Sec2-5 三角测量与查表

Sec2-5三角測量與查表

重點整理

1.平面測量時需注意：

(1) 方向；

(2) 仰角（angle of elevation）；

(3) 俯角（angle of depression）。

2.配合正弦定律與餘弦定律。

3.立體測量需：

(1) 正確作圖；

(2) 將所有變量投在同一平面上(通常是底面)。

4.三角函數表：

(1) 附表列出了從0D 到90D ，每間格10′的六種三角函數值，其中數值是以十進位有限小數表示，有效數字四位，大多是近似值。

(2) 表中最左一行由上而下列有0D 到45D 的各角度，最上一列印有sin 、cos 、tan 、cot 、sec 和csc 各函數符號，而表中最右一行由下而上印有45D 到90D 的各角度，最下一列由左至右印有cos 、sin 、cot 、tan 、csc 和sec 各函數符號，此乃運用餘角關係式所編排的。

(3) 查0D 到45D 的各角的三角函數值，是從表的最左一行自上而下查角度，再從最上一列中，查三角函數的符號，則角度所在的一列與符號所在的一行，相交位置上的數，就是這角的某一三角函數值。

(4) 查45D 到90D 各角的三角函數值，是從表的最右一行，自下而上查角度，再從最下一列中，查三角函數的符號，則角度所在的一列與符號所在的一行，相交位置上的數，就是這角的某一三角函數值。

(5) 內插法：

假設我們要求sin 4136′D ，我們先由三角函數表得到sin 41300.6626′=D 與sin 41400.6648′=D ，考慮函數sin y x =在4130′D 與4140′D 的部份圖形：

由相似三角形，我們可得：

0.6626413641300.66480.662641404130y ′′??=′′

??D D D D 60.66260.002210

y ?=+× sin 41360.66260.00130.6639′∴≈+=D

精選範例

1.某人測量山峰的仰角30D，他向著山前進100公尺後，再測得山峰的仰角45D，

則山高為多少公尺？

2.如圖所示，小明站在頂樓陽台上測量地面的一棵大樹，得樹底的俯角為60D，

樹頂的俯角為30D，若小明眼睛至地面的距離為21公尺，則：

(1) 大樹和小明家距離多少公尺？

(2) 樹高約為多少公尺？

3.小明於山麓測得山頂之仰角為45D，由山麓沿15D斜坡上行 200公尺後，再測

得山頂之仰角為60D，試求山高。

4.設A、B處有兩觀測台，兩台之間的距離為100公尺，今在海上C處有一船，

若45

BAC

∠=D，75

ABC

∠=D，試求AC。

5.在座標平面上的x軸上有(2,0)

A、(4,0)

B?兩觀測站，同時觀察在x軸上方

的一目標C點。測得BAC

∠及ABC

∠之值後，通知在

5

(,8)

2

D?的砲台，此兩

個角的正切值分別為8

9

及

8

3

，試求砲台D至目標C的距離。【90推甄】

6.市郊外有甲、乙、丙三村，兩兩相距6、7、8公里，今計劃鑿一井，井到三

村等距，試求此距離。

7. 如圖，A 、B 兩點分別位於一河口的兩岸。某人在通往A 點的筆直公路上，

距離A 點50公尺的C 與距離A 點200公尺的D 點，分別測得60ACB ∠=D ，30ADB ∠=D ，則A 、B 兩點的距離為_____。【87推甄】

8. 某人向一山峰前進，連測三次仰角，首次測得仰角為θ，前進600公尺，再

測得仰角為2θ，又向山峰前進2003公尺，再測得仰角為4θ，試求山高及θ。

9. 從地上一點望煙囪頂，仰角是60D ，從這一點正上方40公尺處，再測得到煙

囪頂的仰角是45D ，試求煙囪之高度。

10. 一漁船在湖上等速直線前進，已知上午9時50分，漁船在觀測點O 的北方偏

西70D ，離O 點2浬處，上午10時10分，則在觀測點O 的北方偏東50D ，離O 點1浬處，則：

(1) 試求此船之速度；

(2) 求這段時間內，漁船離觀測點O 的最近距離。

11. 秋季是台灣出現颱風最多的季節，根據中央氣象局發布的最新消息：有一颱

風中心，今日上午7點被測出在鵝鑾鼻燈塔東30D 南，距離100公里的海面上，

公里，而且速度與方向皆不改變。試求燈塔何時進入暴風圈及何時脫離暴風圈？ 12. 海中有一小島，四周3浬處設水雷，今有一艦從西向東行駛，於A 處觀該島在

北D 60東，行6浬後，於B 處見該島在北D 45東，試若此艦之航行方向不變，

問是否有危險？

13. 設一湖，欲測湖岸兩點C 、D 的距離，已知湖岸築有鐵絲網不能靠近，今在

鐵絲網外取得A 、B 兩點，得30AB =公尺，如圖，測得120CAB ∠=D ，135DBA ∠=D ，30DAB ∠=D ，45CBA ∠=D ，則：_____CD =公尺。

14. 在一塔之正西A 處，測得塔頂之仰角為30D ，在此塔之南60D 東B 處，測得塔

頂之仰角為45D ，若A 、B 相距100公尺，試求塔高。

15. 自地面不同方位而共線之三點A 、B 、C 測量山高，其仰角分別為30D 、45D 、

60D ，若600AB BC ==，試求山高。

16. 續上題，若600AB =，400BC =，試求山高。

17. 從平地上A 、B 、C ，三點，測得某大樓頂之仰角均為30D ，設45ABC ∠=D ，

300AC =，試求此大樓高。

18. 利用三角函數值表求下列各值：

(1) sin15°50'；

(2) csc74°10'；

(3) tan10°40'；

(4) cot79°20。

19. 已知sin12100.2108′=D ，sin12200.2136′=D ，用內插法求4112sin ′D 。 20. 若cos32100.8465′=D ，cos32200.8450′=D ，則：=′81212cos D _____。 21. 利用三角函數表與內插法求：

