直角三角形的边角关系三角函数的概念

直角三角形的边角关系三角函数的概念

同步教学

主讲人：黄冈中学高级教师梁荷映

一、周知识概述

1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一

问题

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比. 所以规定

显然，梯子的倾斜程度与tanA 的值的大小有关，当0°

，梯子越陡.

2、相应地规定正弦：

3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与

两锐角大小有关.

当∠A=30°时当∠A=45°时当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下：

三角函数

sin αcosαtan α

角α的度数

30°

45° 1

60°

4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余切，即

5、在Rt△ABC 中，由锐角A（0°

可得出即sin 2A＋cos 2A=1.

6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：

（b≠0），而sin90 °=1, cos90 °=0, tan90 °不存在.

二、本周重难点

1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大

小.

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.

三、本周重难点知识讲解：

例1、在Rt△ABC 中∠C=90°，AB=6，BC=2.求

（1）sinA, cosA, tanA 的值；

（2）sinA 与cosB 是否相等？sinB 与cosA 是否相等？为什么，

tanA 与sinA ，cosA 又有什么关系，为什么？

（3）sin 2A 与cos2A 有什么关系？为什么？

解：∵BC=2，AB=6，.

（1）

同理：

（2）

又∵∠B=90°－∠A，即sinA=cos(90 °－A) ①

∴sinB=cosA 而∠A=90°－∠B

∴sinB=cos(90 °－B) ②

（3）

且sin 2A＋cos2A=

综上所述，除了掌握从0°～90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关系，可分为：

（1）互余关系：sinA=cos(90 °－A)，cosA=sin(90 °－A)

（2）平方关系：sin 2A＋cos2 A=1

（3）商数关系：可作为公式使用.

例2、在Rt△ABC 中，∠C=90°，若求tanB 的值.

解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.

解法一：定义法：在Rt△ABC 中，∠C=90°，且

∴设BC=3a，∴AB=5a，

解法二：∵sinA=cos(90 °－A)=cosB，.

又∵sin 2B＋cos2B=1，且sinB>0,

例3、求下列各式的值.

（1）

（2）(1 ＋sin40 °)(1 －cos50°)－tan60°·tan30°－cos 240°（3）已知

解析：∵sin90 °=1（规定），且cos245°＋sin 2 45°=1.

解：（1）

（2）利用互余关系cos α=sin(90 °－α) ，即cos50°=sin(90 °－50°)=sin40 ° ,

∴原式=（1＋sin40 °）（1－sin40 °）－

=1－sin 240°－1－cos240°=－(sin 2 40°＋cos240°)=－1

（3）将所求式子转化为有tan α的式子，即可代值，∴利用商数关系.

例4、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC 的值.

解析：∵△ABC 不是Rt△，但∠A=120°是一个特殊角，一般情况下，不去破坏它，即不要从点 A 向BC边引垂线，而要利用∠A的补角60°去解决问题.

解：过C、B 分别作CD⊥BA，BE⊥CA，交BA、CA的延长线于D，E，

∵∠BAC=12°0，∴∠CAD∠= BAE=60°，∴在Rt△ADC中，∠ACD=3°0，

∴.

.

例5、若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h 的范围是多少解析：将实际问题转化为解Rt△，画出图形

解：如图，由题意∠B=37°，BC=10m，∠ACB=9°0，

又∵30°<37°<45°, ∴tan30°

即（单位：m）.S

任意角的三角函数一

. 1.2.1 任意角的三角函数（一）2015.12 【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 特别地，r =1时，sin= ___ ,cos= ___ ,tan= _____ （）. 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 角 0 90180270360 弧度数 sin cos tan

【课堂案】 例1、已知角的终边经过点P(-3,4),求角的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角的终边经过点P(12,-5),求角的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角的终边经过点P(6m,-8m)，其中m0，求角的三角函数值. 强化3：已知角的终边在直线y = 3x上，求角的三角函数值。 例 2.确定下列三角函数值的符号. (1) cos 250(2)sin(- ) (3) tan(-672) (4)tan3 强化：1.若角的终边过点(-3，-2)则( ) A.sin tan0 B. cos tan0 C.sin cos0 D.sin cos0 强化：2. 若sin0,tan0则是第象限角? 反之成立吗?

