第三章 模糊逻辑
3.1 模糊逻辑代数的基本知识
一、布尔代数和德·摩尔根代数
逻辑代数是布尔（G .Boole ）为把逻辑思维数学化而创立的一门学科，因此逻辑代数也叫布尔代数。
定义3.1.1 一个集合L ，如果在其中定义了两种运算∨和∧，具有下列性质： （P1）幂等律 对任意α∈L ，有
α∨α=α α∧α=α （P2）交换律
对任意α，β∈L 有
α∨β=β∨α α∧β=β∧α
（P3）结合律
对任意α，β，γ∈L 有
()=()αβγαβγ∨∨∨∨ ()=()αβγαβγ∧∧∧∧
（P4）吸收律
()αβββ∨∧= ()αβββ∧∨=
则称L 是一个格，记作L = (,,)L ∨∧。
记普通关系≤为L 中的偏序，它定义为
αβαββ≤?∨=
(3.1)
设A L ?，对任意A α∈，若存在L β∈，使αβ≤，则称β为A 的上界。如果0β是A 的上界中最小的一个上界，则称0β为A 的上确界，记为
}{0sup |A βαα=∈ 或 0A
α
βα∈=
∨ (3.2)
若存在L γ∈，使γα≤，则称γ为A 的下界。如果0γ是A 的下界中最大的一个下界，则称0γ为A 的下确界，记为
{}0inf |A γαα=∈ 或
0A
α
γα∈=
∧ (3.3)
关于两个元素α和β的上确界记为α∨β，下确界记为α∧β。
定义3.1.2
设(,,)L ∨∧是一个格，如果它还满足如下性质：
(P5)
分配律
()()()αβγαγβγ∨∧=∧∨∧
()()()αβγαγβγ∧∨=∨∧∨
则称(,,)L ∨∧是一个分配格。
定义3.1.3
设(,,)L ∨∧是分配格，在L 中存在两个元素，记为0和1，以及存在运算c
，
对L α?∈，满足：
(P1) 么元律
11α∨= 1αα∧= 0αα∨= 00α∧=
分别称0、1为最小、最大元。 (P2) 复原律
()c c αα=
(P3) 补余律
1c αα∨=
0c αα∧=
则称(,,,)c
L ∨∧是一个布尔代数。
({0,1},,,)c ∨∧是一个布尔代数。此处{}0,1L =是二值，称为二值布尔代数，且
()max ,αβαβ∨=，()min ,αβαβ∧=，1c αα=? (3.4)
定义3.1.4
设(,,)L ∨∧是分配格，有最小元素0和最大元素1。对L α?∈，若存在运
算c
使满足：
(P1) 复原律
()c c αα=
(P2) 德.摩尔根（De-Morgan ）律
()c c c A B A B ∨=∧
()c c c A B A B ∧=∨
则称(,,,)c
L ∨∧为德·摩尔根代数，或称为软代数。
布尔代数和德.摩尔根代数的区别在于前者满足补余律，而后者不满足补余律。
([0,1],,,)c ∨∧是一个De-Morgan 代数，但并非布尔代数，∨，∧，c 仍按(3.4)定义。此时，
补余律不再成立，例如
()0.80.80.81c
∨=≠
()0.80.80.20c
∧=≠
集合论和数理逻辑在某些方面是等价的。设()A P 是普通集合A 的幂，U 、I 、c
分别是集合的并、交、补运算。()A P 的特征函数构成{}0,1，故（()A P ，U ，I ，c
）是布尔代数。
人们若要研制一种带有目的性的自动机器时，必须考虑到人类思维的逻辑特性和规律，并要将其加以形式化，以便为机器所能够接受。二值逻辑中一个命题只能取“1”（真）和“0”（假），这对于机器模拟人的思维是不够的。因为客观事物并非是绝对化的，在真、假之间还有很多过渡中介状态，这就是所谓的模糊性。设 F ()x 表示论域X 上模糊集合的全体，U ，I ，c
分
别是模糊集合的并、交、补运算。F ()x 的隶属度构成[]0,1，故（ F ()x ，U ，I ，c
）
是De-Morgan 代数，但不是布尔代数。由于De-Morgan 代数抛弃了补余律，它反映了事物的中介属性。
二、模糊逻辑公式
令12,,...,n x x x 是一组取值于[]0,1区间的变量。我们用符号i x ，+，?，?
来构成模糊逻辑系
统，+，?，?
称为逻辑运算。
“+”表示取最大值，“?”表示取最小值，“?
”表示“用1减去”。“?”通常可省略不写。
定义3.1.5 模糊逻辑公式是指如下映射： :[0,1][0,1]n
F →
(3.5)
它的表达式仅由i x (1,2,,i n =L )，+，?，?
以及括号所组成。简称为f ?公式。 f ?公式应满足：
1o 0是f ?公式； 2o 1是f ?公式；
3o 模糊变量i x 是f ?公式；
4o 若F 是f ?公式，则F 也是一个f ?公式；
5o 若F 、G 是f ?公式，则F +G ，F ?G 也是f ?公式； 6o f ?公式仅限于1o ~5o 给出的那些。
例如，1，F ，F ，F +G ，F +F G ?都是f ?公式，但F ++G ，F +?G 等都不是f ?
公式。
f ?公式是布尔代数的一种推广，它满足除补余律F +F =1，F ?F =0以外的全部布尔代
数公理的要求。因此，模糊逻辑的代数模型是De-Morgan 代数。
给定各i x 以具体数值（简称变量赋值），任一F ∈F （全体f ?公式的集合）都有定值()T F 。
()T F 称为F 的真值，T 称为真值函数；
:T F []0,1→
(3.6)
()T F 具有如下性质：
（P1） ()1();T F T F =?
（P2） ()max((),());T F G T F T G += （P3） ()min((),()).T F G T F T G ?=
在研究模糊逻辑公式时，我们常利用真值表，表中列出了该逻辑式所含诸变元的全体取值组以及逻辑式的相应值。对于模糊逻辑公式来说，由于每一变量可取的值有无穷多种，这样的真值表将无法做出，但是我们仍然可以用表格的形式来描述模糊逻辑公式的特征。不过这种表与传统的真值表不同，在这种表中我们对模糊变量i x 以及其否定i x 的大小次序的所有可能都加以讨论。
[例3.1.1]
对于含单变量x 的模糊逻辑公式，我们应对x x ≥和x x ≤两种情况加以讨
论。令F x x =+，设x 取值()T x ，则()T F 的计算结果如表3.1.1所示。表中()1()T x T x =?。 表3.1.1
[例3.1.2] 当模糊逻辑公式含有两个变量x 和y ，我们应分以下8种情况来考虑
x y y x
x y y x x y y x x y y x
y x x y y x x y y x x y y x x y
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
设F =()x y +()x y ?+ ，x 取值()T x ，y 取值()T y ，则()T F 如表 3.1.2所示。表中
()1()T x T x =?，(1()T y T y =?。
当模糊逻辑公式含有3个以上的模糊变量时，可按类似的方法计算()T F 。
表3.1.2
3.2 模糊逻辑函数的分解和合成
我们把模糊逻辑公式表达的函数()1,,n F x x L 叫做模糊逻辑函数，
把变量i x 及其否定i x 叫做单字。一个单字以i L 表示。若干个单字的逻辑和()1P L L ++L 叫做字句，记为c 。若干个单字的逻辑积()1P L L ??L 叫做字组，记为?。
二值布尔逻辑代数可以用二值逻辑网络来实现。同样的，模糊逻辑函数也可以用模糊逻辑网络来实现。在处理模糊逻辑函数时，没有二值逻辑函数中“0－1”那样的明确的决定构造。为了解决这个问题，可以在[]0,1闭区间把模糊逻辑函数划分为有限个等级，而采用多值逻辑方
法来处理模糊逻辑问题。
设把[0,1]闭区间分为N 个等级：
1
[0,1]N n
n I
?==U ()n m I I n m =Φ≠I (3.7)
其中
1[,)n n n I a a += 当02n N ≤≤? 1[,]n n n I a a += 当1n N =?
0101N a a a =<<<=L
例如，当N ＝3时，表示分为3级： 第一级 01[0,)I a = 第二级 112[,)I a a =
第三级
22[,1]I a =
我们讨论两类模糊逻辑函数问题，一类是分解问题，另一类是合成问题。
一、分解问题
对一切12,,,n x x x L ，当
()12,,,n j F x x x I ∈L
01j N ≤≤?