(1) 設θ為銳角，cot 2.699θ=，則______θ=。

(2) 'sin 6917______°=。

HOMEWORK

1. 在某地測得直立於山上之塔之頂點與基底，各得仰角為45D ，30D ，又向前靠

近90公尺，再測得塔頂之仰角為75D ，試求山高。

2. 如圖，設塔高為AE ，在地面上與塔底E 相距離100公尺處D 點，用測角儀

器測得15ABC ∠=°，又設測角儀器BD 的高度為1公尺，則塔高為_____公尺。

3. 一塔高25公尺，某人由塔頂A 測得海面上兩島B 、C 俯角分別為30D 及θ，若5sin 6

θ=，且120BAC ∠=D ，試求B 、C 兩島之距。 4. 在與水平面成10D 的東西向山坡上，鉛直（即與水平面垂直）立起一根旗竿。

當陽光從正西方以俯角60D 平行投射在山坡上時，旗竿的影子長為11公尺，如下圖所示（其中箭頭表示陽光投射的方向，而粗黑線段表示旗竿的影子）。

試問旗竿的長度最接近以下哪一選項？

(A) 19.1 公尺 (B) 19.8 公尺 (C) 20.7 公尺 (D) 21.1 公尺 (E) 21.7 公尺【96指定科目考試】

5. 山頂上有一塔，塔頂有一旗竿，高20公尺，設於地面某一點測得山頂，塔

頂，旗竿頂，之仰角依次為30D 、45D 、60D

，試求山高。

6. 小明於地面A 點處測得大樓樓頂之仰角為θ，朝大樓方向直線前進200公尺

到B 點，測得大樓樓頂之仰角為45D ，再走近180公尺到C 點，再測得大樓

樓頂之仰角為90θ?D ，則此大樓的高度為_____。

7. 空中消防直升機發現：地面正東方俯角45D

的A 處有火警發生，而正南方俯

角30D 的B 處有消防車。若直升機的飛行高度為2000公尺，試求A 、B 之間的距離。

8. 運河邊有A 、B 兩點，A 、B 兩點間距離為20公尺，運河中有船隻C 測得

30CAB ∠=D ，135CBA ∠=D ，則C 與B 之間的距離為______公尺。 9. 一塔高150公尺，樹A 在塔的北D 60東，樹B 在塔的南D 60東，一人從塔頂測得

A 的俯角為45D ，

B 的俯角為30D ，試求兩樹之間的距離。

10. 將一長為5公尺之竹竿，斜靠在垂直地面而高為3公尺的牆頭，有部分伸出牆

外，假設竹竿與地面成夾角θ，竹竿伸出牆外部份( 牆的厚度不計 )，於日正當中時，在地面的影長為cot cos a b θθ+，其中a 、b 為常數，試求：a 、b 。

11. 根據中央氣象局發布的颱風消息，颱風中心目前在台北的南15D 東600浬處，

向著東75D 北的方向前進，暴風半徑400浬。如果颱風的行進方向不變，那麼

台北是否會進入暴風圈？

12. 如下圖，一颱風中心在T 點的東30D 南的海面上A 處，此颱風以每小時60公

里的速度向北30D 西方向直線前進，暴風半徑為公里，且AT =公里，則_____小時後，T 點進入暴風圈，且颱風在T 點滯留_____小時。

13. 如圖，為測量湖寬PQ ，從P 點與PQ 垂直方向走100公尺，再以量角器量

出78PRQ ∠=D ，試問PQ 之長度是多少？(tan 78 4.7046)°=

14. 如下圖，自停泊中一船測兩燈塔均在北15D 東方向，此船向北西方向前進5

浬後再看燈塔，則一在正東，另一在北東，則兩塔距離為_____浬。

15. 某船位於C 看見A 、B 二燈塔在北偏東15D 之方向上成一直線，船向北30D 西

方向航行D ，此時看見A 燈塔在東15D 北的方向上，另一燈塔B 在東30D 南的方向上，則A 、B 兩燈塔之距離為______哩，又D 與燈塔B 之距離為______哩。

16. 某人在地面A 點，測得山峰之仰角為θ，此人向山腳前進100公尺到達B 點，

測得山頂之仰角為2θ，再向山腳前進60公尺到達C 點，測得山峰之仰角為3θ，求山高。

17. 某船以每小時20公里之速度向南53D 東航行，於上午十時測得燈塔之方向為

北37D 東

，此時船與燈塔之距離為m 公里，至同日t 時，測得該塔之方向為北23D 西，此時船與燈塔之距離為403公里，則m ＝ 公里，而t ＝ 時。 18. 一樹被颱風吹折後，樹頂著地，著地處與樹根相距3.2公尺。樹頂被吹折後

