20XX届本科毕业设计（论文）
题目：构造法证明不等式
Constructing method to prove inequality
摘要
【摘要】1978年，《参考消息》第四版刊载了当年在布加勒斯特举行的第二十届国际数学奥林匹克竞赛题。由此，国内数学教育界才第一次知道，世界上有“国际奥林匹克竞赛”（陈计、叶中豪《初等数学前沿》）。加之时代因素，由这则小消息作为发端，国内数学界形成了一波研究数学竞赛，研究初等数学的高潮。四十多年来，对这两者的研究延续不断，可谓方兴未艾。作为一种极富创新精神的方法，构造法被广泛的运用于中学数学竞赛的各个部分。而构造法在证明不等式方面，其独创性和巧妙性往往让人叹为观止。仅仅在国内，每年都有数以百计的关于构造法解题的论文涌现，可见这一方法的吸引力之大。
本文一共分为四章章。第一章对构造法进行概述，即讲述了构造思想及构造法的历史和目前国内外对这一思想与方法的研究现状，指出构造法解题所应遵循的规则。第二章则是构造法解题的模型概述，比较全面的总结了构造法证明不等式的基本数学模型，对模型产生的思维过程进行剖析。第三章结合数学竞赛、高考的众多实例对各个模型进行说明，对一些问题给出新的解答，从中体会构造法的迷人之处，窥见数学之美。第三章四章是结语。对比近三十年的文献，本文的创新之处在于将加强命题证明不等式作为构造法证明不等式的一种新模型作了一些探索，对思维构造过程作了相应论述，对某些模型的构造思维生发过程给予比较细致的剖析。
【关键词】构造法；构造思想；模型。。
英文题目Constructing method to prove inequality
Abstract
【ABSTRACT】
In 1978, the fourth edition of the references published in those days the twentieth international mathematical Olympiad in Bucharest contest questions.thus,Domestic mathematics education to know for the first time, there are "of the international Olympic competition" in the world (Chen meter, Ye Zhonghao the frontiers of elementary mathematics). Combined with the age factor, by the small message as a start, formed a wave study maths at home, the climax of elementary mathematics research. For more than forty years, the study of the two prolonged, just. As a kind of innovative method, structure method is widely used different parts of the secondary school mathematics competition. And constructing method to prove inequality in terms of its originality and clever tend to surprise. Just at home, every year hundreds of papers about construction method of problem solving, visible appeal of this method.
This article altogether is divided into three chapters. First chapter is to outline of construction method, which tells the structure thought and method of history and the study of the thought and method at home and abroad present situation, points out that the construction should follow the rules to solve problems. The second chapter is the key, of constructing method to prove inequality of basic mathematical model, and combining the math competition, the university entrance exam of many examples, to experience the enchantment of the construction method from them to see the beauty of math. The third chapter is epilogue. Contrast to nearly three decades of literature, the innovation of this paper lies in that will strengthen the proposition to prove inequality as a new model of constructing method to prove inequality made some exploration, discussed the tectonic process made the corresponding thinking, the germinal tectonic thinking process of certain models to give more detailed analysis.
【KEYWORDS】Constructing method；Structural thought；model .
