湖北省荆州中学高二下学期期中（数学理）
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分
第1小题：
评卷人得分
用数学归纳法证明第一步应验证等于（）
A ．B．C．D ．
【答案解析】D
第2小题：
复数，则的共轭复数对应点在（）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案解析】B
第3小题：
①从牛奶生产线上每隔30分钟取一袋进行检验；②从本年级20个班中任取三个班进行学情调查。则下列说法正确的是（）
A. ①是分层抽样，②是简单随机抽样;
B. ①是系统抽样，②是简单随机抽样;
C. ①是系统抽样，②是分层抽样;
D. ①是分层抽样，②是系统抽样;
【答案解析】B
第4小题：
某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）
A．种 B．种 C．种D．种
【答案解析】A
第5小题：
有关命题的说法错误的是：（）
A．命题“若则”的逆否命题为：“若, 则”.
B．“”是“”的充分不必要条件.
C．若为假命题，则、均为假命题.
D．若命题：存在。则为：任给
【答案解析】C
第6小题：
关于正态曲线性质的描述，正确的是（）
①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；
②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；
③曲线最高点的纵坐标是，且曲线没有最低点；
④当越大，曲线越“高瘦”，当越小，曲线越“矮胖”。
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案解析】B
第7小题：
曲线（）
A．B． C．D．
【答案解析】B
第8小题：
以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）
A．B．（2，0）C．（4，0）D．
【答案解析】B
第9小题：
若，则事件A与B的关系是（）
A．互斥不对立； B．对立不互斥； C．互斥且对立； D．以上答案都不对；
【答案解析】D
第10小题：
已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）
A. 6x－5y－28=0
B.6x+5y－28=0
C. 5x+6y－28=0
D. 5x－6y－28=0
【答案解析】A
第11小题：
.
【答案解析】8
在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列，已知
，且样本容量为500，则小长方形面积最大的一组的频数为.
【答案解析】200
第13小题：
在集合内任取一个元素，则满足不等式的概率是；
【答案解析】
第14小题：
在如下程序框图中，已知：，则输出的是________.
【答案解析】
第15小题：
有一堆数量足够多的规格一样的正方体模具，计划从现有的6种颜色涂料中选出5种颜色涂料对以上模具进行染色，要求每个面只染一种颜色，每两个有公共棱的面不能同色，恰用了5种颜色，称为“五色模具”，若有两个正方体经翻转后，6个面颜色都对应相同，则视为相同“五色模具”，则可得到不同的“五色模具”的个数为.
【答案解析】90
第16小题：
(本题满分12分)已知展开式中的倒数第三项的二项式系数为.
（1）求展开式所有项的系数之和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项 .
【答案解析】解：（1）由已知得，
令，则可得展开式所有项系数和为
（2）展开式共有11项，故展开式中二项式系数最大的项是第6项
(本题满分12分) 如图，在正方体中，E、F分别是棱的中点．
（１）证明；
（２）求与所成的角；
（３）证明：面面.
【答案解析】方法1（坐标法解答前两问）
（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得（1分）
D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A1(2a,0,2a) =（-2a,0,0）,=(0,a, -2a),
∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0, ∴，即。（4分）
（2）解：∵，=(0,a, -2a),
∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0
∴cos&(*);,&(*);==0,
即,的夹角为90°，所以直线AE与D1F所成的角为直角。.（8分）
（3）证明：由（1）、（2）知D1F⊥AD，D1F⊥AE, 而AD∩AE=A，
∴D1F⊥平面AED，
∵D1F平面A1FD1∴平面AED⊥平面A1FD1.（12分）
方法2（综合法）
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1。
又DF1DC1，所以AD⊥D1F. （4分）
（2）取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。（8分）
（3）与上面解法相同。
第18小题：
(本小题满分12分) 如图所示,有两个独立的转盘、.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为为、、.用这两个转盘玩游戏，规则如下：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘指针对的数为，转盘指针对的数为.记的
值为,每转动一次则得到奖励分分.
（１）求&(*);2且&(*);1的概率；
（２）求某人玩一次这种游戏可得奖励分的期望值；
（３）某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？
【答案解析】解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=；
P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=
则P（&(*);2）=P（=1）=，
P（&(*);1）=P（=2）+P（=3）=+=
所以P（&(*);2且&(*);1）=P（&(*);2）P（&(*);1）=…………………………………….5分
（Ⅱ）由条件可知的取值为：2、3、4、5、6.则的分布列为：
2
3
4
5
6
P
他平均一次得到的钱即为的期望值：
..…………………………………………………….. 10分
(III)玩12次，平均可以得到分..……………………………………………………..12分
第19小题：
（本小题满分12分）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前约降低多少吨标准煤？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，．
【答案解析】解：(1)=3 2.5+43+54+64.5=66.5==4.5
==3.5
故线性回归方程为y=0.7x+0.35 8分
(2)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量约为0.7100+0.35=70.35
故耗能约减少了90-70.35=19.65(吨) 12分
第20小题：
（本小题满分13分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线相交于坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，从点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过点M（－2，0）和线段AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围
【答案解析】解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为……………………………………………2分
故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为
∴，∴双曲线C的方程为……………………………4分
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
① ………………………………………6分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）
则
代入①并整理得点N的轨迹方程为…………………8分
（3）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根.
因此
又AB中点为
∴直线L的方程为……………………………………10分
令x=0，得
∵∴
∴故b的取值范围是…………………………………………13分
第21小题：
（本小题满分14分）设是的两个极值点，的导函数是
（1）如果，求证：；
（2）如果，求的取值范围；
（3）如果，且时，函数的最小值为，求的最大值 .
【答案解析】（1）证明：是方程的两个根 1分
由且得2分
得
3分
（2）解：由第（1）问知由，两式相除得
即 4分
①当时，由即
，5分
令函数，则
在上是增函数
当时，，即7分
②当时，即
令函数则同理可证在上是增函数当时，
综①②所述，的取值范围是9分
（3）解：的两个根是，可设
10分
又
12分
g(x)
当且仅当，即时取等号
当时，
在上是减函数
14分