與地面成53°（如下圖），問樹原來高多少公尺﹖（四捨五入至小數第一位﹐tan 53 1.3270°=﹐sec53 1.6616°=）

19. 如圖，四邊形ABCD ，已知15DAC ∠=D ，30CAB ∠=D ，60ABD ∠=D ，

15DBC ∠=D 又10AB =，試求： AC 、CD 。

20. 一塔高為150公尺，在塔的東D 30北A 處和東D 60南B 處各有一觀測站，測出塔

的仰角依次為60D ，45D ，試求AB 之距。

21. 在地面上相距2000公尺之兩控制塔A 、B ，同時測得一飛機之仰角分別為

30D ，45D ，若在同一時刻，從飛機上測得對兩控制塔的視角( 即ACB ∠ )為60D ，求此時飛機之高度。

22. 平面上有一正三角形ABC ，其內心為P ，邊長為100公尺，今在P 點直立一旗

桿，已知由A 點測得竿頂T 之仰角為30D ，試求： (1) AP ；

(2) 旗桿高； (3) AT ；

(4) 若在AP 上一點Q 測得竿頂T 之仰角為60D ，則Q 到竿頂T 之距； (5) QP AQ :。

23. 某人在A 處見建築物C 在其北60D 東，另一建築物D 在其北15D 東。此人向

北前進2公里至B 處後，見C 在其東邊，D 在其南30D 東，則：_____AC =公里，_____AD =公里，而_____CD =公里。

24. 平面上有A 、B 兩點，A 在塔的正東B ，在塔的東南且在A 的南D 30西300公

尺處，在A 測得塔頂的仰角為D 30，則塔高為 公尺。

25. 某人在A 處見建築物C 在其北D 60東，另一建築物D 在其北15D 東。此人向北前

進2公里至B 處後，見C 在其東邊，D 在其南30D 東，則：_____AC =公里，_____AD =公里，而_____CD =公里。

26. 平面上有A 、B 兩點，A 在塔的正東，B 在塔的東南且在A 的南25D 西300公尺

處，在A 測得塔頂的仰角為30D ，則塔高為 公尺。( 但sin 70=D 0.9397，

sin 45=D 0.7071=1.732；塔高小數點以下完全捨去。)

27. 自塔之東一點A ，測得塔頂之仰角為45D ；在塔之南60D 東一點B ，測得塔頂

之仰角為30D 。設A 、B 兩點相距1000公尺，則塔高為 公尺。 28. 從平地上A 、B 、C 三點測得新光大樓樓頂之仰角均為30D 。若30ABC ∠=D ，而1000AC =公尺，則此大樓的高為 公尺。

29. 一塔高為h ，石頭A 在塔的正東，石頭B 在塔的東30D 南，一人從塔頂測得石

頭A 的俯角為60D ，石頭B 之俯角為45D ，若AB =，則塔高_____h =公尺。

30. 在山頂測得地面上石頭A 的俯角為45D ，向右轉30D 再測得地面上石頭B 的俯

角為30D ，已知山高為50公尺，求AB 之距。

31. 設兩觀測站1S 與2S 之距離為 d ，飛機 A 在地面 B 點之上空，若在1S 測得 A 之

仰角為θ，12BS S ∠為α，21BS S ∠為β，則飛機高度為何？

32. 如附圖所示，有一船位於甲港口的東方27公里，北方8公里A 處，直朝位

於港口的東方2公里，北方3公里B 處的航標駛去，到達航標後，即修正航向以便直線駛入港口。試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？

33. 設有甲、乙兩山，一人從平地A 點爬上乙山。想藉此求得甲山之高度。如圖

所示：設M 、N 分別為甲、乙兩山的山頂，此人從A 沿直線斜坡AN 爬上乙山，若800AN =公尺，15MAN ∠=D ，AN 的傾斜角為30D ，爬到N 後，測得對M 的仰角為60D ，120ANM ∠=D ，求甲山的山高。

34. 如下圖，一人立於山頂俯視地上一石得其俯角為45D ，若向左轉30D ，再俯視

地面一石得其俯角為30D ，令兩石之距離為10公尺，則山高為_____公尺。

35. 站在瞭望台O 點發現正北方仰角60D 之A 點處，有一架直昇機保持公

尺的高度，等速向東前進，五秒後測得該直昇機在B 點處的仰角為30D ，則此直昇機之速度為_____。

36. 某摩天大樓矗立在一圓形湖邊上，今在湖邊上有A ，B ，C ，D 四點（如下

圖所示）。從A ，B ，C 三點測得的仰角各為1θ，2θ，和3θ，且1θ，2θ，，3θ彼此相異，DE 與地面垂直，若AB BC d ==，試求大樓DE 的高度。

37. 如圖所示的立體示意圖，線段 AC 垂直於過 D 、C 、 E 這三點的平面。設

AB =10BC =，15DC =， 30CE =， CDB α∠=，BDA β∠=，CEB α′∠=，BEA β′∠= ， 試問下列何者真？

(A) αβ= (B) ααβ′′=+ (C) 2αα′= (D) 3παβ+> (E) 6παβ′′+<

【92指定科目考試】

38. 在山頂上測得地面上之俯角為30D ，沿山坡下行

34

之坡長，再測得俯角為15D ，若山坡之斜角θ，試證：tan θ=?3332。 39. A 、B 兩鎮相距28公里，道路X BA ，X BC 夾角為60D ，若甲由B 沿X BC 方向行走，乙同時由A 以甲二倍速率沿X AB 方向行走，若甲，乙相距最近時，甲走了 公

里。

40. 若tan 23200.4314′=D ，tan 23300.4348′=D ，且4331.0tan ?=θ，

180360θ<

41. 若cos16200.9596′=D ，cos16300.9588′=D ，且sin 0.9590θ=?，

180270θ<

42. 若sin 57400.8450′=D ，cos32100.8465′=D ，則：=′21932cos D _____。 43. 試利用下表及內插法求：sin12212′D 。

正弦型三角函数的图像-中等难度-习题

正弦型三角函数的图像 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 函数的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 函数在区间中的简图如图所示，则函数的解析式可以是 A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，，则 A. B. C. D. 5. 如果函数＋的图象关于点中心对称，那么的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知函数，，则的单调递减区间是 A. B. C. ， D. ， 7. 函数的定义域是 A. B.