目录
1构造法概述 (1)
1.1构造法的含义 (10)
1.2研究历史及现状 (2)
1.3 构造法解题应遵循的原则 (2)
2模型概述 (3)
2.1模型归纳 (3)
2.2如何构造模型 (4)
3用构造法证明不等式 (4)
3.1构造函数 (4)
3.1.1数列型不等式的四个命题 (6)
3.1.2代数不等式 (8)
3.2构造方程 (8)
3.3构造数列 (10)
3.4构造图形
3.5构造对偶式
3.6构造复数
3.7加强命题证明不不等式
3.8构造不等式
4结语 (20)
4.1总结与回顾 (20)
参考文献 (21)
致谢 (21)
1 构造法概述
1.1 构造法的含义
如何界定构造法？关于构造法，目前主要是从两个方面来理解。从宏观方面来说数学构造法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 从这个定义出发，构造法就有了有限性、能行性的规定。数学分析中，诸如有界数列必有收敛子列，连续函数介值定理的证明所用的方法都不能算作构造法，因为它们都违背了构造法的有限性的原则。从微观方面来说，构造法是根据所要解决的具体问题，展开联想，有针对性的构造某种切合数学问题的模型，进而寻找到问题解决的途径。综上所述，我比较倾向于以下的理解，无论是数学体系的构建，如现在盛行的公理化方法，还是具体问题，构造法就是根据问题的典型特征，或选择具有相容性的，不言自明的公设，推导出一整套数学；或是以问题所给条件，结论为元件，发现问题各个环节的联系，从而形成数学模型，达到解决问题的目的。 1.2 构造法历史
可以说，构造思想伴随着数学产生。古代中国，曾在数学上取得辉煌的成就。而取得这些成就的方法，多是构造性方法。我国因研究机械证明而享誉国际的数学家吴文俊院士指出，中国古代数学是构造性数学，在每一个问题中都力图给出构造性解答（张景中《数学与哲学》）。在西方，毕达哥拉斯学派的一名成员帕索斯根据该数学学派所发现的毕达哥拉斯定理，构造出一个直角边长都是
自然数“1。这直接导致该学派“万物皆为数”这一信条的破灭，使人们对数的认识得到第一次深化。这即是第一次数学危机。随后，在希腊数学家欧几里得之前，人们并不知道素数是否有无穷多个。欧几里得对这个问题给出肯定的回答。他的证明是这样的。假设素数只有有限个：12,,...,n p p p 。接着他构造了一个数112...1n n p p p p +=?+
如果1n p +是素数，很明显，这个素数不同于已知的n 个素数中的任何一个，而12,,...,n p p p 将所有的素数囊括尽净，这说明我们假设是错误的；如果1n p +是合数，则它可以被小于它自身的素数整除，由假设可知，这样的素数必然是12,,...,n p p p 中的某一个i p 。但是1121...n n p p p p +=-?，这表明，自然数1可以被大于1自身的某个素数整除，这同样是荒谬的。这样就证明了素数有无穷多个。从欧几里得的证法我们不难看出构造法在其中的运用。
据说，在西方，除了《圣经》之外，出版次数最多，流传最广的书就是欧几里得的《几何原本》，这是体现公理化思想的典范。《原本》是一部精致的借助演绎推理的系统。从它最初的定义、公设、
公理出发，一步步推出了大量的，很不显然的几何定理（张景中《数学与哲学》）。对欧几里得第五公社的研究使数学家们认识到，作为公理化方法最原初的公设，可以是构造的，甚至不必是“真理”，只要不违反公理选择的独立性原则、相容性原则、协调性原则，就可以建立一整套数学。换言之，公设在上述前提下是可自由选择的，即存在很大的构造性。这种认识在欧几里得之前是不可思议的。这是个巨大的进步这大大解放了数学家的思想。
此后，数学得到了长足的发展——非欧几何的建立、康托集合的诞生。19世纪末，20世纪早期，人们竟然发现可以从被数学家广泛接受的，作为数学基础的康托集合论推出矛盾。1919年，著名哲学家兼数学家罗素以通俗化的语言描述了这一悖论，即为罗素悖论。这引起了一大批富于才华的数学家对数学基础的研究。并形成了三大数学学派。即以罗素为代表的逻辑主义学派，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义派和以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔为代表的直觉主义派。罗素本人在《数学原理》中用构造层次论建立起宏大的数学基础，避开了逻辑上的缺陷。但是这个系统太复杂，数学们希望找到更简明的数学理论作为数学基础。将构造思想发展到极致的是布劳威尔，他否认排中律，主张一切数学对象必须能像自然数那样能被在有限步骤内构造出来才可以认为是存在的，这就是著名的“存在必须被构造”。布劳威尔在自己观点的指导下建立了构造性数学，构造性，构造性实数，构造性集合，构造性微积分。但是由于直觉主义学派否认排中律，即否认反证法，大部分已知的数学必须被抛弃，数学家并不接受。
直到1967年，数学家比肖泊的书出版，宣告从此构造法进入“现代构造数学”阶段.随着计算机的出现，构造数学派上了大用场。吴文俊院士说，由于计算机的发展，构造性数学在不远的将来获得大的发展，甚至成为数学的主流。
1.3构造法解题遵循的原则