(3.8)
时，就说F 属于第j 级。分解问题就是要找出模糊逻辑函数属于第j 级的条件。在讨论分解问题时，我们考虑模糊逻辑函数的两种基本形式。第一种称之为模糊析取范式，它用字组i ?表示为
1P F ??=++L
1P ≥ (3.9)
第二种称之为模糊合取范式，它用字句i c 表示为
1P F c c =??L
1P ≥
(3.10)
任何模糊逻辑函数都可以用这两种范式表示。
我们结合实例来对分解问题加以讨论。
[例 3.2.1] 模糊析取范式情况。设(),,F x y z x y z x z =??+?，求(),,F x y z 属于第j 级
的条件。
求F 属于第j 级的条件，也就是求1j j a F a +≤≤的条件，即：当1j j a F a +≤≤时，模糊变量,,x y z 应在什么范围内取值才合适？
从(,,)j a F x y z ≤，我们得到
j a x y z ≤??
或
j a x z ≤?
又从1(,,)j F x y z a +<，我们得到
1j a x y z +>??
且
1j a x z +>?
进一步分解可得到F 属于第j 级的条件为下述两组条件不等式必须同时得到满足： 第一组
11j j j
x a y a z a ?≤??
??
≤???
??
≥? 与 与 或
1j j x a z a
≥??
??≤??
与
第二组
11111j j j x a y a z a +++?>??
??
>???
??
或 或 与
111j j x a x a
++
??>??
或
[例 3.2.2]
模糊合取范式情况。设(,,)()()F x y z x y x y z =+?++，求(,,)F x y z 属于
第j 级的条件。 类似于上面的分析，从1j j a F a +≤<我们得到
(j a x y ≤+ 与 ()j a x y z ≤++
以及
1()j a x y +>+ 或 1()j a x y z +>++
由此可得，F 属于第j 级的条件为模糊变量,,x y z 必须同时满足下述两组条件：
第一组
1j j x a y a
≥??
??≤??
或
与 1j
j j x a y a z a ?≤??
??
≥??
??≥?
或 或
第二组
1
11j j x a y a ++?? 与 或 1111j j j x a y a z a +++?>??
??
??
与
与
由上述二例，对于模糊逻辑函数F 和F 属于第j 级的条件不等式的关系，可以归纳出入下
法则：
（1）在第一组条件中，联系于不等号（≥）的单字在F 中是肯定形式（,,x y z 等），联系于不等号（≤）的单字在F 中是否定形式（,,x y z 等）。 （2）在第一组条件中，“与”对应于F 中的逻辑乘（?），“或”对应于F 中的逻辑加（＋）。
（3）在第二组条件中，联系于不等号（>）的单字在F 中是否定形式（,,x y z 等），联系于不等号（<）的单字在F 中是肯定形式（,,x y z 等）。 （4）在第二组条件中，“与”对应于F 中的逻辑加（＋），“或”对应于F 中的逻辑乘（?）。 作为上述法则的应用，我们来讨论下述的例子，
[例 3.2.3]
设(,,,)()F x y z w x y z w x y z w =??++?+?。为了求出F 属于第j 级的条
件，我们可以先把F 展开成模糊析取范式，然后运用上书法则。
根据法则(1)和(2)，我们得到第一组条件式为
11j j
j x a y a z a ?≤??
??
≥??
??≤?? 与 与 或 1j j j x a y a w a ?≤??
??
≥??
??≥?
与 与
或 1j j x a y a
≥??
??≤?? 与 或
1j
j z a w a
≤???
??≥?
与
根据法则(3)和(4)，我们得到第二组条件式为
11111j j j x a y a z a +++?>??
??
??>??
或 或
与 1111j j j x a y a w a +++?>??
??
??
或 或
与 111j j x a y a
++??
或 与
1
11j j z a w a
++>???
??
或
二、合成问题
模糊逻辑函数的合成问题是上述分解问题的逆问题。当已给出模糊变量的取值范围，求满足给定条件的模糊逻辑函数的问题就是逆问题。我们仍结合具体例子来对此加以讨论。
[例 3.2.4] 设模糊变量,,x y z 满足如下两组条件：
第一组
1
2x b y b
≥??
??≤? 与 或 3
45
x b y b z b ≤??
??≥???
?≥? 与 与 (3.11)
第二组
6
7x b y b
??>? 或 与 8910
x b y b z b >????
?
(3.12)
现在我们来合成模糊逻辑函数(,,)F x y z 。要求1(,,)j j a F x y z a +≤<。 合成问题可以方便地用已给出的4条法则来求解。
由第一组条件，根据法则(1)和(2)可以推断出满足j F a >的函数形式为
F x y x y z ′′′′′′′′=?+??
(3.13)
式(3.13)要求
''1j j x a y a
?≥?
??≤??
与
与 ''''
''1j
j j x a y a z a
?≤??
??≥??
??≥?
与 与
(3.14)
把式(3.11)和式 (3.14)相比较，得到
'
1
1
'2
2''3
3
''
44
''5511j j j j
j a x k x x b a y k y y b a x k x x b a y k y y
b a z k z z b ?==????==??
???==????==???==??
(3.15)
由式(3.13)和（3.15）可知，满足1(,,)j F x y z a +≤ 的函数为：
112345(,,)()()(()()F x y z k x k y k x k y k z =?+?? (3.16) 同理可据第二组条件以及法则（3）和（4）构造出满足1(,,)j F x y z a +<的函数为：
2678910(,,)()()()()()F x y z k x k y k x k y k z =?+??
(3.17)
其中
166
177188
1
991101011j j j j j a k b a k b a k b a k b a k b +++++?=
????=
??
???
=????=???=??
(3.18)
我们可以用模糊逻辑网络来实现1(,,)F x y z 和2(,,)F x y z ，并进而实现(,,)F x y z 使之满足1j j a F a +≤<。
3.3 模糊推理
一. 模糊命题
经典的命题是指由确定的陈述语句所表达的含义。一个命题体现一定的思想内容。同时命题的表达要借助于语句。命题常用大写字母P ,Q 以及A ，B ，C ，…表示。例如，下述3个命题都是经典命题，它们或者是成立的（叫做真命题），或者是不成立的（叫做假命题）。
P ：3、5和7都是奇数 Q ：6被2整除
A ：3是偶数
当命题P 是真时，则规定P 取1值，记作P ＝1；否则规定P 取0值，记作P ＝0。这里0，
1叫做命题的真值。例如，上述命题P 和Q 为真，而命题A 为假，所以P ＝1，Q =1，而A=0。
命题运算，是指用一个或多个命题构成一个新命题的法则。在命题运算中，字母P ，Q ，
A ，…叫做命题变项，而0，1叫做常项。命题的否定记为P c ，两命题的析取记为P ∨Q ，
两命题的合取记为P ∧Q 。这3种命题运算的真值表为
P
c P
0 1
1 0
P Q
P Q ∨
0 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1
P Q
P Q ∧
0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1
上述3种命题运算满足交换律、分配律、么元律和互补律这4条基本运算规律。 经典逻辑代数中所说的命题，或者是真的，或者是假的，二者必居其一。但是，现实生活中的很多命题，却没有绝对的真或假。例如，考察如下命题： 这棵树比那棵树高一些。 天津到北京不算远。 这个城市很大。
在这些命题中，出现了“高一些”、“不算远”、“很大”等含义不确定的模糊词项。
模糊命题是指由具有模糊性的陈述语句所表达的含义。例如，以上3个命题都是模糊命题。
模糊命题用符号P %
，Q %
，以及A %，B %，,...C %
表示。模糊命题的真值已不能只取{0,1}二值。可以用闭区间[0,1]的一个实数值来表示模糊命题的真值。P %＝1表示命题P %完全真，P %
＝0表示命题P %完全假，P %越靠近1则命题P %
真的程度越高。也就是说，真值的大小表征了模糊命题的真假程度。 模糊命题的真值可以和隶属函数相联系。以“年轻人”为例，所对应的是一个模糊集合。设
P %
：小强是个年轻人。 若小强对于“年轻人”的模糊集合的隶属度为0.8，则命题~
P 的真值是0.8。 模糊命题的运算也就是隶属函数的运算。3种基本的模糊命题运算为