C. D. 8. 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为 A. B. C. D. 9. 已知函数对任意实数有恒成立，且，则 实数的值为 A. B. C. 或 D. 10. 已知函数，若对任意的实数，总有，则 的最小值是 A. B. C. D. 11. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得 的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 A. B. C. D. 12. 函数的部分图象如图所示，如果且 ，则等于 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 13. 函数（，）的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为 ．

14. 要得到的图象，可以将的图象向平移个单位长度． 15. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象至少向右平 移个单位长度． 16. 已知，，，是函数一个周期内图象上的四个点，如 图，点，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，点与点关于点对称，在轴上的投影为，则，的值分别为． 17. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是． 三、解答题（共5小题；共65分） 18. 函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求 的最小值． 19. 已知函数的定义域为，最大值为，最小值为，求实数和 的值． 20. 已知函数的图象的一部分如图所示． （1）求的表达式； （2）试写出的对称轴方程． 21. 某同学用“五点法”画函数的图象，先列表，并填写了一些数据，如表： （1）请将表格填写完整，并画出函数在一个周期内的简图；

正弦三角函数查询表(0°-90°)

正弦三角函数查询表（0°-90°）

0.0{0.0000} 0.1{0.0017} 0.2{0.0035} 0.3{0.0052} 0.4{0.0070} 0.5{0.0087} 0.6{0.0105} 0.7{0.0122} 0.8{0.0140} 0.9{0.0157} 1.0{0.0175} 1.1{0.0192} 1.2{0.0209} 1.3{0.0227} 1.4{0.0244} 1.5{0.0262} 1.6{0.0279} 1.7{0.0297} 1.8{0.0314} 1.9{0.0332} 2.0{0.0349} 2.1{0.0366} 2.2{0.0384} 2.3{0.0401} 2.4{0.0419} 2.5{0.0436} 2.6{0.0454} 2.7{0.0471} 2.8{0.0488} 2.9{0.0506} 3.0{0.0523} 3.1{0.0541} 3.2{0.0558} 3.3{0.0576} 3.4{0.0593} 3.5{0.0610} 3.6{0.0628} 3.7{0.0645} 3.8{0.0663} 3.9{0.0680} 4.0{0.0698} 4.1{0.0715} 4.2{0.0732} 4.3{0.0750} 4.4{0.0767} 4.5{0.0785} 4.6{0.0802} 4.7{0.0819} 4.8{0.0837} 4.9{0.0854} 5.0{0.0872} 5.1{0.0889} 5.2{0.0906} 5.3{0.0924} 5.4{0.0941} 5.5{0.0958} 5.6{0.0976} 5.7{0.0993} 5.8{0.1011} 5.9{0.1028} 6.0{0.1045} 6.1{0.1063} 6.2{0.1080} 6.3{0.1097} 6.4{0.1115} 6.5{0.1132} 6.6{0.1149} 6.7{0.1167} 6.8{0.1184} 6.9{0.1201} 7.0{0.1219} 7.1{0.1236} 7.2{0.1253} 7.3{0.1271} 7.4{0.1288} 7.5{0.1305} 7.6{0.1323} 7.7{0.1340} 7.8{0.1357} 7.9{0.1374} 8.0{0.1392} 8.1{0.1409} 8.2{0.1426} 8.3{0.1444} 8.4{0.1461} 8.5{0.1478} 8.6{0.1495} 8.7{0.1513} 8.8{0.1530} 8.9{0.1547} 9.0{0.1564} 9.1{0.1582} 9.2{0.1599} 9.3{0.1616} 9.4{0.1633} 9.5{0.1650} 9.6{0.1668} 9.7{0.1685} 9.8{0.1702} 9.9{0.1719} 10.0{0.1736} 10.1{0.1754} 10.2{0.1771} 10.3{0.1788} 10.4{0.1805} 10.5{0.1822} 10.6{0.1840} 10.7{0.1857} 10.8{0.1874} 10.9{0.1891} 11.0{0.1908} 11.1{0.1925} 11.2{0.1942} 11.3{0.1959} 11.4{0.1977} 11.5{0.1994} 11.6{0.2011} 11.7{0.2028} 11.8{0.2045} 11.9{0.2062} 12.0{0.2079} 12.1{0.2096} 12.2{0.2113} 12.3{0.2130} 12.4{0.2147} 12.5{0.2164} 12.6{0.2181} 12.7{0.2198} 12.8{0.2215} 12.9{0.2233} 13.0{0.2250} 13.1{0.2267} 13.2{0.2284} 13.3{0.2300} 13.4{0.2317} 13.5{0.2334} 13.6{0.2351} 13.7{0.2368} 13.8{0.2385} 13.9{0.2402} 14.0{0.2419} 14.1{0.2436} 14.2{0.2453} 14.3{0.2470} 14.4{0.2487} 14.5{0.2504} 14.6{0.2521} 14.7{0.2538} 14.8{0.2554} 14.9{0.2571} 15.0{0.2588} 15.1{0.2605} 15.2{0.2622} 15.3{0.2639} 15.4{0.2656} 15.5{0.2672}

全站仪三角高程测量方法

应用全站仪进行三角高程测量的新方 在工程的施工过程中，常常涉及到高程测量。传统的测量方法是水准测量、三角高程测量。两种方法虽然各有特色，但都存在着不足。水准测量是一种直接测高法，测定高差的精度是较高的，但水准测量受地形起伏的限制，外业工作量大，施测速度较慢。三角高程测量是一种间接测高法，它不受地形起伏的限制，且施测速度较快。在大比例地形图测绘、线型工程、管网工程等工程测量中广泛应用。但精度较低，且每次测量都得量取仪器高，棱镜高。麻烦而且增加了误差来源。 随着全站仪的广泛使用，使用跟踪杆配合全站仪测量高程的方法越来越普及，使用传统的三角高程测量方法已经显示出了他的局限性。经过长期摸索，总结出一种新的方法进行三角高程测量。这种方法既结合了水准测量的任一置站的特点，又减少了三角高程的误差来源，同时每次测量时还不必量取仪器高、棱镜高。使三角高程测量精度进一步提高，施测速度更快。 一、三角高程测量的传统方法 如图一所示，设A，B为地面上高度不同的两点。已知A点高程H A，只要知道A 点对B点的高差H AB即可由H B=H A+H AB得到B点的高程H B。 此主题相关图片如下： 图中：D为A、B两点间的水平距离 а为在A点观测B点时的垂直角 i为测站点的仪器高，t为棱镜高

