KS5U2010届新课标数学考点预测（25）：
函数与方程的思想方法
山东省兖州市第六中学(邮编272100)
徐洪艳(手机号:139********)
《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度”。“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。”数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。一、函数与方程的思想
所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。
所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。
函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
1、利用函数与方程的性质解题
例1．（2008安徽卷，理,11）若函数(),()
f x
g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足
-=，则有（）
f x
g x e
()()x
A．(2)(3)(0)
g f f
<<
f f g
< C．(2)(0)(3) << g f f f g f < 分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的(),() f x g x都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用x -替换x，从而得到两个方程组成方程组解出。 解：因为()()x ---=因为函数(),() f x g x e- f x g x e -=，用x-替换x得：()(),x f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，所以()()x f x g x e -+=-，又()()x f x g x e -= 解得：(),() 2 2 x x x x e e e e f x g x ---+= =-，而)(x f 单调递增且()00f =，∴ ()()320f f >>大于等于 0，而1)0(-=g ，故选D 。 答案：D 评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。 2、构造函数解题 例2. (2008天津卷，理，16）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有2,y a a ??∈??满足方程c y x a a =+l o g l o g ，这时，a 的取值的集合 为 。 分析:题目给出的方程中含有,,,x y a c 等多个字母，而条件中是对任意的[]a a x 2,∈都有 2 ,y a a ??∈?? ，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y 的函数，再进一步研究函数的性质。 解：由已知c y x a a =+log log ，得c a y x = （其中[,2]x a a ∈），函数为反比例函数，在 [],2a a （1>a ）上为单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，1 1 [ ,]2 c c a y a --∈又因为对于任意的 []a a x 2,∈，都有2 ,y a a ??∈?? ，所以11 2 2log 223a c c a c a a c a --????????? ≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}。 答案：{2} 评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。 3、函数与方程、不等式的转化 例3．（2008广东卷，理14)已知a ∈R ，若关于x 的方程2104 x x a a ++- +=有实根， 则a 的取值范围是 ． 分析：求参数a 的范围，可以先将a 分离出来，表示为x 的函数，求出函数的值域，进而得到参数a 的范围 解：方程即2 2 1 111[0,]4244a a x x x ? ?-+=--=-++∈ ?? ?,利用绝对值的几何意义,得 111 4 4 4a a a a - +≤- +≤ ，可得实数a 的取值范围为10,4?? ???? 评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到a 的不等式，求得参数a 的范围。 例4．（福建德化一中2008，理）若关于x 的方程2 210x kx +-=的两根12x x 、满足 12 12x x -?<0<，则k 的取值范围是（ ） A ．3(,0)4- B ．3(,0]4 - C ． 3 (0,)4 D ．3 [0,)4 分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。 解：设函数()221f x x kx =+-，∵关于x 的方程2210x k x +-=的两根12x x 、满足 12 12x x -?<0<，∴()()()100020f f f ?-≥?? 即20 10430k k -≥?? -?∴304k -<≤，故选择B 。 答案：B 评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。 4、函数与方程在立体几何中的应用 例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点P 在正方体1111ABC D A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ） 分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由 M N 的特殊性与平面11 BB D D 垂直，可以把M N 向平面ABC D 内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。 