构造法具有简明、精巧、新颖等特点，使思维突破常规，获得发展，富有创造性。中学几何中，作辅助线、因式分解中加项减项就是最生动的体现。一个问题，如能找到合适的数学模型，常常可以缩短思维过程。但是应当看到，任何事物都有两面性。构造法并不是万能的。由于构造法具有极强的针对性，往往是一题一构造，适用性并不强。其次不必过分追求高技巧，为构造而构造。题目该怎么解就怎么解，以自然为上，要像“呼吸一样自然”。运用构造法证明不等式，主要有以下步骤：（1）仔细审题。单遵教授说拿到题目的第一步就是仔细阅读题，理解题意。能在短时间内通过自己的理解强记题目（《解题研究》）
（2）仔细分析题目各个环节之间的联系，展开联想，转化为熟知的问题。
（3）根据已知条件和已知知识，准确构造相关数学模型。
（4）求解。
2模型概述
2.1模型归纳
和中学数学其他知识点相比，不等式证明手段千变万化，充满奇思妙想，极富数学美，构造法集中体现了这一点。而对数学美的追求又常常反过来帮助我们发现更美的解法。运用这一方法需要构造一些数学模型。常见有构造函数、方程、数列、不等式、对偶式、几何图形、复数、向量、二项式。参照以往文献，我认为，加强命题是一种强有力的模型，加强命题就是把命题转化为更强的命题，使得问题明朗化。
2.2如何构造模型
适当的数学模型很重要，而促使我们构造出这些模型的思维过程则更为重要。如何思考比得出结果具有更大的意义。清晰地给出数学模型在我们头脑中产生的过程，是非常困难的。但是大致来说，我们头脑中的某些观念总是在不知不觉的影响着我们的行为。以下总结的是一些思维方法和思维观念。我认为，它们在很大程度上决定了我们在用构造法证明不等式时是否能够成功。首先是背景构造，所为背景构造，就是当所面临的问题比较孤立，无从下手时，我们往往把问题放在一个更大的或熟知的背景上，逼近问题的实质，使问题或的解决；最常用的构造过程应该是相似构造了，数学解题时，我们大多时候是用已知知识去解决未知问题，所以我们面对一个不等式时，通常会“比比看看”，和我们已知的公式，定理联系起来察觉出问题与已知之间形式、结构的相似性，很可能问题获解。除此而外，重要的构造思想还有审美构造、联想构造、直觉构造、类比构造、归纳构造、逆向构造、赋义构造、调频构造。对数学美，简洁性的追求是一种原动力。基于这样一种追求，我们常能发现巧妙的方法。历史上，罗素的层次论就因为过于复杂，庞大，与数学基础的简明性不符，不能为数学家们所接受，只好遗憾地“束之高阁，并不实行”。人们对简单美好的事物的追求总会对人的行为产生潜意识的影响，指导着人的判断和抉择。在数学概念构造中，特别是在解题中，更是如此。站在审美的角度构造数学模型，称之为审美构造。逆向构造，不按常理出牌，向着原命题的相反方向思考，通过构造对立的数学形式解决问题。虽然表面上显得更加“繁”，但因为增加了反面这一条件，有时反而利于问题的解决，总体的看，这是一种由繁到简的思维过程。调频构造就是波利亚说的“从各个不同方向攻击堡垒”，思路受阻时，改变思路，就像看电视一样，电视不好看，调换频道。这些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性。
下面让我们通过实例来领略构造法在证明不等式中的运用，体会巧妙之处，增强创新能力。
3 用构造法证明不等式
3.1构造函数
3.1.1数列型不等式的四个命题
针对一个具体的不等式，如何准确的寻找到一个合适的函数呢？有实践经验的人都知道，寻找过程往往充满艰辛和反复，要经过长时间的摸索，需要积累一些经验。不等式类型千差万别，变幻莫测，要找到一种适用于所有不等式的思维模式，似乎不大可能。就如同在因式分解里面，我们可以根据代数基本定理知道每一个代数式都可一再复数范围类分解，但是却找不到通法一样。但是在一个较小的范围之内，这是有希望的。通过研究，我发现，对一类“数列型不等式”，这样的“通法”是存在的。而数列型不等式是高考的一个重点和难点，让许多考生望题兴叹。首先，看一看什么是数列型不等式。通常，我们把形如
“10,
(,)(),n
n k
k a a
f n n N =≥<>≥∈∑”
“1
0,
(,)(),n
n k
k a a
f n n N =≥<>≥∈∏”称为为数列不等式。关于数列不等式有几个命题，这两
个命题可以帮助我们寻找所需要的函数。
0(1,2,3...)n a n ≥=，()f x 是定义在[0,)∞上的函数。
命题1 若10,
(),n
n k
k a a
f n n N =≥<∈∑，(0)0f =成立，则()(1)n a f n f n <--；
命题2 若1
0,(),,(0)1n
n k k a a f n n N f =≥<∈=∏,()0f x ≠成立,则()
(1)
n f n a f n <
-。
反过来有
命题3 若 ()(1),n a f n f n n N <--∈，0,(0)0n a f ≥=，则
1
()n
k
k a
f n =<∑
命题4 若()
(1)n f n a f n <-，0,(0)1n a f ≥=，则1
(),n
k k a f n n N =<∈∏
前两个命题的证明很简单，命题1用反证法，命题2在一直不等式两边取对数即化归为命题1,。这两个命题是对偶的。命题3和命题4是对偶的。
下面看两个实例：
例1 证明对任意的*
,m n N ∈,不等式
111...ln(1)ln(2)ln()()
n
m m m n m m n +++>++++恒成
立。