HA为A点高程，HB为B点高程。 V为全站仪望远镜和棱镜之间的高差（V=Dtanа） 首先我们假设A，B两点相距不太远，可以将水准面看成水准面，也不考虑大气折光的影响。为了确定高差h AB，可在A点架设全站仪，在B点竖立跟踪杆，观测垂直角а，并直接量取仪器高i和棱镜高t，若A，B两点间的水平距离为D，则h AB=V+i-t 故 H B=H A+Dtanа+i-t （1） 这就是三角高程测量的基本公式，但它是以水平面为基准面和视线成直线为前提的。因此，只有当A，B两点间的距离很短时，才比较准确。当A，B两点距离较远时，就必须考虑地球弯曲和大气折光的影响了。这里不叙述如何进行球差和气差的改正，只就三角高程测量新法的一般原理进行阐述。我们从传统的三角高程测量方法中我们可以看出，它具备以下两个特点： 1、全站仪必须架设在已知高程点上 2、要测出待测点的高程，必须量取仪器高和棱镜高。 二、三角高程测量的新方法 如果我们能将全站仪象水准仪一样任意置点，而不是将它置在已知高程点上，同时又在不量取仪器高和棱镜高的情况下，利用三角高程测量原理测出待测点的高程，那么施测的速度将更快。如图一，假设B点的高程已知，A点的高程为未知，这里要通过全站仪测定其它待测点的高程。首先由（1）式可知: H A=H B-(Dtanа+i-t) （2） 上式除了Dtanа即V的值可以用仪器直接测出外，i,t都是未知的。但有一点可以确定即仪器一旦置好，i值也将随之不变，同时选取跟踪杆作为反射棱镜，假定t值也固定不变。从（2）可知： H A+i-t=H B-Dtanа=W（3） 由(3)可知，基于上面的假设，H A+i-t在任一测站上也是固定不变的.而且可以计算出它的值W。 这一新方法的操作过程如下: 1、仪器任一置点，但所选点位要求能和已知高程点通视。 2、用仪器照准已知高程点，测出V的值，并算出W的值。（此时与仪器高程测定有关的常数如测站点高程，仪器高，棱镜高均为任一值。施测前不必设定。）

三角高程测量

§4-6 三角高程测量 一、三角高程测量原理及公式 在山区或地形起伏较大的地区测定地面点高程时，采用水准测量进行高程测量一般难以进行，故实际工作中常采用三角高程测量的方法施测。 传统的经纬仪三角高程测量的原理如图4－12所示，设A点高程及AB两点间的距离已知，求B点高程。方法是，先在A点架设经纬仪，量取仪器高i；在B点竖立觇标（标杆）， 并量取觇标高L，用经纬仪横丝瞄准其顶端，测定竖直角δ，则AB两点间的高差计算公式为： 故（4-11） 式中为A、B两点间的水平距离。 图4-12 三角高程测量原理 当A、B两点距离大于300m时，应考虑地球曲率和大气折光对高差的影响，所加的改正 数简称为两差改正： 设c为地球曲率改正，R为地球半径，则c的近似计算公式为： 设g为大气折光改正，则g的近似计算公式为： 因此两差改正为：，恒为正值。 采用光电三角高程测量方式，要比传统的三角高程测量精度高，因此目前生产中的三角高程测量多采用光电法。

采用光电测距仪测定两点的斜距S，则B点的高程计算公式为： （4-12) 为了消除一些外界误差对三角高程测量的影响，通常在两点间进行对向观测，即测定hAB 和hBA，最后取其平均值，由于hAB和hBA反号，因此可以抵销。 实际工作中，光电三角高程测量视距长度不应超过1km，垂直角不得超过15°。理论分析和实验结果都已证实，在地面坡度不超过8度，距离在1.5km以内，采取一定的措施，电磁波测距三角高程可以替代三、四等水准测量。当已知地面两点间的水平距离或采用光电三角高程测量方法时，垂直角的观测精度是影响三角高程测量的精度主要因素。 二、光电三角高程测量方法 光电三角高程测量需要依据规范要求进行，如《公路勘测规范》中光电三角高程测量具体要求见表4-6。 表4-6 光电三角高程测量技术要求 往返各 注：表4-6中为光电测距边长度。 对于单点的光电高程测量，为了提高观测精度和可靠性，一般在两个以上的已知高程点上设站对待测点进行观测，最后取高程的平均值作为所求点的高程。这种方法测量上称为独立交会光电高程测量。 光电三角高程测量也可采用路线测量方式，其布设形式同水准测量路线完全一样。 1．垂直角观测 垂直角观测应选择有利的观测时间进行，在日出后和日落前两小时内不宜观测。晴天观测时应给仪器打伞遮阳。垂直角观测方法有中丝法和三丝法。其中丝观测法记录和计算见表4-7。表4-7 中丝法垂直角观测表 点名泰山等级四等 天气晴观测吴明 成像清晰稳定仪器Laica 702 全站仪记录李平 仪器至标石面高1.553m 1.554 平均值1.554m 日期2006.3.1

高中数学 三角函数：正弦、余弦、正切

三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =， 当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1； 当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取 最小值－1。 （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴 的交点）。 （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心 有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 具有单调性。如下图：