解：设正方体的棱长为a ，由图形的对称性知P 点始终是M N 的中点， 而且随着P 点从B 点向BD 的中点滑动，y 值逐渐增大到最大，再由中 点向1D 点滑动，而逐渐变小，排除,,A C ，把M N 向平面ABC D 内正投 影得''M N ，则''M N =MN y = ，由于1 '3 BP BD BP BD = = = ， ∴'3 B P = ，所以当2 x ≤ 时，2'3 M N y BP === 为一次函数，故选B 答案：B 评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。 5、函数与方程在解析几何中的应用 例6．（2008山东淄博）若1F 、2F 分别是椭圆 2 2 14 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF 2PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点M (1，)2的直线l 与椭圆交于两不同的点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. B A B A C D N P A 1 B 1 C 1 D 1 'M 'N C 分析：（Ⅰ）中可以设出P 点的坐标，用坐标表示出1PF 2PF ?，得到函数求最值。（Ⅱ）中研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。 解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 2,1,a b c === 所以 ( )) 12 0,0F F ，设() ,P x y 则( )) 2 2 12,,,3 PF PF x y x y x y ?=--=+- 又 2 2 1 4 x y += ∴ 21PF PF ?()2 2 2 1 13384 4 x x x =+- -= - []2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ? 有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ? 有最大值1． 解法二：易知2,1,a b c === ( )) 12 0,0F F ，设() ,P x y 则2 22 1 2121212121212 cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=?? ? ( ( 2 2 2 2221123 2x y x y x y ? ? = +++- +-=+-??? ? （以下同解法一） （Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即0x =时，不满足题设条件 可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立 22 142 x y y kx ??+=??=+? 得 ()22424x k x ++= 即 () 2 2 2 1416120k x kx +++= ∴ 122 1214x x k = +，122 1614k x x k +=- + 由2 2 (16)4(14)120k k ?=-?+?> 即 2 430k -> 解得 234 k > ① 又A O B ∠为锐角cos 00AOB OA OB ?∠>??> 图4 ∴ 121 20O A O B x x y y ?=+ > ∴ 2 1212 1212 (2)(2)2()4 y y k x k x k x x k x x =++=+++ ∴ 1212 x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++ 2 2 2 1216(1)2(41414k k k k k =+? +?- +++ 2 2 2 12(1)21641414k k k k k +?= - +++ 2 2 4(4)014k k -= >+ ∴ 2 144 k -<< ② 综①、②可知 2 344 k << ∴ k 的取值范围是(2,2)2 2 -- ． 评注：解析几何中点的坐标，线的方程都与函数、方程是相通的，可以利用函数与方程的 思想解答问题。在解方程组时要注意保证方程组有两不同的解，求得参数的取值范围。 例7．（2008广东卷，理18）设0b >，椭圆方程为 222 2 12x y b b + =，抛物线方程为 2 8()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的 交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得A B P △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 分析：本题中的抛物线可以看作为二次函数，抛物线在点G 的切线的斜率就是该点处的函数的导数，由此可以写出此切线方程，从而得到椭圆的右焦点1F 的坐标，进而求出椭圆和抛物线的方程，（2）为探索结论问题，A B P △为直角三角形自然要考虑谁是直角，所以需要分类讨论，并转为方程确定其解的个数。 解：（1）由2 8()x y b =-得218 y x b =+，当2y b =+得4x =±， ∴G 点的坐标为(4,2)b +，1 '4 y x = ，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为 2 212 x y +=和2 8(1)x y =-； （2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的R t A B P ?