分析：当把m 固定时，就是关于n 的不等式，符合命题1的条件。
证明：由命题1，我们只需证明11
ln()()(1)n n m n m m n m m n ->-
+++-（1）
ln()()(1)m n m n m n ?+<++- （2）
由此可构造函数
2()ln f x x x x =-+
则2121
()21x x f x x x x
+-'=--=-,
显然当11
0,()0;,()022
x f x x f x ''<≤
≥≥≤. ()f x 在1
2x =
时取极大值。即 11
()()ln 2024
f x f ≤=-<
在区间(0,)∞上恒成立。 有
()ln()()(1)0f m n m n m n m n +=+-++-<
∴11ln()()(1)n n m n m m n m m n ->-
+++-成立 ∴
111
...ln(1)ln(2)ln()
1121[][]...()(1)(1)(2)(1)()
m m m n n n n n m m n m m n m m n m m n m m n m m n +++
+++--->-+-++++-+-+-+=
+
例2.求证：
1
3
369332...258312n n n +??????> ?-??
，对任意的正整数恒成立。 分析：对许多和正整数有关的命题，可以考虑数学归纳法。但数学归纳法比较繁琐，而且容易
掩盖问题的数学本质。对于一个较难的问题，可能我们使用数学归纳法不需要触及到问题的本质，只需要按部就班的运用就可以使问题获解，但即使我们给出了解答，也很是迷茫。于是我们将变形
为3
369
332 (258)
312n n n +??????>
?-??。 证明：先证明
3
3
32
31321211331313131312
n n n n n n n n ++????=+>==+ ? ?-----????
为此，构造函数
()(1)1n f x x nx =+--
只需证明
()(1)10n f x x nx =+--≥在[1,)∞成立即可。这几乎是显然的，就是伯努利不等式。
3
3323131n n n n +??∴≥
?--??
成立 33333
36933693 (258)
312583158113232 (258312)
n n n n n n n ??????????∴????= ? ? ? ? ?
--??????????++≥???=- 即
1
3
369332...258312n n n +??????> ?-??
。 证毕
从总体上看，数列型不等式是相当广泛的。而上面的方法好处在于能够让我们较快的发现需要构造的函数，触及问题的核心，使问题获解。 3.1.2 其他例子
如果不是这种类型的不等式呢？我们看下两例 例3 证明：对任意的实数x
，均有211x x -≤≤+。 证明：构造函数2
1
()1
x f x x -=
+，当1x ≠时
则222
111
1()2
1(11)1(1)2(1)2
(1)21
x x x f x x x x x x x ---=
===+-++-+-++-+-
令2
()g t t t
=
+，就是对勾函数。利用对勾函数的单调性知道 1x ≠
()f x ≤≤
，即2211
011
x x x x --≤≤≠++
1x =时，(1)0f =
综上所述
2111
212
x x --
≤≤
+ 下面的这道例题选自《代数不等式》： 例4 对于正数,x y ，-(,)=
ln -ln x y
L x y x y
x y ≠
(,)=L x x x =x y 叫做x,y 的对数平均数，+(,)=2
x y
M x y
叫做算术平均数，(,G x y 叫做几何平均数。本文将证明下列不等式：
(,)(,)(,)G x y L x y M x y ≤≤。
证明：首先证明前一个不等式：
(x,y)(,)G L x y ≤。 证明：不妨设x y ≥， 1，当>x y 时欲证
-ln -ln x y
x y
≤
只需证明
-1ln x y
x
y
≤
()I
在上式中，令>1t t ，即得： 2-12ln t t t
≤ ()∏
作函数2
(t)=t -2ln -1g t t 。则
()=2(-1-lnt)g t t '
作函数()=-1-ln h t t t ，则
1-1
()=1-=t h t t t '，由此可以看出=1()t h t 是的极小值点，因此有
()(1)=0h t h ≥
所以
()0g t '≥。
()g t 是单调递增函数。 当()()t>1>g 1=0t 时，有g 即
∏（）成立。
2，当
=(,)=L(x,x)=x x y L x y 时，按照定义，
(,)=G(x,x)=x G x y
显然有(,)=(,)G x y L x y .. 综上所述
(,)(,)G x y L x y ≤成立。
接下来证明
(,)(,)L x y M x y ≤
即
当x y ≠时，有
-+ln -ln 2
x y x y
x y ≤ （1）
当+x
=y =2
x x 时，x 不妨设>x y
欲证不等式（1）成立只需证明
-1+1<
2ln x x y y
x y
(2) 在（2）中令=
,>1x
t t y
，即 -1+1
<
ln 2
t t t （3） 作函数(t)=tlnt+lnt-2t+2φ。导数
()()1--ln (t)=
,t>1<1=0.