1c
P P =?%%
max(,)P Q P Q ∨=%%%%
(3.19)
min(,)P Q P Q ∧=%
%%
%
当局限P %
和Q %
只取{0，1}二值时，式（3.19）的运算结果也就和经典命题的否定、析取、合
取的真值表相同。模糊命题这3种基本运算实质上是经典命题运算的扩展。
以上所述的模糊命题真值取为[0，1]中的一个点，我们称这种真值为数值真值。模糊命题的真值也可以用语言真值来表示。我们将在第四章中对语言真值进行讨论。
二、 蕴含式
在经典逻辑中，蕴含式系指由命题变项A ，B 通过“若A 则B ”形式构成的命题式，记作A B →，它的真值表为
A B A B →
0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1
由于“A B →”和“c
A B ∨”的真值表相同，所以“→”也可以看成一种命题运算，且
A B →＝c A B ∨
(3.20)
上式又可表示为
A B →＝[()]c c A B A B ∨∧∨ (3.21)
在人的自然语言中，“若A 则B ”的表达法常被用到A 和B 是模糊集合的情况上。例如陈
述句“若小华生病则小华是虚弱的”，它可以缩写为“生病→虚弱的”
。在这种情况中，“生病”和“虚弱的”实际上是模糊集合的名称。再如，在谈到“若西红柿是红的则西红柿是熟的”时的情况也一样，“红的”和“熟的”起模糊集合的作用。
可以把蕴含式的概念推广到模糊集合。令A %是论域X 中的模糊集合，B %
是论域Y 中的模
糊集合，将式（3.21）推广到“若A %则B %”的情况，记作“A %→B %
”，我们得到
[()]c c
A B A B A A →=∨∧∨%%%%%%
(3.22)
从上式又可得到
()[()]c c A B A Y B A A →=∧∨∧∨%%%%%%
()[()()]c c c
A B A B A Y =∧∨∧∨∧%%%%
()
()c
c
A B A Y =∧∨∧%%
%
由此，我们合理的给出如下定义。
定义 3.3.1 表达式“若A %则B %
”是X ×Y 中的一个模糊关系，它定义为
()()c
A B A B A Y →=∧∨∧%%%%%
(3.23)
其中，A %是论域X 中的模糊集合，B %
是论域Y 中的模糊集合。
注意到“若A %则B %
”表示了x 与y 之间的一种模糊关系，它是X ×Y 中的一个模糊集合，
式（3.23）给出的是它的隶属函数的定义。为了明确起见，我们将式（3.23）写为
()(,)(()())()c
A B x y A x B y A x →=∧∨%%%%%
(3.24)
因()Y y 恒为1，故在式（3.24）中略去。
我们可以把“若A %
则B %”理解为“若A %则B %否则不问”，亦即理解为“若若A %则B %
否则Y ”。
因而，在式(3.23)中，以C %
代替Y ，我们可以延伸出如下定义。
定义 3.3.2 表达式“若A %则B %否则C %
”是X ×Y 中的一个模糊关系，它表示为
(,)()()c c A B A C A B A C →→=∧∨∧%%%%%%%%
(3.25) 其中A %是论域X 中的模糊集合，B %和C %
是论域Y 中的模糊集合。
为了明确“若A %则B %否则C %
” 是X ×Y 中的模糊集合，式（3.25）给出的是它的隶属函
数，类似于式（3.24）的表示方法有
(,)(,)(()())(()())c
c
A B A C x y A x B y A x C y →→=∧∨∧%%%%%%%%
(3.26)
[例 3.3.1] 作为“若A %
则B %”和“若A %则B %否则C %
”的实例，设 X ＝Y ＝1＋2＋3＋4 A %
＝小的＝1/1＋0.6/2
B %
=大的＝0.6/3＋1/4
C %
＝不大＝1/1＋1/2＋0.4/3 由式（3.24）我们有
()(1,1)(10)(11)0A B →=∧∨?=%%
()(1,2)(10)(11)0A B →=∧∨?=%%
()(1,3)(10.6)(11)0.6A B →=∧∨?=%
%
等等，并以矩阵表示如下：
A %→
B %=0
00.6110.40.40.60.62
1111311114
?????
??????? 1 2 3 4
同理，据式（3.26）得到如下矩阵：
（A %→B %，c A %→C %
）＝0
00.6110.40.40.60.62
110.403110.404
?????
???????
1 2 3 4
三. 模糊推理
推理系指从一些已有的命题12,,,n A A A L 出发，按一定的规则推出一个新命题B 的过程。推理所依据的一些已有命题（12,,,n A A A L ）
叫做前提，推理依据已有命题所获得的新命题（B ）
叫做结论。
传统逻辑中一种基本推理规则是假言推理规则（又叫蕴含词消去规则）。按这一规则我们能够从命题A 的真假和蕴含式A →B 推断出命题B 的真假。例如设A →B ＝“若a 是偶数，则a 被2整除”，如果A ＝“a 是偶数”为真，则B ＝“a 被2整除”也为真。对此我们可以写成竖式来表示，横线上的命题是前提，横线下的命题是结论。
A →
B A
B
然而，在人们的很多推理中，使用的是假言推理的近似形式而不是它的精确形式，一般说来，我们知道的是：A %→B %和A ′%，这里A ′%
，A %和B %
都是模糊集合。我们欲求出前提是模糊
命题A %→B %和A ′%
时的结论。为此，我们首先对一般化假言推理作如下定义。
定义 3.3.3 设A ′%，A %和B %相应是X ，X 和Y 的模糊集合，A %→B %
是X ×Y 的模糊关
系，一般化假言推理表述为
()B A A B ′′=→o %%%%
(3.27)
这里B ′%
是Y 中的模糊集合。
也可用竖式表示如 A %→B %
A ′%
A ′%o （A %→
B %
）
式（3.27）的运算是模糊关系的合成运算。在X 和Y 为有限论域时，这一运算就是第二
章式（2.16）给出的矩阵最大最小积运算，注意到这里应取式（2.16）中的n 值等于1。根据关系合成运算的定义，可把式（3.27）写作
()()()(,)x X
B y A x A B x y ∈??′′=
∧→??∨%
%%%
(3.28) [例 3.3.2] 设X ，Y ，A %，B %和A %→B %
如例3.3.1所述，并设
A ′%
＝有点小＝1/1＋0.6/2＋0.2/3
那么
A ′%o （A %→
B %
）＝[1 0.6 0.2 0]o 0
00.610.40.40.60.6110.401
10.40????
?
?????
?? ＝[0.4 0.4 0.6 1]
运算的结果可近似的理解为“有点大”。对上述过程可用一般化假言推理得数竖式表示为 若x 小则y 大
x 有点小
y 有点大
推理所得结果，是符合人们通常的思考方法的。
[例 3.3.3] 本例说明在非模糊情况下运用式（3.23）和式（3.27）的结果。设
X ＝Y ＝1＋2＋3＋4 A ＝小于或等于2＝1/1＋1/2＋0/3＋0/4 B ＝大于2＝0/1＋0/2＋1/3＋1/4 这里A 和B 均是普通集合。 由式（3.23）我们得到
A →
B ＝00110
01111111
11
1?????
???????
由式（3.27）得到
A o （A →
B ）＝[1 1 0 1]o 00110
01111111
11
1?????
???????
＝[0 0 1 1]= B
亦即 若x 小于或等于2则y 大于2
x 小于或等于2
大于2
本例说明，在非模糊情况下运用定义3.3.1和定义3.3.3。所得结果和传统逻辑中的假言推理规则相一致。
四、推论的合成规则
公式（3.27）所表达的是推论的合成规则的一种形式。实际上，推论的合成规则不仅适用于假言推理，而且也适用于模糊推理其他情况。
定义 3.3.4 令A %和B %分别是X 和Y 中的模糊集合，R %
是X ×Y 中的模糊关系。推论合成规则定义为
B A R =o %%%
(3.29)
这里A R o %%是A %和B %
的关系合成运算。如同式（3.28），可把式（3.29）写作
[]()()(,)x X
B y A x R x y ∈=
∧∨%
%%
(3.30) 式中()A x %，()B y %，(,)R x y %相应是A %，B %，R %
的隶属函数。 作为推论合成规则应用的实例说明，察看下面的例子。
[例 3.3.4] 仍设
X＝Y＝1＋2＋3＋4
A
%
＝小的＝1/1＋0.6/2
R %＝近似相等＝1/（1，1）＋1/（2，2）＋1/（3，3）＋1/（4，4）＋0.4/[（1，2）＋（2，
1）＋（2，3）＋（3，2）＋（3，4）＋（4，3）]
我们讨论这样一个问题：已知x和y近似相等，并已知x是小的，问y如何？其解答可以用推论合成规则来求取。
B %＝A R
o
%%
＝[1 0.6 0 0]o
10.400
0.410.40
100.410.4
000.41
??