正弦三角函数查询表(0°-90°)之令狐文艳创作

正弦三角函数查询表（0°-90°） 0.0{0.0000} 0.1{0.0017} 0.2{0.0035} 0.3{0.0052} 0.4{0.0070} 0.5{0.0087} 0.6{0.0105} 0.7{0.0122} 0.8{0.0140} 0.9{0.0157} 1.0{0.0175} 1.1{0.0192} 1.2{0.0209} 1.3{0.0227} 1.4{0.0244} 1.5{0.0262} 1.6{0.0279} 1.7{0.0297} 1.8{0.0314} 1.9{0.0332} 2.0{0.0349} 2.1{0.0366} 2.2{0.0384} 2.3{0.0401} 2.4{0.0419} 2.5{0.0436} 2.6{0.0454} 2.7{0.0471} 2.8{0.0488} 2.9{0.0506} 3.0{0.0523} 3.1{0.0541} 3.2{0.0558} 3.3{0.0576} 3.4{0.0593} 3.5{0.0610} 3.6{0.0628} 3.7{0.0645} 3.8{0.0663} 3.9{0.0680} 4.0{0.0698} 4.1{0.0715} 4.2{0.0732} 4.3{0.0750} 4.4{0.0767} 4.5{0.0785} 4.6{0.0802} 4.7{0.0819} 4.8{0.0837} 4.9{0.0854} 5.0{0.0872} 5.1{0.0889} 5.2{0.0906} 5.3{0.0924} 5.4{0.0941} 5.5{0.0958} 5.6{0.0976} 5.7{0.0993} 5.8{0.1011} 5.9{0.1028} 6.0{0.1045} 6.1{0.1063} 6.2{0.1080} 6.3{0.1097} 6.4{0.1115} 6.5{0.1132} 6.6{0.1149} 6.7{0.1167} 6.8{0.1184} 6.9{0.1201} 7.0{0.1219} 7.1{0.1236} 7.2{0.1253} 7.3{0.1271} 7.4{0.1288} 7.5{0.1305} 7.6{0.1323} 7.7{0.1340} 7.8{0.1357} 7.9{0.1374} 8.0{0.1392} 8.1{0.1409} 8.2{0.1426} 8.3{0.1444} 8.4{0.1461} 8.5{0.1478} 8.6{0.1495} 8.7{0.1513} 8.8{0.1530} 8.9{0.1547} 9.0{0.1564} 9.1{0.1582} 9.2{0.1599} 9.3{0.1616} 9.4{0.1633} 9.5{0.1650} 9.6{0.1668} 9.7{0.1685} 9.8{0.1702} 9.9{0.1719} 10.0{0.1736} 10.1{0.1754} 10.2{0.1771} 10.3{0.1788} 10.4{0.1805} 10.5{0.1822} 10.6{0.1840} 10.7{0.1857} 10.8{0.1874} 10.9{0.1891} 11.0{0.1908} 11.1{0.1925} 11.2{0.1942} 11.3{0.1959} 11.4{0.1977} 11.5{0.1994} 11.6{0.2011} 11.7{0.2028} 11.8{0.2045} 11.9{0.2062} 12.0{0.2079} 12.1{0.2096} 12.2{0.2113} 12.3{0.2130} 12.4{0.2147} 12.5{0.2164} 12.6{0.2181} 12.7{0.2198} 12.8{0.2215} 12.9{0.2233} 13.0{0.2250} 13.1{0.2267} 13.2{0.2284} 13.3{0.2300} 13.4{0.2317} 13.5{0.2334} 13.6{0.2351} 13.7{0.2368} 13.8{0.2385} 13.9{0.2402} 14.0{0.2419} 14.1{0.2436} 14.2{0.2453} 14.3{0.2470} 14.4{0.2487} 14.5{0.2504} 14.6{0.2521} 14.7{0.2538} 令狐文艳

三角高程测量

三角高程测量 ※内容概述： 本讲概述了三角高程测量原理，并进一步论述了三角高程测量的实施，包括三角高程测量的观测、计算及其精度的要求，简单介绍了三种精度估算：观察高差中误差、对向观测高差闭合差的限差、三角形高差闭合差。 ※教学目的： 1、了解三角高程测量的原理、及高程测量的基本测绘知识 2、掌握三角高程的测量和计算方法。 ※内容详述： §7.1 三角高程测量的原理 山地测定控制点的高程，若用水准测量，则速度慢，困难大，故可采用三角高程测量的方法。但必须用水准测量的方法在测区内引测一定数量的水准点，作为高程起算的依据。 图7-1 三角高程测量原理 三角高程测量是根据两点的水平距离和竖直角计算两点的高差。 当两点距离大于300m时，应考虑地球曲率和大气折光对高差的影响。三角高程测量，一般应进行往返观测（双向观测），它可消除地球曲率和大气折光的影响。 §7.2 三角高程测量的实施 一、三角高程测量的观测 在测站上安置经纬仪，量取仪器高iA；在目标点上安置标杆或觇牌，量取觇标高VB。iA和VB用小钢卷尺量2次取平均，读数至1mm。用经纬仪望远镜中丝瞄准目标，将竖盘水准管气泡居中，读竖盘读数，盘左盘右观测为一测回，此为中丝法。竖直角观测的测回数及限差规定见表7-1。

表7-1 竖直角观测测回数与现差 项目 一、二、三级导线 图根 导线 DJ2 DJ6 DJ 6 测回数 1 2 1 各测回竖直角互差 15" 25" 25" 各测回指标差互差 15" 25" 25" 如果用电磁波测距仪测定斜距D′，则按相应平面控制网等级的测距规定 二、三角高程测量的计算 三角高程测量——测量地面点高程的一种方法。在测站点上测定至照准点的高度角，量取测站点仪器高和照准点觇标高。若已知两点间的水平距离厅，根据三角学原理按下式求得两点间的高差为： h ＝S×tgα+仪器高一觇标高 由对向观测所求得往、返测高差(经球气差改正)之差f △h 的容许值为： f △h =±0.1 D (m) 式中:D 为两点间平距，以km 为单位。 图7-2所示为三角高程测量控制网略图，在A 、B 、C 、D 四点间进行三角高程测量，构成闭合线路，已知A 点的高程为234.88m ，已知数据及观测数据注明于图上，在表6.18中进行高差计算。本例水平距离D 为已知。 图7-2 三角高程测量实测数据略图 由对向观测所求得高差平均值，计算闭合环线或附合线路的高差闭合差的容许值为： 式中:D 以km 为单位。 三、 三角高程测量的精度 1、观测高差中误差 如何估算三角高程测量外业的精度，在理论上很难推导出一个普遍适用的精度估算公式。我国根据

