偏差的可正可负，考虑用偏差的绝对值之和来计算总偏，又因为绝对值不易运算，因此用平方和来代替计算．问题归结为确定经验公式中的常数，使得残差平方和T ??最小． 最小二乘法常用于对回归模型进行参数估计，系统辨识与预测． 1.3 本文的研究内容 本文讨论用最小二乘法进行曲线拟合和超定方程组的求解．对于一般的最小二乘曲线拟合和超定方程组的求解，matlab 中有内设函数，如polyfit 和/运算符．本文在理论上分析最小二乘拟合函数及超定方程解的存在唯一性；实践中给出自设的函数用于拟合和求解，并应用于拟合阶数在一定的范围内不确定的情况和分段拟合． 2 曲线拟合的最小二乘法 2.1 最小二乘拟合函数的存在唯一 2.1.1 Harr 条件 定义 设01(),(),()[,]n x x x C a b ???∈…的任意线性组合在点集 {0,1,,}()i x i m m n =≥ ，上至多只有n 个不同的零点，则称01(),(),()n x x x ???…在点集