??
??
??
??
??＝[1 0.6 0.4 0]
可以把B
%理解为有点小。
由此可见，通过推论合成规则的使用，我们从x是小的以及x与y近似相等推知y有点小，这是一个近似解。这一近似推论可用竖式表达为
x和y近式相等前提
x是小的前提
y有点小结论
因而，推论合成规则代表在一组前提之下的模糊逻辑演绎法。
模糊逻辑及不精确推理 方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
3-3 模糊逻辑及不精确推理方法 3-3-1 模糊逻辑 3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系 传统逻辑：强调精确性、严格性。 概率事件的结局是：非此即彼。 模糊事件的结局是：亦此亦彼。 另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。 3-3-1-2 模糊逻辑的历史 100多年前，Peirce指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel再次指出这一点； 1937年美国哲学家Black首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl开始研究模糊谓词； 1951年法国数学家Menger第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）； 1965年Zadeh发表了着名的“模糊集”论文。 模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。 3-3-1-3 模糊集合论 一. 引入
传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。可以用其特征函数????∈=A x A x x C A ,0,1)(表示。)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明子集。 在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。此时，A 是模糊子集。B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）； 或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。 一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素 x 上的取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。B 的模糊子集A 可表示为： }|))(,{(B x x x A A ∈=μ。 注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。而空集只有一个模糊子集。 例子：各年龄阶段的人的集合。则如果用B ：表示各种年龄人的 集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。如 1)20(=青年μ、0)90(=青年μ、8.0)30(=青年μ。 注：隶属度和概率是两个不同性质的量。如30岁的人对青年概念的隶属度为表示其有80%的特性和青年人一样，而不是30岁的人占青年人的80%，也不能理解为30岁的人中，有80%是青年人！ 定义3-3-1-3-1 令}0)(,|{>∈=x B x x S A μ，则称S 为模糊子集A 的支持集，它包含所有隶属度大于0的元素。令
第3章 模糊逻辑与模糊推理 3.1 命题与二维逻辑 普通命题：二值逻辑中一个意义明确可以分辨真假的陈述句称为命题（举例）。 复命题：用或、 与、非、若…则、当且仅当等连接的单命题称为复命题。 注意： ()0 1 (0 1) 110 0 (0 0) 11 P Q P Q P →?→=→= 3.2 模糊命题与模糊逻辑 模糊命题：具有模糊概念的命题称为模糊命题。 例P 为一模糊命题，称()[]0,1V P x =∈为模糊命题P 的真值。 模糊逻辑：将研究模糊命题的逻辑称为模糊逻辑。 3.3 布尔代数与De-Morgan 代数 布尔代数：格——满足幂等律、交换律、结合律、吸收律 分配格——还满足分配律 再满足复原律、补余律称为布尔代数 {}()01L ,,,,C =∨∧表示一个布尔代数。 模糊代数（De-Morgen 代数、模糊软代数）： 不满足补余律，且满足De-Morgen 律的布尔代数，即 []()0,1L ,,,C =∨∧称为模糊代数。 3.4 模糊逻辑公式 模糊逻辑公式：设1x ，2x ，···，n x 为在[]1,0区间中取值的模糊变量，将映射 [][]1,01,0:→n F 称为模糊逻辑公式。 模糊逻辑公式f 的真值)(f T ，称为f 的真值函数。 真值函数的运算性质：
()() () ''' ' ''()1() ()max (),()()min (),()()min 1,1()()T F T F T F F T F T F T F F T F T F T F F T F T F =-∨=∧=→=-+ f 真——F 中一切赋值均为2 1 )(≥F T f 假——F 中一切赋值均为1()2 T F < 1. 模糊逻辑函数的分解 例：模糊逻辑函数(,,)f x y z xy xyz xyz =∨∨，确定),,(z y x f 在2=n 处于第一级时变量的取值范围。 解：为满足f 处于第一级，则1),,(α≥z y x f 于是，1α≥y x 或1α≥z y x 或1α≥z xy 则有： ???-≥→≥≥1111αααy y x 或 ?? ? ??≥-≥-≥111 11αααz y x 或 ?? ? ??-≤≥≥111 1αααz y x 2. 模糊逻辑函数范式——标准型 析取形式：∑∏=== p i n j ij i x F 11 合取形式：∏∑===p i n j ij i x F 11 举例：()()()()()(,,)f x y z x y x x z y x y x z y z ????=∨∧∨∨∧=∨∨∨∨∨???? 3.5 语言变量及其集合描述 自然语言：具有模糊性，灵活。 计算机语言：形式语言，用符号表示特定的操作，不具有模糊性，严格、刻板、生硬，没有一点灵活性。 语言的集合描述 (),N a u μ表示属于T 的单词a 与属于U 的对象u 之间关系的程度. 例如N μ(高个，1.75)=0.9
第六章模糊控制系统 教学内容 首先讲解用于控制的模糊集合和模糊逻辑的基本知识;然后讨论模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性;最后举例说明FLC的应用。 教学重点 模糊控制的数学基础,模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性。 教学难点 对定义的准确把握和理解,模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性。 教学方法 通过对数学基础的牢固掌握,对模糊控制进行深入的理解,课堂教授为主。 教学要求 掌握用于控制的模糊集合和模糊逻辑的基本知识;模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性 6.1 模糊控制基础 教学内容模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;模糊判决方法。 教学重点模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;模糊判决方法。 教学难点对抽象公式的理解、熟练运算;模糊逻辑推理一般方法。 教学方法课堂教授为主,课后作业巩固。 教学要求掌握模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;能够熟练使用模糊判决方法。 6.1.1 模糊集合、模糊逻辑及其运算 设为某些对象的集合,称为论域,可以是连续的或离散的;表示的元素,记作={}。 定义6.1模糊集合(fuzzy sets) 论域到[0,1]区间的任一映射,即: →[0,1],都确定的一个模糊子集;称为的隶属函数(membership function)或隶属度(grade of membership)。也就是说,表示属于模糊子集F的程度或等级。在论域中,可把模糊子集表示为元素与其隶属函数的序偶集合,记为: 若U为连续,则模糊集F可记作: 若U为离散,则模糊集F可记作:
定义6.2模糊支集、交叉点及模糊单点如果模糊集是论域U中所有满足的元素u构成的集合,则称该集合为模糊集F的支集。当u满足,则称此模糊集为模糊单点。 定义6.3模糊集的运算设A和B为论域U中的两个模糊集,其隶属函数分别为和,则对于所有,存在下列运算: (1) A与B的并(逻辑或) (2) A与B的交(逻辑与) (3) A的补(逻辑非) 定义6.4直积(笛卡儿乘积,代数积) 若分别为论域中的模糊集合,则这些集合的直积是乘积空间中一个模糊集合,其隶属函数为: 定义6.5模糊关系若U,V是两个非空模糊集合,则其直积U×V中的一个模糊子集R称为从U到V的模糊关系,可表示为: 定义6.6复合关系若R和S分别为U×V和V×W中的模糊关系,则R和S的复合是一个从U到W的模糊关系,记为: 定义6.7正态模糊集、凸模糊集和模糊数 定义6.8语言变量 定义6.9常规集合的许多运算特性对模糊集合也同样成立。设模糊集合A、B、C∈U,则其并、交和补运算满足下列基本规律: (1) 幂等律 (2) 交换律 (3) 结合律 (4) 分配律
《智能控制技术》平时作业题 2016年4月1日 学号______________ 姓名 题一： 设被控对象的传递函数为 21()1000441) G s s s =++ （1）针对阶跃输入()5/R s s =，设计模糊监督PID 控制系统，使 得系统输出的超调量2%δ≤，进行系统仿真。 （2）已知条件和性能指标同（1），设计模糊监督模糊控制系统，进行系统仿真，同（1）的仿真结果进行比较。 题二：设被控对象的传递函数为 p 22p p p ()2K G s s s ζωω=++ 式中，P 1K =，P 0.707ζ=，P 1ω=。参考模型为一阶系统 r r ()K M s s a =+，r 1K =，r 1a =。系统参考输入为()sin(0.6)r t t =。 （1）针对()G s 设计一个直接模糊控制器（非自适应），使得对 象的输出尽可能接近参考模型的性能指标。模糊控制器为二维模 糊控制器，其输入变量为偏差e r y =-，r 为系统参考输入，y 为被控对象输出；偏差变化()()()e kT e kT T e kT T --= （用一阶后向差分近似）。 （2）针对()G s 设计模糊模型参考学习自适应控制系统，使得对
象输出跟踪参考模型输出并尽可能地靠近它。将（1）中所设计的模糊控制器作为初始模糊控制器并为FMRLC（模糊模型参考学习控制）所调整，进行系统仿真。 题三：使用模糊逻辑工具箱建立以下模糊推理系统。 （1）单输入单输出模糊推理系统：输入、输出变量分别为e和u，其模糊集论域均为[-1，1]，语言变量取值[N，ZO，P]，隶属函数为对称三角形，规则为 If e is N Then u is N If e is ZO Then u is ZO If e is P Then u is P 画出该模糊推理系统输入输出关系曲线。 （2）两输入一输出模糊推理系统：输入变量e和e ，输出变量为u，其模糊集论域均为[-6，6]，语言变量取值[NL，NS，ZO，PS，PL]，隶属函数为对称三角形；规则前件及蕴涵均采用“取小”运算。设计25条控制规则；求出该推理系统的控制面。（3）采用高斯形隶属函数，重复上述（2）。 题四：已知某被控对象的传递函数为 2.5 () (101) G s s s = +。 （1）采用二维PD模糊控制器，输入变量e和e ，输出变量为u，其模糊集论域均为[-6，6]，语言变量取值[NL，NM，NS，ZO，PS，PM，PL]，隶属函数为对称三角形；规则前件及蕴涵均采用“取小”运算，采用COG反模糊化方法。用Simulink建立单位
模糊逻辑在控制领域的应用综述 摘要：本文介绍了模糊逻辑控制在工程应用中存在的一些问题，包括模糊控 制规则和参数优化问题、强耦合多变量问题和模糊控制稳态精度问题，另外介绍了在控制领域各方面的应用，比如：自适应模糊控制，模糊滑膜控制，基于Takagi-Sugeno(T-S)模型的控制，三维模糊控制。 关键字：模糊逻辑控制；问题；自适应模糊控制；模糊滑膜控制；基于Takagi-Sugeno(T-S)模型的控制；三维模糊控制 1引言 在现代工业控制领域，伴随着计算机技术的突飞猛进，出现了智能控制的新趋势，即以机器模拟人类思维模式，采用推理、演绎和归纳等手段，进行生产控制，这就是人工智能。模糊逻辑属于计算数学的范畴，包含有遗传算法，混沌理论及线性理论等内容，它综合了操作人员的实践经验，具有设计简单，易于应用、抗干扰能力强、反应速度快、便于控制和自适应能力强等优点。近年来，在过程控制、农业生产和军事科学等领域得到了广泛应用。[1] 2模糊逻辑在应用中的问题 2.1模糊控制规则和参数优化问题 对于复杂的工业控制过程，专家经验知识匮乏且逻辑推理困难，导致模糊控制规则的获取比较困难，难以总结出比较完善的模糊规则，在控制对象的参数发生变化时，严重影响模糊控制系统的效果，在某种意义上模糊控制系统的控制品质和性能与模糊规则的优劣有直接关系，因此优化模糊控制规则就变得尤其重要。 2.2强耦合多变量问题 多变量控制系统是目前过程控制中常见的控制对象，其不同于单变量控制系统。多变量控制系统中控制对象、控制器、测量元件和执行元件均有可能含有多个输入或输出变量，其结构更为复杂。变量之间耦合强度较小时比较容易控制，可以以一种线性独立的系统方式进行控制。各变量之间耦合强度较大时，就不可以忽略耦合对系统控制效果的影响，其严重影响到了控制系统的稳定性。[2] 2.3模糊控制稳态精度问题 随着工业过程被控对象的控制品质不断提升，对模糊控制稳态精度的要求也不断提高，由于模糊控制系统稳态精度低、存在余差的问题，高精度的模糊控制技术成为研究重点。模糊控制稳态精度的控制方法有很多，一种比较常用的方法是通过增加不同类别的积分器来避免模糊控制系统的稳态误差，以达到提升稳态精度的目的。采用在模糊控制系统中增加前馈积分项的方法，在伺服控制系统中取得了理想的稳态精度；也有采用在模糊控制系统中增加动态积分项的方法，当模糊控制系统的误差在一定范围以内，通过增加动态积分项控制系统输出，从而提高了模糊控制系统的性能。[3] 3模糊逻辑在控制领域的应用
《模糊逻辑控制技术及其应用》课程教学大纲 一、课程基本信息 1、课程代码：CS416 2、课程名称（中/英文）： 模糊逻辑控制及其应用 / Fuzzy Logic Control and Application 3、学时/学分： 36/2 4、先修课程：计算机原理、计算机组成、微机接口、数字逻辑电路 5、面向对象：计算机应用专业本科生（选修） 6、开课院（系）、教研室：电子信息与电气工程学院计算机科学与工程系 7、教材、教学参考书： “模糊逻辑控制技术及其应用”窦振中编著北京航空航天大学出版 二、课程性质和任务 模糊逻辑技术在嵌入式系统、工程控制、财政金融、数据挖掘等领域有着广阔的应用前景。“模糊逻辑控制及其应用”是为计算机应用专业本科生所开设的学科前沿选修课程。其主要任务是：通过本课程的学习，学生在了解有关模糊逻辑控制技术的基本概念和有关理论的基础上，掌握模糊逻辑控制技术的基本工作原理，以及模糊逻辑控制系统设计基本知识。通过数字单片微机模糊逻辑控制系统有关实例的学习，对模糊逻辑的应用技术有一定的了解。 三、教学内容和基本要求 1．模糊逻辑概述 了解模糊逻辑技术的发展 了解模糊逻辑与人工智能的关系 了解模糊逻辑技术中的几个问题 2．模糊逻辑及其理论基础 了解并掌握模糊逻辑的有关概念
理解经典集合与模糊集合的不同概念 理解二值逻辑、多值逻辑和模糊逻辑的区别 了解模糊逻辑推理方法 了解并掌握几种解模糊判决算法 3．模糊逻辑控制的工作原理 了解传统控制方法及其局限性 掌握模糊逻辑控制的工作原理 4．模糊逻辑控制器（FLC） 了解模糊逻辑控制器的基本结构和各部分的功能 了解模糊逻辑控制器的基本设计原则和方法 5．模糊逻辑控制系统的设计 了解并掌握模糊逻辑控制系统的一般设计过程 理解模糊逻辑控制系统设计举例的内容 6．数字单片机模糊逻辑控制技术的应用 了解数字单片机与模糊逻辑控制技术的关系 理解并掌握数字单片机模糊逻辑控制技术的应用 7．模糊逻辑控制软件开发工具 了解模糊逻辑控制系统开发与传统控制系统开发的不同之处了解模糊逻辑控制技术软件开发工具及使用方法 8．模糊逻辑控制集成电路和模糊计算机 了解模糊逻辑硬件电路 了解模糊计算机的有关知识