三角高程测量的计算公式

三角高程测量的计算公式 如图6.27所示，已知A点的高程H A，要测定B点的高程 H B，可安置经纬仪于A点，量取仪器高i A；在B点竖立标杆，量取其高度称 为觇 B 标高v B；用经纬仪中丝瞄准其顶端，测定竖直角α。如果已知AB两点间的水平距离D （如全站仪可直接测量平距），则AB两 点间的高差计算式为： 如果当场用电磁波测距仪测定两点间的斜距D′，则AB两点间的高差计算式为： 以上两式中，α为仰角时tanα或sinα为正，俯角时为负。求得高差h AB以后，按下式计算B 点的高程： 以上三角高程测量公式(6.27)、(6.28)中，设大地水准面和通过A、B点的水平面为相互平行的平面，在较近的距离(例如200米)内可 以认为是这样的。但事实上高程的起算面——大地水准面是一曲面，在第一章1.4中已介绍了水准面曲率对高差测量的影响，因此由三 角高程测量公式(6.27)、(6.28)计算的高差应进行地球曲率影响的改正，称为球差改正f1，如图6.28(见课本）所示。按(1.4)式： 式中:R为地球平均曲率半径，一般取R=6371km。另外，由于视线受大气垂直折光影响而成为一条向上凸的曲线，使视线的切线方向向 上抬高，测得竖直角偏大，如图6.28所示。因此还应进行大气折光影响的改正，称为气差改正f2，f2恒为负值。 图6.23 三角高程测量

图6.24 地球曲率及大气折光影响 设大气垂直折光使视线形成曲率大约为地球表面曲率K倍的圆曲线(K称为大气垂直折光系数)，因此仿照(6.30)式，气差改正计算公式 为：

球差改正和气差改正合在一起称为球气差改正f，则f应为： 大气垂直折光系数K随气温、气压、日照、时间、地面情况和视线高度等因素而改变，一般取其平均值，令K=0.14。在表6.16中列出水 平距离D=100m-200m的球气差改正值f，由于f1>f2，故f恒为正值。 考虑球气差改正时，三角高程测量的高差计算公式为： 或 由于折光系数的不定性，使球气差改正中的气差改正具有较大的误差。但是如果在两点间进行对向观测，即测定h AB及h BA而取其平均 值，则由于f2在短时间内不会改变，而高差h BA必须反其符号与h AB取平均，因此f2可以抵消，f1同样可以抵消，故f的误差也就不起 作用，所以作为高程控制点进行三角高程测量时必须进行对向观测。

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道 )c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22= +=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 22= D ．22 m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 1 21)cos (sin 22-=-+m θθ

做模具-三角函数计算方法及快速查询表

例题：已知斜边C=20, 角度θ=35度求对边A及邻边B 对边A =斜边C * Sinθ= 20 * Sin (35) = 20 * = 这里为你提供了sin,cos,tan不同角度的表值，精确度也很高了，相信对你有用sin1= sin2= sin3= sin4= sin5= sin6= sin7= sin8= sin9= sin10= sin11= sin12= sin13= sin14= sin15= sin16= sin17= sin18= sin19=0. sin20=0. sin21= sin22= sin23= sin24= sin25= sin26= sin27= sin28= sin29= sin30= sin31= sin32= sin33= sin34= sin35= sin36=0. sin37= sin38= sin39=0.

sin40=0. sin41=0. sin42= sin43= sin44= sin45= sin46= sin47= sin48= sin49= sin50= sin51= sin52= sin53= sin54= sin55= sin56=0. sin57=0. sin58= sin59= sin60=0. sin61= sin62=0. sin63= sin64= sin65=0. sin66= sin67=0. sin68= sin69=0. sin70= sin71= sin72= sin73=0. sin74= sin75=0. sin76=0. sin77=0. sin78= sin79= sin80= sin81= sin82=0. sin83= sin84= sin85= sin86= sin87=0. sin88=0. sin89=0. sin90=1 cos1=0. cos2=0. cos3=0. cos4= cos5= cos6= cos7= cos8=0. cos9= cos10= cos11= cos12= cos13=0. cos14=0. cos15=0. cos16= cos17=0. cos18= cos19= cos20= cos21=0. cos22= cos23=0. cos24= cos25=0. cos26= cos27= cos28= cos29= cos30=0. cos31= cos32= cos33= cos34=0. cos35= cos36= cos37= cos38= cos39= cos40= cos41= cos42= cos43= cos44= cos45= cos46= cos47= cos48= cos49=0. cos50=0. cos51=0.

2(2)正弦型三角函数Asin(wx+)

正弦型三角函数Asin （wx+?）（A>0,w>0） 知识回顾： 图象的画法 （1）五点法 y=2sin （2x+ π） （2）图像变换 ①先平移后伸缩②先伸缩后平移 思考：（1）y=2sin （2x+3π ）可以由y=cosx 图象怎样变换得到？ （2）y=2sin （2x+3π ）怎样平移才能变成奇函数？ （3）y=2sin （2x+3 π ）怎样平移才能变成偶函数？ y= Asin （wx+?）的性质：通过换元，用wx+?替换x 得到性质 随堂练习： 1.求下列各函数的值域和最值 （1）4cos （2x- 3 π），x ∈[65,3ππ];（2）y=2cos 2x+5cosx-2 2.求下列的函数的单调区间 （1）y=sin （x+ 4π）；（2）y=cos （2x-3 π） 3.求下列函数的定义域 （1）y=tan （ x -4π ）；（2）y=csc （5x- 6π）；（3）y=tan （6x+3 π ） 4.求下列函数的对称轴和对称中心 （1）y=sin （x-4π）；（2）y=cos （2x+3π ） 5.判断y=x x x x cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性（推论） 6.判断下列函数是否为周期函数，若是周期函数，求其最小正周期 （1）y=tan 2 x ；（2）y =｜sinx ｜；（3）y=sin ｜x ｜；（4）y=sin （2x-3 π ） 7.判断sinx=lgx 的根的个数 8.已知函数f （x ）= Asin （wx+ ?）+k （A>0，w>0，｜?｜<2 π） ，在同一周期内的最高点