只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的R t A B P ?只有一个。若以APB ∠为直角，设P 点坐标为 2 1 (, 1)8x x +，A 、B 两点的坐标分别 为(0) 和0)， 222 421152(1)108644 P A P B x x x x =-++=+-= 。 关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解， 即以APB ∠为直角的R t A B P ?有两个，因此抛物线上存在四个点使得A B P ?为直角三角形。 评注：本题较好地把圆锥曲线问题和函数的导函数结合起来解答问题，一般地，对于已经曲线的某一点处的切线，就要转为函数求导，从而求出其切线。另外，还要注意方程的解的个数的探讨。 例8．（2008湖南，理20）若A 、B 是抛物线y 2 =4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”。已知当x >2时，点P （x ,0）存在无穷多条“相关弦”。给定x 0>2. （I ）证明：点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用x 0表示）：若不存在，请说明理由. 分析：本题（1）研究中点弦问题，可以用点差法，求得中点的坐标从而证明；（2）可用中点的坐标表示出弦长，得到关于中点的纵坐标的函数，再求出函数的值域。 解: （I ）设AB 为点P （x 0,0）的任意一条“相关弦”，且点A 、B 的坐标分别是 （x 1,y 1）、（x 2,y 2）（x 1≠x 2）,则y 2 1=4x 1, y 2 2=4x 2, 两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0. 设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是M （x m , y m ）,则 k= 1212 12 42m y y x x y y y -= =-+.从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2 m m m y y y x x -=- - 又点P （x 0,0）在直线l 上，所以 0().2 m m m y y x x -=- - 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入2 4y x =中， 整理得222 2[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= （·） 则12x x 、是方程（·）的两个实根，且2 122 () .m m y kx x x k -?= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则 2 2 2 2 2 121212()()(1)()l x x y y k x x =-+-=+- 2 2 2 2 121 212 2 2 2 2 224 2 222222 00(1)[()4]4(1)()2() 44(1)[] 4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)]. m m m m m m m m m m m m m m m m m m k x x x x k x x x y x y x y y y x y y y x x x y x x y x =++-=+-- =+- =+-=-+-+=+---=---- 因为0<2m y <4x m =4(x m -2) =4x 0-8,于是设t=2 m y ,则t ∈(0,4x 0-8). 记l 2=g (t )=-[t-2(x 0-3)]2+4(x 0-1) 2. 若x 0>3,则2(x 0-3) ∈(0, 4x 0-8),所以当t=2(x 0-3),即2m y =2(x 0-3)时, l 有最大值2(x 0-1). 若2 所以0 <16(x 0-2),l 不存在最大值. 综上所述，当x 0>3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x 0-1）；当2< x 0≤3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 评注：本题中需要解方程组求弦长，弦长用弦的中点坐标表示出来，可用配方法求得函数的值域。直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常运用函数与方程的思想来解答。 6、函数与方程在导数中的应用 例9．（2008湖南卷，理21）已知函数()()2 2 ln 11x f x x x =+- +. (I) 求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1) n a e n ++ ≤对任意的N *n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求α的最大值. 分析：由导数研究函数的单调性，求得函数的单调区间，不等式1(1) n a e n ++ ≤对任意的 N *n ∈都成立可等价转化为不等式1()ln(1) 1.n a n ++ ≤进而分离出a 来，不等式恒成立转 为函数研究最值问题，可构造函数利用导数研究函数的单调性，从而求出最值。 解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 2 2 2 2 2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1) (1) x x x x x x x f x x x x ++++--'=-= +++ 设2 ()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x -'= -= ++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数. 