1模糊控制 1.1 概述 基于解析模型的控制方法有着较长的发展历史，经过许多学者的不懈努力已经建立了一套完善的理论体系，并且非常成功地解决了许多问题。但是，当人们将这种控制方法应用于具有非线性动力学特征的复杂系统时，受到了严峻的挑战。特别是，面对无法精确解析建模的物理对象和信息不足的病态过程，基于解析模型的控制理论更显得束手无策。这就迫使人们去探索新的控制方法和途径去解决这类问题，在这样一个背景下诞生了基于模糊逻辑的控制方法，并且今天它已成为最活跃和最为有效的一种智能控制技术。 一些学者对人类处理复杂对象的行为进行了长期的观察，进而发现人们控制一个对象的过程与基于解析模型的控制机理完全不同，即不是首先建立被控对象的数学模型，然后根据这一模型去精确地计算出系统所需要的控制量，而是完全在模糊概念的基础上利用模糊的量完成对系统的合理控制。让我们简单地回顾一下：一个优秀的杂技演员在表演走钢丝时事如何保持他身体的平衡呢？当他的身体向一个方向倾斜时，他是通过身体的重心去感觉其倾斜程度，然后根据倾斜程度产生一个相反的力去恢复平衡的过程，我们可以意识到一个重要的事实：杂技演员是无法准确地感知出身体的倾斜角为多大，并且也无法精确地计算出恢复平衡的力要多大，但是他确实能够有效地保持身体的平衡。显然，杂技演员走钢丝的这种平衡能力是很难用解析的方式来描述的。相反，这种能力是来源于杂技演员多年的训练经验和积累的专业知识。 为了有效地描述这种经验和知识，一些从事智能技术的专家一直在探索表达经验和知识的有效方法，在这其中，以查德（Zadeh）教授1965年提出基于模糊集合论的模糊逻辑（Fuzzy Logic）,是一种表达具有不确定性经验和知识的有效工具。1974年马达尼（Mamdani）教授在他的博士论文中首次论述了如何将模糊逻辑应用于过程控制，从而开创了模糊控制的先河。 1.2模糊逻辑的基本概念 既然模糊控制的基础是模糊逻辑，那么什么是模糊逻辑呢？模糊逻辑可以说是一种逻辑的形式化。这种形式化的逻辑是以一种严密的数学框架来处理人类那些具有模糊特征的概念，如：很多、很少、热与冷。模糊逻辑通常是利用模糊集合论来描述。什么是模糊集合呢？在以布尔逻辑（二值逻辑）为基础的传统集合论中，一个特定的研究对象对于一个给定集合来说只有两种可能，即：或者属于这个集合的成员或者不属于。与布尔逻辑相反，在模糊集合论中一个特定的研究对象在一个给定的集合中具有一个隶属度，而这个隶属度是介于0（完全不属于这个集合）与1（完全属于这个集合）的函数值。显然，模糊逻辑能以一种更接近自然地方式来处理人类那些具有模糊特征的概念。例如：按照布尔逻辑像“张三是搞个子”的这样一条语句（或等价于“张三属于高个子人的集合”）仅是“对”（TURE）与“错”（FALSE）这两种结果之一。相反，模糊逻辑将通过“张三是高个子”这条语句将给“张三”在高个子人这个集合中赋予一个隶属度，如：0.7。类似布尔逻辑对其值所定义操作算子，模糊逻辑也定义了这些算子，如：与（AND），或（OR）和非（NOT），来对隶属度值进行操作。 在基于模糊逻辑的模糊控制中，一个重要概念是语言变量（Linguistic Variable）.一个语言变量的重要特征是这种变量的值用一个或多个词或句子来表达而不是用一个数字来表达。例如：在“李四年轻”的这样的一条语句中，我们说“年龄”这个语言变量对“李四”而言具有一个语言值（Linguistic Value）“年轻”。这个例子说明，对于利用语言变量表达的语句来说不像严格的数字语句那样“精确”。这正是语言变量和模糊逻辑之间关系的关键。像“李
《智能控制》 模糊逼近作业报告 组员：李适、郑晓森、匡金龙、沈伟生、武云发黎浩炎、晏开、杜文学、杨晓星
目录 一、任务及要求 (3) 二、系统分析及控制设计原理 (3) 三、设计实现 (4) 四、仿真验证 (7) 五、讨论与分析 (12)
一、任务及要求 (1)任务 设计一个在 上的模糊系统，使其以精度 一致地逼近函数()()()()()ππππ2121cos sin cos sin x x x x x g ++=，并进行Matlab 仿真。 (2)要求 先进行系统分析，然后给出完整详细的设计过程，可参见P74-75页例5.1和例5.2的仿真实例。 二、系统分析及控制设计原理 自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数据信息调整模糊逻辑系统的参数，且可以保证控制系统的稳定性。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。自适应模糊控制有两种不同形式：一种是直接自适应模糊控制，即根据实际系统性能与理想性能之间的偏差直接设计模糊控制器；另一种是间接自适应模糊控制，即通过在线模糊逼近获得对象的模型，然后根据所得模型在线设计控制器。 三、设计实现 (1)模糊系统的设计步骤 设二维模糊系统g(x)为集合22211],[],[R U ??=βαβα上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一个U x ∈,都能得到g(x)，则可设计一个逼近g(x)的 模糊系统。模糊系统的设计步骤为： 步骤1：在],[i i βα上定义)2,1(=i N i 个标准的，一致的和完备的模糊集 i N i i i i A A A A ,...,,,321。 [][]1,11,1-?-=U 1.0=ε
模糊逻辑系统的C语言实现方法 贺维，江汉红，王海峰，张朝亮 （武汉海军工程大学湖北武汉 430033） 摘要：本文首先介绍了三种专门用于模糊逻辑控制系统设计的软件系统。详细地介绍了利用软件进行模糊逻辑控制系统设计的基本原理以及模糊控制器的软件程序设计方法。实验表明，模糊逻辑系统的C语言实现方法是完全可行的，并且能够大大减少工作量。 关键词：模糊逻辑C语言 C Language Realize Method of Fuzzy Logic System HE-wei JIANG Han-hong WANG Hai-feng ZHANG Chao-liang (Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China) Abstract: This paper presents three special software systems for the the design of hardware circuit of Fuzzy Logic control system. The paper introduced the composing and working principle in detail . The way of designing and programming of Fuzzy Logic control system is also presented in detail in the paper. In the end the results of experiment shows that C Language realize method is completely viable,and can reduce lots of workload. Key words: Fuzzy Control C Language 1.引言 对于模糊控制的实现是模糊控制在实际应用中的一个重要环节。由于Matlab软件工具提供了强大的数学工具，一般模糊控制仿真在MATLAB/Simulink/Fuzzy Logic Toolbox下进行的。但是往往在实际应用之中，Matlab的程序就不能完成提供强大的功能了。在本文的无刷直流电机的DSP控制实验中，Matlab的程序与DSP的应用程序并不兼容，因而我们需要设计的智能控制器就变得有些复杂了，因而我们需要一种能快速解决模糊控制器的设计及应用的方法。文章中提出了以下三种有效的设计方案。 2.Matlab工具 对于实际模糊控制系统,由于在高级语言中模糊控制程序的实现比较复杂,因此引入模糊控制存在一定的困难,程序代码的过于复杂也会严重影响模糊控制系统的开发周期。而Matlab系统及其工具箱中提供了一些能够独立完成某些Matlab 功能的C/C++库函数，这些库函数可以直接应用到C/C++平台中，脱离系统完成Matlab某些功能，极大的方便了实际应用。Matlab Fuzzy Logic 工具箱的独立C 代码就是一个这样的C语言库[1]。 独立的C代码模糊推理引擎函数库fis.c位于Matlab目录下的toolbox\fuzzy\fuzzy目录中，它包含了在C语言环境下调用Matlab Fuzzy Logic 工具箱建立的模糊推理系统的数据文件(*.fis)进行模糊逻辑推理的一系列C函数，其基本原理是利用C代码实现Matlab中的模糊推理系统(FIS)功能。该目录下还有一个C代码程序fismain.c,它实际上是利用fis.c库函数来实现模糊推理系统的一个实例。 正确地熟悉了fis.c库函数中的函数定义，在应用程序中正确调用，即可实现模糊推理系统功能。例如，从Matlab的模糊推理系统文件(*.fis)读入系统数据，可用下面的语句：fisMatrix＝returnFismatrix(fis_file,&fis_row_n,&fis_col_n)；建
方法二：用MATLAB的模糊逻辑工具箱(Fuzzy toolbox)实现 （陈老师整理） 一、模糊逻辑推理系统的总体特征 模糊控制由于不依赖对象的数学模型而受到广泛的重视，计算机仿真是研究模糊控制系统的重要手段之一。由Math Works公司推出的Matlab软件，为控制系统的计算机仿真提供了强有力的工具，特别是在Matlab4.2以后的版本中推出的模糊工具箱(Fuzzy Toolbox)，为仿真模糊控制系统提供了很大的方便。由于这样的模块都是由相关领域的著名学者开发的，所以其可信度都是很高的，仿真结果是可靠的。 在Simulink环境下对PID控制系统进行建模是非常方便的，而模糊控制系统与PID控制系统的结构基本相同，仅仅是控制器不同。所以，对模糊控制系统的建模关键是对模糊控制器的建模。Matlab软件提供了一个模糊推理系统（FIS）编辑器，只要在Matlab命令窗口键入Fuzzy就可进入模糊控制器编辑环境。 二、Matlab模糊逻辑工具箱仿真 1.模糊推理系统编辑器（Fuzzy） 模糊推理系统编辑器用于设计和显示模糊推理系统的一些基本信息，如推理系统的名称，输入、输出变量的个数与名称，模糊推理系统的类型、解模糊方法等。其中模糊推理系统可以采用Mandani或Sugeuo两种类型，解模糊方法有最大隶属度法、重心法、加权平均等。 打开模糊推理系统编辑器，在MATLAB的命令窗（command window）内键入：fuzzy 命令，弹出模糊推理系统编辑器界面，如下图所示。