强化：3.设是三角形的一个内角，则sin,cos, tan, tan中，哪些可以取负值？

强化2、 2cos +tan(- 7 )+cos 2 13 +sin 3 2 4 6 2 巩固案】 1、角 的终边上有一点P （a ,a ） ， a 0，则sin 的值是（ ） 2、已知角 的终边经过点 p （—1, 3 ）,则sin + cos 的值是（ ） 已知角 的终边上一点P （- 3,m ），且sin = 2m ，求cos 的值. 5、若cos 0,tan 0则在( ) 6、若sin cos 0 ，则 在（ ） A. 第一、四象限 B. 第一、三象限 7、下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （3）若sin 0则 是第一、二象限的角 （2）终边不同的角的同名三角函数的值不等 4）若 是第二象限的角,且 p （x,y ）是其终边 A.第一象限 B.第一、二象限 C.第三象限 D. 第四象限 上一点，则 cos = -x 例 3、求值： (1) sin1485 (2)cos 9 强化 1、(1)cos1140 (2)tan 19 (3)sin(-1050) (4)tan(-31) 3、 已知角的终边经过点 P （ x ,1）,且 cos = 25 5 则x 的值是（ 4、 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数(高一数学)

第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数 一、知识清单 1.角的概念： ①正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角. ②象限角：（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的 半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.） ③非象限角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为 . ④讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子 （Z k ∈），表示，写成集合呢？ ⑤讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？ 注意：终边相同的角 相等；但相等的角，终边 相同；终边相同的角有 个，它 们 。 2. 弧度的意义： ①定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 . 用 表示，读作 . ②讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数= ？ ③规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α 所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝ l r . 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. ④由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？ 。 ⑤=0 180 rad? =0 360 rad? 0 1= 弧度？1弧度= 度？ 3. 任意角的三角函数的定义： ① 讨论：锐角α的终边交单位圆于点),(y x P 的坐标与α三角函数有何关系？ 定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点),(y x P , 则 . ② 思考：已知角终边上任一点),(y x P ，如何求它的三角函数值呢?结论：先求22r x y =+；再按公式 . ③ 例：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值. ④ 讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？ 结论(诱导公式一）： ，其中k Z ∈． 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题. ⑤ 讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？特殊角的三角函数值？ 4. 三角函数线概念：正弦线、余弦线、正切线

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上

三角角的概念及任意角的三角函数

三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?<

高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版知识精讲

高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 三角函数——角的概念的推广和弧度制 二. 教学目标： 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 三. 知识要点： 1. 角α和β终边相同：)Z k (360k ∈??+=αβ 角度制与弧度制的互化：π=?180 180 1π = ? 1弧度?≈? = 3.57180π 4. 弧长公式：r l ||α= （α是圆心角的弧度数） 5. 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α== 【典型例题】 例1. 已知角?=45α； （1）在区间]0,720[??-内找出所有与角α有相同终边的角β； （2）集合??????∈?+??==Z k ,451802k x |x M ，? ?? ???∈?+??==Z k ,451804k x |x N

那么两集合的关系是什么？ 分析：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。 解：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈??+?， 则令?≤??+?≤?-036045720k ， 得 ?-≤??≤?-45360765k 解得 360 45 360765-≤≤- k 从而2-=k 或1-=k 代回?-=675β或?-=315β （2）因为{}Z k k x x M ∈??+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈??+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：N M ? 例2. 若角α是第二象限角，则 （1）角 2 α 是哪个象限角？ （2）角α2是哪个象限角？ 分析：?+??<

必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

任意角的三角函数一

【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 y o x y o x y o x

【课堂案】 例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O

（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解

高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数 习题及详解 一、选择题 1．(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 [答案] C [解析] ∵sin α<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上， ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角， ∴α为第三象限角． 2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? [答案] C [解析] 函数y ＝sin x 与y ＝tan x 图象的交点坐标为(k π，0)，k ∈Z . 3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ????sin 2π3，cos 2π 3，则角α的最小正值为( ) A.5 6π B.116π C.2 3π D.53 π [答案] B [解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32 ， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2 ， ∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π 6，故选B. 4．(2010·山东师大附中模拟)cos ????－52 3π＝( ) A ．－1 2 B ．－ 32

C.12 D. 32 [答案] A [解析] cos ????－52π3＝cos 52π 3＝cos ????17π＋π3 ＝－cos π3＝－1 2 . 5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.3 5 B ．－35 C.45 D ．－45 [答案] B [解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ， ∴sin α＝3a r ＝－3 5 ，故选B. 6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 ＝( ) A ．0 B.22 C ．－1 D ．1 [答案] D [解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π 2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1. 7．(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－1 2 B ．－32 C.12 D.32 [答案] A [解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π 3， ∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2 ，故选A. 8．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 1 2cos25°，则它们的 大小关系为( ) A ．a