所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠， 函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当x ＞0时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数. 当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数. 故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞. （Ⅱ）不等式1(1) n a e n ++ ≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++ ≤由111n + >知， 1.1ln(1)a n n ≤ -+ 设(]11(),0,1,ln(1) G x x x x = - ∈+则 2 2 2 2 2 2 1 1(1)ln (1)().(1)ln (1) (1)ln (1) x x x G x x x x x x x ++-'=- + = ++++ 由（Ⅰ）知，2 2 ln (1)0,1x x x +- ≤+即22 (1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2 G =- 所以a 的最大值为 1 1.ln 2 - 评注：第（1）问是为第二问铺垫的，在解答问题（2）时，不等式恒成立问题转化为函数研究最值，利用导数研究单调性，进而研究最值是解决函数最值问题的常用方法。理科的题目常常是超越方程或不等式，要利用导数解答问题。而文科的题基本上是含有参数的三次函数，如下一例题 例10．（2008北京卷，文17）已知函数3 2 ()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 分析：本题从函数的性质入手，利用奇函数的定义，确定函数的解析式，，再由导数研究函数的单调性。 解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数， 所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+． 又32()3f x x ax bx c =+++ 所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+． 所以22a a c c =-?? -=-+?， ． 解得02a c ==，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++． 所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '= 得x =． x 变化时，()f x '的变化情况如下表： ） 所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞- ，上单调递增，在(上单调递减， 在)+∞上单调递增． 当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 评注：()g x 为奇函数是对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-都成立来说的，也就是恒等式，对应项的系数相等，从而确定系数。在研究含有参数的函数的单调性时往往要对参数在分界值处进行分类讨论。 7．函数与方程在数列中的应用 例11．（2008陕西卷，理22）已知数列{}n a 的首项135 a =，1321 n n n a a a += +，12n = ，， ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，211 21(1)3n n a x x x ?? - - ?++?? ≥ ，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2 121 n n a a a n +++> + ． 分析：（1）由递推关系求通项，可以进行变形，构造一个特殊数列求出；（2）不等式的左边只含有n ，右边含有n 和x ，可以看作是关于x 的函数，可证此函数的最大值n a ≤。 解法一：（Ⅰ）1321 n n n a a a += + ，1 1213 3n n a a +∴=+，1 111 113n n a a +??∴ -=- ??? ， 又 1213n a -= ，11n a ??∴- ??? 是以23为首项，1 3为公比的等比数列． ∴112 121333n n n a --= = ，3 32 n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3 032 n n n a = >+， 211 21(1)3n x x x ?? - - ?++?? 211 2111(1)3n x x x ?? =- +-- ?++?? 211 1(1)1(1)n x x x a ?? = - -+? ?++?? 21 12(1)1n a x x =- +++ 2 111n n n a a a x ??=--+ ?+?? n a ≤，∴原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有 1222211 21121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++- -+-- ? ?++++???? ≥ 21121(1)3n x x x ?? ++-- ?++?? 221 2221(1)333n n nx x x ?? = - +++- ?