因为我们用的是两个输入，所以在Edit菜单中，选Add variable… ->input,加入新的输入input,如下图所示。 选择input(选中为红框),在界面右边文字输入处键入相应的输入名称，例如,温度输入用tmp-input, 磁能输入用 mag-input，等。 2.隶属度函数编辑器(Mfedit) 该编辑器提供一个友好的人机图形交互环境，用来设计和修改模糊推理系中各语言变量对应的隶属度函数的相关参数，如隶属度函数的形状、范围、论域大小等，系统提供的隶属度函数有三角、梯形、高斯形、钟形等，也可用户自行定义。 双击所选input，弹出一新界面，在左下Range处和Display Range处,填入取只范围，例如 0至9 （代表0至90）。 在右边文字文字输入Name处，填写隶属函数的名称，例如lt或LT(代表低温)。 在Type处选择trimf(意为：三角形隶属函数曲线，tri angle m ember f unction),当然也可选其它形状。
实验五模糊假言推理器实验 一、实验目的： 理解模糊逻辑推理的原理及特点，熟练应用模糊推理，了解可能性理论。通过实例比较模糊推理与不确定性推理的实质区别。 二、实验原理 模糊推理所处理的事物自身是模糊的，概念本身没有明确的外延，一个对象是否符合这个概念难以明确地确定模糊推理是对这种不确定性，即模糊性的表示与处理。模糊逻辑推理是基于模糊性知识(模糊规则)的一种近似推理，一般采用Zadeh提出的语言变量、语言值、模糊集和模糊关系合成的方法进行推理。 通过定义前项、后项和事实不同的模糊集合，模糊推理可以得到不同的计算结论。 三、实验条件： Matlab 6.5 的Fuzzy Logic Tool。 四、实验内容： 1．用fuzzy推论系统执行XOR功能，XOR门的逻辑关系如表1所示。已知两个输入分别如图2－1、2－2所示，要求： （1）设计XOR门模糊推论系统结构，给出其结构图，以及输入语言变量的隶属函数图、模糊规则编辑图、规则的推论浏览图以及推论结果立体图； （2）用SIMULINK设计XOR门功能，给出SIMULINK设计图； （3）根据图2－1、2－2所示的输入，给出相应的输出结果图。 表1 XOR 门输入/输出关系图 Input1 Input2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
图2－1 图2－2 2．设计模糊控制位置跟踪，已知控制对象为 2400()50G s s s =+ 已知系统输入即位置指令为正弦信号5sin()t ，要求： （1）设计模糊控制位置跟踪系统结构，给出其系统结构图； （2）设计两输入一输出的模糊控制器，给出输入、输出语言变量的隶属函数图，模糊控制规则表、规则的推论浏览图以及推论结果立体图。 （3）用SIMULINK 设计模糊控制位置跟踪系统，给出SIMULINK 设计图、位置指令图、系统的输出结果图以及位置跟踪的误差图。 提示：模糊控制规则如图3－1。 图3－1
查询表式模糊控制器设计实验指导书 一、 实验目的 利用Matlab 软件实现模糊控制系统仿真实验，了解模糊控制的查询表方法的基本原理及实现过程，并找出参数Ke ，Kec ，和Ku 对模糊控制器性能影响的规律。 二、 实验要求 设计一个二维模糊控制器分别控制一一个一阶被控对象1 1 )(11+=s T s G 。先用 模糊控制器进行控制，然后改变控制对象参数的大小，观察模糊控制的鲁棒性，找出参数Ke ，Kec ，和Ku 对模糊控制器性能影响的规律。 三、 实验内容 查询表法是模糊控制中的最基本的方法，用这种方法实现模糊控制决策过程最终转化为一个根据模糊控制系统的误差和误差变化（模糊量）来查询控制量（模糊量）的方法。本实验利用了Matlab 仿真模块——直接查询表（Direct look-up table ）模块（在Simulink 下的Functions and Tables 模块下去查找），将模糊控制表中的数据输入给 Direct look-up table ，如图1所示。设定采样时间（例如选用0.01s ），在仿真中，通过逐步调整误差量化因子Ke ，误差变化的量化因子Kec 以及控制量比例因子Ku 的大小，来提高和改善模糊控制器的性能。 模糊控制器设计步骤： 1、选定误差E 和误差变化EC 作为模糊控制器的输入（二维模糊控制器），控制量U 作为模糊控制器的输出。 E ，EC 和U 的模糊集及其论域定义如下： EC 和U 的模糊语言变量集均为{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB } E 的模糊语言变量集为{NB,NM,NS,NO,PO,PS,PM,PB } E 和EC 论域为{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6} U 的论域为{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} 确定模糊变量的赋值表：对模糊变量赋值，就是确定论域内元素对模糊语言变量的隶属度。各个变量的赋值表见《模糊控制、神经控制和智能控制论》一书的283页。利用计算机根据赋值表进行计算，并采用最大隶属度法的解模糊方法，可以得到模糊控制查询表，如表1所示。
模糊逻辑控制系统：模糊逻辑控制——部分Ⅰ Chuen chien lee 摘要---在过去的几年中，模糊控制已成为在模糊集理论领域中应用最多，最有效的方法之一，尤其是在工业生产过程领域。传统的控制方法，因为缺乏定量数据的输入输出关系。并不适合。模糊控制基于模糊逻辑，这是比传统的逻辑系统更接近人的思维和自然语言的逻辑系统。基于模糊逻辑的模糊逻辑控制器（FLC）为自动控制理论提供了一个基于专家知识转换语言的控制理论，研究描述了构造一个FLC一般方法，评估其性能描述，和指出其需要进一步研究的问题。特别是，论文还讨论了模糊化和去模糊化方法，阐述了数据来源和模糊控制规则，模糊蕴涵的定义和分析了模糊推理机制。 Ⅰ简介 在 过去的几年中，模糊控制已成为在模糊集理论领域中应用最多，最有效的方法之 一[141]，研究模糊控制的先驱Mamdani与他的同事的 [63]-- [66]，[50]最先是 由Zadeh的基于模糊集的语言教读法和系统分析[142] [143] [145] [146] 的开创性论文开始的。现代模糊控制应用很多，水中的质量控制[127] [35]，列车自动运行系统[135] [136] [139]，自动集装箱起重机操作系统[137]—[139]，电梯控制[23]，核反应堆控制[4] [51]，汽车变速器控制[40]，模糊逻辑控制器的硬件系统[130][131]，模糊的记忆装置[107] [108] [120][128][129][133]，并且模糊计算机[132]实现了有效利用模糊控制在复杂和模糊不清领域的方法，即使一个没有任何基础动力学只是的熟练工人都可以控制。 近年来，模糊控制的文献迅速增长，这使得很难对现有的各种各样的应用程序提出一个全面的理论依据。从历史上看，在模糊控制的发展中的重要里程碑，可以归纳为表Ⅰ。这是应该强调的，但是，这里程碑式的选择是一个主观的因素。 从这个角度看，模糊逻辑控制器的重要组成部分是一组用模糊蕴涵的双重概念和组推理规则编写的语言控制规则。在本质上，FLC提供了一种可以转换基于专家只是的语言控制策略到自动控制策略的算法，经验表明，FLC运算的结果优于那些通过传统算法的结果，特别的，当控制过程对于传统的定量技术分析太过复杂或者当可用的数据来源定性解，不正确或不确定，FLC的方法就显得非常有用。因此，模糊逻辑控制器可以被看做是传统的精确数学与类人类决靠近的一大步。 然而，现如今，对于FLC的还没有系统化设计的方法。在本文中，我们提出了对FLC 方法的调查和指出了问题，这个需要进一步的调查，我们的研究包括模糊化和去模糊化策略，数据的来源和模糊控制规则，模糊蕴涵的定义和分析模糊推理机制。 本文分为两部分,FLC结构参数的分析为第Ⅰ部分，此外，第一部分分为五个章节。有关模糊集合概念的简短摘要和模糊逻辑在第Ⅱ章，关于FLC的主要思想在第Ⅲ章中描述，第Ⅳ章介绍了模糊化策略，在第Ⅴ章，我们讨论了FLC数据库的建设，第Ⅵ章中的规则库解释了模糊控制规则的来源和规则修改技术。 第Ⅱ部分由四章组成，第一章介绍了FLC的决策逻辑的基本方法，几个议题被研究，包括模糊蕴涵的定义，组合运算符，句子连接词“and” 和” also “的解释，和模糊推断机制。第二章讨论了去模糊化策略，许多FLC典型应用程序，从实验室到工业过程控制，在第三章中简要说明，最后，我们描述了一些尚未解决的问题及讨论了这一领域未来的挑战。