是（2,2），最低点是（8，-4），求f （x ）的解析式。 9. （1） ()()? ?? ?? <>>∈+=200π?ω?ω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是 A ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=62ππ B ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=622ππ C ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=32ππ D ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=322ππ （2）已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?π>< 的一段图象如下图所示，则()f x 的解析式为 . （3）已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间 []02π， 的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1 B ．2 C ．21 D ． 31 10.若函数f （x ）=sin （2x+?）是奇函数，求?的值 11.把函数y=cos （x+ 3 4π ）的图像向右平移?（?>0）个单位长度得到的图像正好关于y 轴对称，则?的最小值为 。 12.已知函数f （x ）=sin （ 3k x+4 π），使f （x ）的周期在（32，34）内，则正整数k= 。 13.函数f （x ）=tanwx 在区间（-2π，2 π ）内单调递减，求实数w 的取值范围。

正弦型三角函数专题训练

正弦型三角函数专题训练(二十四) 1．(优质试题·江苏无锡模拟)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π 2 ，π]上的简图是( ) 答案 A 解析 令x ＝0得y ＝sin(－π3)＝－3 2，排除B 、D 项．由f(－π3)＝0，f(π6)＝0，排除C 项．故 选A. 2．(优质试题·西安九校联考)将f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移π 6个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，则g(π 2)＝( ) A. 3 2 B ．－ 32 C.12 D ．－12 答案 C 解析 由题意得g(x)＝cos(x －π6)，故g(π2)＝cos(π2－π6)＝sin π6＝1 2 . 3．(优质试题·山东)要得到函数y ＝sin(4x －π 3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( ) A ．向左平移π 12个单位 B ．向右平移π 12个单位 C ．向左平移π 3个单位 D ．向右平移π 3 个单位 答案 B 解析 y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π 12个单位．故选 B.

4．(优质试题·课标全国Ⅰ，理)已知曲线C 1：y ＝cosx ，C 2：y ＝sin(2x ＋2π 3)，则下面结论正 确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6个 单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个 单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单 位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单 位长度，得到曲线C 2 答案 D 解析 本题考查三角函数图像的变换、诱导公式．C 1：y ＝cosx 可化为y ＝sin(x ＋π 2)，所以 C 1上的各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，得函数y ＝sin(2x ＋π2)的图像，再将得到的曲线向左 平移π12个单位长度得y ＝sin[2(x ＋π12)＋π2]，即y ＝sin(2x ＋2π 3 )的图像，故选D. 5．(优质试题·北京，理)将函数y ＝sin(2x －π3)图像上的点P(π4，t)向左平移s(s>0)个单位长 度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上，则( ) A ．t ＝1 2，s 的最小值为π6 B ．t ＝3 2，s 的最小值为π6 C ．t ＝1 2，s 的最小值为π3 D ．t ＝ 3 2，s 的最小值为π3 答案 A 解析 因为点P(π4，t)在函数y ＝sin(2x －π3)的图像上，所以t ＝sin(2×π4－π3)＝sin π6＝1 2.又P ′ (π4－s ，12)在函数y ＝sin2x 的图像上，所以1 2＝sin2(π4－s)，则2(π4－s)＝2k π＋π6或2(π4－s)＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s>0，故s 的最小值为π 6 .故选A.

正弦三角函数的图像与性质

《正弦三角函数的图像和性质》说课稿 尊敬的各位评委老师好！ 今天我说课的题目是《正弦函数的图像和性质》，选自高职数学基础模块上册第五章第六单元第一节第二课时。下面我将从教材分析、教法设计、学法指导、教学过程、板书设计、教学反思等方面对本节课作以简要说明。 一、说教材 1、本节课在教材中的地位及作用 学生在过去已经学习了六种函数，之前还学过三角函数概念、诱导公式等。在这个时候学习《正弦函数的图像和性质》，一是能让学生更好把握函数的思想，明确研究函数的出发点，二是为以后学习余弦函数、正切函数图像及性质奠定了基础。因此，本节的内容地位十分重要，它对函数知识的学习将起到了承上启下的作用。 2、学情分析及对策 我所授课的班级学生实际状况是：基础知识相对薄弱，表达概括能力较差，理论联系实际不灵活。因此我在教学中应运直观的图形，由易到难、由浅入深的教法，有助于学生对知识的理解和掌握。通过一课时的讲授，指导学生观察，分析、归纳、总结、掌握正弦函数的性质。 3、教学目标 根据中等职业学校数学教学大纲要求，本节课教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和职业学校学生的实际水平，制定本节课的

教学目标如下： ▲知识目标： （1）能利用“五点法”作出正弦函数的图像。 （2）理解掌握正弦函数的图像和性质 ▲能力目标： （1）根据正弦函数的性质对正弦函数的图像作出简单的变形应运。（2）培养学生的观察、分析、归纳和表达能力。 ▲情感态度与价值观：在教学过程中让学生体验数学既是抽象的，又是具体的，同时让学生感受数学美，加强学生的美学教育。 4.教学重点、难点 为了使学生能更好学习正弦函数的图像和性质，为以后学习余弦函数、正切函数提供方法保障，因此确定以下重难点。 教学重点：1.能利用“五点法”作出正弦函数的图像 2.理解掌握正弦函数的图像和性质 教学难点：正弦函数图像的简单变形应运 5、教学方法：引导发现法，数形结合法。 二、说教学方法 “教学有法，教无定法，贵在得法。”根据本节课教学特点，为了更好地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，我将采用的主要教法是： 1、引导发现法：通过一个周期内的正弦函数图像引导得出整个定义域内函数图像的形状和走势，通过观察图形得出出函数性质。

三角函数公式表(全)

三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 sinα/cosα＝tanα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左 正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的 积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方 和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点 的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的 乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝———----——— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————-------— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)