++?? ． ∴取22111222113311333313n n n x n n n ?? - ???? ???=+++= =- ? ?? ?????- ? ? ? ， 则2 2 121111 1113 3n n n n n n a a a n n n +++= > +?? +- + - ??? ≥ ． ∴原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设211 2()1(1)3n f x x x x ?? = - - ?++??， 则2 222 22(1)2(1)2133()(1)(1)(1) n n x x x x f x x x x ????-+--+- ? ? ???? '=--=+++ 0x > ， ∴当23 n x < 时，()0f x '>；当23 n x > 时，()0f x '<， ∴当2 3n x = 时，()f x 取得最大值212313 n n n f a ?? == ???+． ∴原不等式成立． （Ⅲ）同解法一． 评注：本题为利用函数与方程的思想解答数列问题，在求右边函数的最值时，可以用配方法，也可以用导函数求得函数的单调性求其最值。 8.预测题 （1）．（原创）向量()sin cos ,1a x x =+ ，()( ),sin b f x x = ，其中()0,x π∈，//a b ，则函数 ()f x 的值域为（ ） ( ) [ ] 11.0,1.0,.0,1.0,22A B C D ?? ?? + ?? ??? ?? 分析：先由已知求出()f x 的解析式，再由定义域结合函数的图象求出值域 解：∵//a b ，()()21cos 21 sin sin cos sin sin cos sin 222 x f x x x x x x x x -=+=+= + 12242x π? ?= -+ ?? ?，∵()0,x π∈ ∴选B 评注：求函数的值域一定要在函数的定义域内结合函数的图象和性质解决。 （2）．（原创）已知()y f x =是顶点在原点的二次函数，且方程()3x f x -=有一个根2x =，则不等式1 ()()3x f x >的解集是（ ） A ．(2,2)- B ．(2,0)(0,2)-U C ．(0,2) D ．? 分析：可以根据函数()y f x =的图象和对称性，以及函数1 ()3x y =的图象和对称性解答问 题。 解：已知()y f x =是顶点在原点的二次函数知其图象关于原点对称，又()13x g x ?? = ??? 为偶 函数，其图象也关于原点对称，又方程()3x f x -=即1()3x f x ?? = ??? 有一个根2x =，所以不 等式1 ()()3 x f x >的解集是(2,0)(0,2)-U ，故选B 评注：在解决函数问题时，要结合函数的图象和性质解答问题。 （3）．（原创）当(12)x ∈-，时，不等式2 260x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 分析：不等式、方程、函数可以相互转化，可以通过构造函数，借助函数的图象来解答。 解：构造函数：2()26,f x x m x =++(12)x ∈-，．由于当(12)x ∈-，时，不等式 2 260x mx ++<恒成立，等价于在区间()1,2-上函数()f x 的图象位于x 轴下方，由于函 数()f x 的图象是开口向上的抛物线，故只需()()1020f f -≤???≤??即7201040m m -≤??+≤?，解得 5722 m -≤≤ ． 评注：结合函数图象，根据题目的要求列出参数所满足的条件是解决这类问题的另一个有效 方法．特别是对参数以外的另一个变量是一次的情况，这个方法更有效． （4）．（原创） 正方体1111D C B A ABCD -棱长为１，E 为棱1CC 上的动点． ⑴求证：BD E A ⊥1； ⑵当点E 为棱1CC 上的中点时，求证：平面⊥BD A 1平面EBD ； ⑶在棱1CC 上是否存在一点E ，使二面角E BD A --1的大小为?45？若存在，确定 其位置，若不存在，说明理由． 分析：利用有关垂直的判定定理判定，在此基础上解决（3），可以设为x EC =，求的 x 的方程解出。 证明：⑴连结AC ,则AC BD ⊥, ∵⊥EC 平面ABCD ,⊥1AA 平面ABCD , ∴AC 是E A 1在平面ABCD 的上的射影，由三垂线定理知，BD E A ⊥1． ＣＤ 1A 1B 1 C 1 D Ｅ ⑵设BD AC ,交于点Ｏ，连结EO O A ,1， ∵B A D A 11=，∴BD O A ⊥1，同理可证BD EO ⊥， ∴OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角． ∵正方体棱长为１，∴2 6 1= O A ，2 3,23 1= = E A EO ，∴22121EO O A E A +=， ∴OE A 1∠?=90，∴平面⊥BD A 1平面EBD ． ⑶（理科做）假设在棱1CC 上存在一点E ，使二面角E BD A --1的大小为?45， 由⑵知OE A 1∠?=45．设x EC =，则 2 22 2 122x x EO +=+??? ? ??= ，()3212,2 62 2 11+-= -+= = x x x E A O A ， ∴在OE A 1?中，由余弦定理得：OE A EO O A EO O A E A 112 2121cos 2??-+=, ∴2 22 12 622 12 3322 2 2 ? +? ? -++ =+-x x x x ，可化为01822=--x x ， 解得22 32± =x ，由于,022 32<-122 32>+， ∴在棱1CC 上不存在满足条件的点E ．（说明：理科学生也可用空间向量解决此题．） 评注：在确定点的位置时，可以先设出，再解方程求出。 （5）．