3-3 模糊逻辑及不精确推理方法 3-3-1 模糊逻辑 3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系 传统逻辑：强调精确性、严格性。 概率事件的结局是：非此即彼。 模糊事件的结局是：亦此亦彼。 另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。 3-3-1-2 模糊逻辑的历史 100多年前，Peirce 指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel 再次指出这一点； 1937年美国哲学家Black 首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl 开始研究模糊谓词； 1951年法国数学家Menger 第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）； 1965年Zadeh 发表了著名的“模糊集”论文。 模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。 3-3-1-3 模糊集合论 一. 引入 传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。可以用其特征 函数????∈=A x A x x C A ,0,1)(表示。)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明 子集。 在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。此时，A 是模糊子集。B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）； 或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。 一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的
取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。B 的模糊子集A 可表示为： }|))(,{(B x x x A A ∈=μ。 注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。而空集只有一个模糊子集。 例子：各年龄阶段的人的集合。则如果用B ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。如1)20(=青年μ、0)90(=青年μ、 8.0)30(=青年μ。 注：隶属度和概率是两个不同性质的量。如30岁的人对青年概念的隶属度为0.8表示其有80%的特性和青年人一样，而不是30岁的人占青年人的80%，也不能理解为30岁的人中，有80%是青年人！ 定义3-3-1-3-1 令}0)(,|{>∈=x B x x S A μ，则称S 为模糊子集A 的支持集，它包含所有隶属度大于0的元素。令}))(,(|)(m ax {)(A x x x A h A A ∈=μμ，则 )(A h 称为A 的高度，B 的元素称为A 的基元。 Zadeh 模糊子集表示法：为每个基元标上隶属度，然后用+号连接这些基元。如青年概念的模糊集表示为：+ ++++++22/121/120/118/9.017/6.016/2.015/0...31/75.030/8.029/8.028/8.027/8.026/8.025/124/123/1+++++++++ 简洁表示为：...30~26/8.025~20/118/9.017/6.016/2.015~0/0++++++ 抽象地表示为：i i n i A u u /)(1 ∑=μ或i i i A u u /)(1 ∑∞ =μ 注：当隶属函数很有规律时，一般采用抽象表示法。 二. 模糊集合的基本运算 (1)空集判断。设A 为B 的模糊子集，则0)(,=∈?x B x A μ?A 为空集。 (2)真模糊集判断。设A 为B 的模糊子集，则1)(0,<<∈?x B x A μ?A 为B 的真 模糊子集。 (3)设A 为B 的真模糊子集，则?=∈?1)(,x B x A μA 为B 的正规模糊子集。 (4)设21,A A 均为B 的模糊子集，则?=∈?)()(,21x x B x A A μμ1A 和2A 相等。 (5)设21,A A 均为B 的模糊子集，则?≤∈?)()(,21x x B x A A μμ称2A 包含1A ，记为
模糊控制技术是近代控制理论中的一种高级策略和新颖技术。模糊控制技术基于模糊数学理论，通过模拟人的近似推理和综合决策过程，使控制算法的可控性、适应性和合理性提高，成为智能控制技术的一个重要分支。 模糊控制概述[1] “模糊”是人类感知万物,获取知识,思维推理,决策实施的重要特征。“模糊”比“清晰”所拥有的信息容量更大,内涵更丰富,更符合客观世界。 在日常生活中,人们的思维中有许多模糊的概念,如大、小、冷、热等,都没有明确的内涵和外延,只能用模糊集合来描述。人们常用的经验规则都是用模糊条件语句表达,例如,当我们拧开水阀往水桶里注水时,有这样的经验:桶里没水或水较少时,应开大水阀;桶里水较多时,应将水阀关小些;当水桶里水快满时,则应把阀门关得很小;而水桶里水满时应迅速关掉水阀。其中,“较少”、“较多”、“小一些”、“很小”等,这些表示水位和控制阀门动作的概念都具有模糊性。即有经验的操作人员的控制规则具有相当的模糊性。模糊控制就是利用计算机模拟人的思维方式,按照人的操作规则进行控制,实现人的控制经验。 模糊控制理论是由美国著名的学者加利福尼亚大学教授Zadeh·L·A于1965年首先提出,它以模糊数学为基础,用语言规则表示方法和先进的计算机技术,由模糊推理进行决策的一种高级控制策略。 1974年,英国伦敦大学教授Mamdani·E·H研制成功第一个模糊控制器,充分展示了模糊技术的应用前景。 [编辑]模糊控制概况 模糊逻辑控制(Fuzzy Logic Control)简称模糊控制(Fuzzy Control)，是以模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制技术。1965年，美国的L.A.Zadeh创立了模糊集合论；1973年他给出了模糊逻辑控制的定义和相关的定理。1974年，英国的E.H.Mamdani首先用模糊控制语句组成模糊控制器，并把它应用于锅炉和蒸汽机的控制，在实验室获得成功。这一开拓性的工作标志着模糊控制论的诞生。 模糊控制实质上是一种非线性控制，从属于智能控制的范畴。模糊控制的一大特点是既具有系统化的理论，又有着大量实际应用背景。模糊控制的发展最初在西方遇到了较大的阻力；然而在东方尤其是在日本，却得到了迅速而广泛的推广应用。近20多年来，模糊控制不论从理论上还是技术上都有了长足的进步，成为自动控制领域中一个非常活跃而又硕果累累的分支。其典型应用的例子涉及生产和生活的许多方面，例如在家用电器设备中有模糊洗衣机、空调、微波炉、吸尘器、照相机和摄录机等；在工业控制领域中有水净化处理、发酵过程、化学反应釜、水泥窑炉等的模糊控制；在专用系统和其它方面有地铁靠站停车、汽车驾驶、电梯、自动扶梯、蒸汽引擎以及机器人的模糊控制等。 [编辑]模糊控制的基本理论[2] 所谓模糊控制,就是在控制方法上应用模糊集理论、模糊语言变量及模糊逻辑推理的知识来模拟人的模糊思维方法,用计算机实现与操作者相同的控制。该理论以模糊集合、模糊语言变量和模糊逻辑为基础,用比较简单的数学形式直接将人的判断、思维过程表达出来,从而逐渐得到了广泛应用。应用领域包括图像识别、自动机理论、语言研究、控制论以及信号处理等方面。在自动控制领域,以模糊集理论为基础发展起来的模糊控制为将人的控制经验及推理过程纳入自动控制提供了一条便捷途径。 1.模糊控制器的基本结构[3][4] 如下图所示,模糊控制器的基本结构包括知识库、模糊推理、输入量模糊化、输出量精确化四部分。 2.知识库 知识库包括模糊控制器参数库和模糊控制规则库。模糊控制规则建立在语言变量的基础上。语言变量取值为“大”、“中”、“小”等这样的模糊子集,各模糊子集以隶属函数表明基本论域上的精确值属于该模糊子集的程度。因此,为建立模糊控制规则,需要将基本论域上的精确值依据隶属函数归并到各模糊子集中,从而用语言变量值(大、中、小等)代替精确值。这个过程代表了人在控制过程中对观察到的变量和控制量的模糊划分。由于各变量取值范围各异,故首先将各基本论域分别以不同的对应关系,映射到一个标准化论域上。通常,对应关系取为量化因子。为便于处理,将标准论域等分离散化,然后对论域进行模糊划分,定义模糊