学生版高中数学技能特训：31 角的概念的推广与任意角的三角函数

3-1角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2012·潍坊模拟)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4 5，则m 等于( ) A ．－114 B.11 4 C ．－4 D ．4 (理)(2012·济南一模)已知α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) 2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 4．(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos α tan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角 5．已知cos θ＝1 2，角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．7 D.7 5 6．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2＝( ) A ．0 B. 2 2 C ．－1 D ．1 7．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为________． 8．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 9．(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12 )的值为________． 10．(2011·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

§1.1.1角的概念的推广(三角函数第1课时)

§1.1.1角的概念的推广 (三角函数第1课时) 课型：新授课 主备人：董胜兵 审核人：项治斌 打印时间：2014.11.11 三维目标 1.理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 2.会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． 3.提高学生的推理能力；培养学生应用意识． 重点难点 重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系. 学法指导 通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法. 知识链接 回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备. 学习过程 探究1：任意角的概念 1.初中时，我们已学习了0360??~角的概念，它是如何定义的呢？ (1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形. (2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的 ，OB 叫做角的 ，射线的端点O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么? 2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 探究2：象限角 在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外） 在第几象限，我们就说这个角是________________.如30?角、210?-角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________. 探究3：终边相同的角 将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系? 一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合______________________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 典型例题 A 例1.在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象限角. （注：0360??－是指0360β??≤<） B 例2.写出终边在y 轴上的角的集合.

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义 变式2：求下列函数的定义域： （1）y=；（2）y= . 解析：（1） 有意义 {x︱2k或，}. ?{x︱2k，或，}. （2） 有意义 类型三三角函数的符号问题： 例3、确定下列式子的符号： （ ）；（2）；（3）；（4）；（5）（6） . 解析：（6）∵，，， 3为第二象限角，4为第三象限角，5、6为第四象限角，故可判断原式的符号. 变式3：（1）已知<0且，则是第几象限角？ （2）已知θ是第三象限的角，判断的符号. 解析：略. 三、课堂练习： 1、已知，，则为（） A、第一象限的角； B、第二象限角； C、第三象限角； D、第四象限角. 2、已知的终边过点P（4，3），则下列各式中正确的是（） A、=； B、=； C、=； D、=. 3、已知角的终边经过点P（3k-9，k+2），且，，则k的取值范围是 解析：由，，得角为第二象限或y轴的正半轴上， 从而-2.

4、函数y=的定义域为︱，， y=的定义域为︱， . 5、求证: 1. 证明：在的终边上取一点P（-1,0），得x=-1，y=0，r=1，∴==-1. 6、已知角的终边经过点P（m-n，2）（n>m>0），问是第几象限的角，并求的六个三角函数值. 解析：∵n>m>0，m-n<0，2， ∴角为第二象限角，r==m+n， ∴=；=；=；=； =；=. 四、课外练习： 1、选择题： （1）已知点P（3，y）在角的终边上，且满足y<0，=，则的值为（） A、； B、； C、； D、. 2、已知角的终边经过点P（-1,0），则不存在的是（） A、； B、； C、； D、. 3、已知且<0，则在（） A、第二象限； B、第三象限； C、第四象限； D、第三、四象限. 4、设为第二象限的角，且︱︱，则是（） A、第一象限角； B、第二象限； C、第三象限； D、第四象限. 5、若>0，且<0，则角θ的终边所在象限是（） A、第一象限角； B、第二象限； C、第三象限； D、第四象限. 6、已知0，那么角θ在（） A、第一或第二象限； B、第二或第三象限；

(精心整理)任意角的三角函数一

目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6 、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8 y o x y o x y o x

例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？ 例3、求值：

高中数学任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

高三数学三角函数练习题--角的概念的推广

数学：三角函数练习题--角的概念的推广 一、选择题： 1.下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2.终边落在X 轴上的角的集合是（ ） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 3.若α是第四象限角，则180°-α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 4．下列命题是真命题的是（ ） Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同 D.{ α|α=k ·360°+·90°,k ∈Z }={ β|β=k ·180°+90°,k ∈z } 5.若α是第二象限的角，则2α不可能在（ ） Α.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 二、填空题： 6．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 7．写出-720°到720°之间与-1080°终边相同的角的集合___________________． 8.与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 9.若角α的终边经过点Α(-1,则角α=_____,其中最大的负角为____________． 10.若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是__________________． 三、解答题： 11.已知α是第二象限角，则2a 是第几象限的角？ 12.设集合Α={x|k ·360°+60°< x

任意角的三角函数(一)解读

任意角的三角函数(一) ------陈少漫 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密， 这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数（一） 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,