（原创）在直线1l ：20x y +-=上任取一点M ，使过M 且以双曲线221x y -=的焦 点为焦点的椭圆C 的长轴最短 （1）求椭圆C 的方程 （2）若一直线2l :y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是椭圆的顶点），以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线2l 过定点，并求出该定点的坐标. 分析：由已知条件判断出所求的椭圆的方程形式,再根据图形和椭圆的定义解决定量,,a b c 的值,从而求得椭圆方程,并通过解方程组研究直线与椭圆的位置关系, 以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点,说明有互相垂直的关系,从而由韦达定理解答问题即可. 解：（1）∵双曲线221x y - =的焦点为 ())120,0F F ,∴椭圆C 的焦点为 ( )) 12 0,0F F ,设椭圆的方程为 222 2 1x y a b + = ,) 2 0F 关于直线1l ：20x y +-=的 对称 点为(2,2P -,连接1F P 交直线1l ：20x y +-=于点 M,则 12112a M F M F M F M P F P =+= +== =,∴1a b ==∴椭 圆的方程为 2 2 13 x y +=,椭圆的上顶点为()0,1Q （2）由方程组22 13 y kx m x y =+???+=? ?得()2 213x kx m ++=,即222 12103k x kmx m ??+++-= ???, △=() 22 22 221 1144140333k m k m k m ????-+-=-+> ? ???? ?,即22310k m -+>, 设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则122 613km x x k +=- +,( ) 2 122 3113m x x k -= +, ∴()12122 2213m y y k x x m k +=++= +, ()()()() 2 2 2222 2 2 2 121212122 2 2 31 63131313k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++= - += +++∵以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点()0,1Q ，∴AQ BQ ⊥∴()()1212110x x y y +--=, 即()12121210x x y y y y +-++=,∴ ( ) 2 22 2 2 2 313210131313m m k m k k k --+ - +=+++,化简得 2 210m m --= ,∴1m =或12 m =- .当1m =时,直线2l :1y kx =+过定点()0,1Q 与已知矛盾. 当12 m =-时, 满足22310k m -+>,此时直线2l 为:12 y kx =-过定点10,2? ? - ?? ? ,∴直线2l 过定点10,2? ?- ??? . 评注：解决圆锥曲线问题,要注重圆锥曲线的基础知识的考查, 从定义、标准方程、性质,到直线与圆锥曲线位置关系的讨论,做到熟悉常规解法,要注重数形结合的思想和解方程的思想的渗透.要求思维要严密,运算精湛. （6） (2008年潍坊市,改编)定义在(0,)+∞的两个函数()f x 和()g x ,已知 2 ()l n ,()20 f x x a x g x a x = -=+,且()f x 在2x =处取极值. （I ）求a 的值及()f x 和()g x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 和()g x 的图象的交点个数，并说明道理.（其中ln 20.7≈） 分析: 由()f x 在2x =处取极值,可求得a 的值,,求导确定其单调区间,（3）可构造函数由函数的单调性研究方程的解,即曲线的交点. 解（Ⅰ）由题意：()2 ln f x x a x =-,∴()'2a f x x x =- ,∵()f x 在2x =处取极值. ∴()'2402 a a f x x x =- =- =∴8a = …………………………………………… 2分 ∴()2 8ln f x x x =-∴()()() 2228'2x x f x x x x +-=- = ∵定义域为(0,)+∞,∴当02x <<时,()'0f x <, ()f x 为减函数; 当2x >时, ()f x 为增函数. ∴()f x 的减区间为(]0,2, 增区间为[)2,+∞.………4分 而()20,'()1g x x g x =-=- ()1016 x x =- == 令g'得. 当16x >时, '()10g x =- > ∴()g x 在(16+∞，）上为增函数; 当016x <<时,'()10g x =- <, ∴()g x 在(016，） 上为减函数. ∴()g x 的减区间为(]0,16, 增区间为[)16+∞， （Ⅱ）()2 8ln f x x x =-与()20g x x =-的图象的交点个数, 2 2 h x x x 20.++（）=- 则) 1 428h (x ).x x '=- = ∴当x (0,4)∈时，1 1h (x )0,h (x )'<为减函数. 当x (4,)∈+∞时，1 1h (x )0,h (x )'>为增函数. 当4x = 时1h (x )8ln x =最小, 最小为()161ln 2 4.8-≈而2 2211h (x )x x 20=x 2024? ?=-++--++ ?? ?的 图象开口向下的抛物线.当4x =时,()28h x = ∴()1h x 与()2h x 的大致图象如图： ∴()1h x 与()2h x 的交点个数为2个,即()f x 和()g x 的图象的交点个数为2个. 评注:本题中的（3）研究两条曲线的交点,解方程（组）比较麻烦,需要转为函数,利用函数的单调性进一步判断出交点的个数.
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