t t t
t t
φφφ'''当时，显然有，即当t>1时，t)φ
（时减函数。 所以(t)<(1)=0φφ，()3成立，（2）成立，（1）成立。 当=(,)=(x,)x y M y 时，显然有L x y 。 综上所述，有
(,)(,)L x y G x y ≤成立。
不等式
(,)(,)(,)G x y L x y M x y ≤≤
得证。
3.2构造方程
构造方程模型证明不等式，往往和一元二次方程联系起来，有时这种选择是最佳的。把不等式
转化为2
4b ac ?=-的形式，大多情况下需要考虑根的分布情况，利用根与系数的关系求解。历史
上，著名的柯西不等式就是运用构造方程的方法解决的。
例5已知,,a b c R ∈，求证：2
(2)3(2)()b a c a b c a c -+≥-+-。 证明：a c =时不等式显然成立。将不等式变形为
2[2(2)]12(2)()b a c a b c a c -+≥-+-，
则式
2[2(2)]12(2)()b a c a b c a c -+--+-
当a c ≠时，可以看作一元二次方程
23()2(2)20a c x b a c x a b c -+-++-+= （1）
的判别式。
观察知道1x =是（1）的一个根，因此判别式
2[2(2)]12(2)()0b a c a b c a c -+--+-≥
即
2(2)3(2)()b a c a b c a c -+≥-+-
等号成立的条件是2(2)
23()
b a
c a c -+-
=-，即
2a b c +=。
当然，此题方法不止一种 证法二：作差法
2222222222(2)3(2)()42442(2)442(2)(2)(2)0
b a
c a b c a c a b c ab ac bc a a b c b bc c a a b c b c a b c -+--+-=+++--=+-+-+=+-+-=+-≥
∴2(2)3(2)()b a c a b c a c -+≥-+-
""=成立的条件是
2a b c +=
评注：这里用到了主元法。 3.2构造数列
构造数列证明不等式，主要是利用数列的单调性。 例6对一切大于1
的自然数，证明：111(1)(1)...(1)35212
n +++
>- 分析：这是上面所说的数列型不等式，因此可以构造相应的函数证明。但除此而外，也可以
构造数列进行证明。
证明：构造数列
111(1)(1)...(13521n a n =+++- 则
11111(1)(1)...(1)(1)352121n a n n +=++++-+
1n n a a +=
若能证明
22
21n n +>+ 问题得证。上式等价于
2
22232121n n n n ++??> ?
++??
一种方法是把上式化为多项式不等式，思路是简单的，计算也不复杂。另一种方法是将上式变形为
2
12112121n n ??+>+ ?++??
由伯努利不等式
()
2
112x x +>+
立即得到。
111
2
n n a a a +∴>>=
> 即
111(1)(1)...(1)3521n +++>-
证毕。
3.3构造图形
不等式证明中，我们通常习惯与从代数的角度考虑问题。但某些不等式具有较为明显的几何背景，这时若能适当联想，则问题很可能顺利得到解决。常利用勾股定理、面积关系、边长关系、周长关系、正弦定理、余弦定理。
例8 已知a ，b ，C ∈R + 求证：
cyc
cyc
分析：通过观察我们可以发现，不等式左边每一项根号下都据有余弦定理的形式，因此考虑构造三角形。由于不等式是轮换对称的，故而只需要取一个来构造就可以了。
证明：2
2
2
2
22cos
3
a b ab a b ab π++=+- 作如下图的三角形
23BAD π∠=
AC 为BAD ∠的角平分线。设,,AB a AD b ACB θ
==∠=,
则BD =由正弦定理得
sin sin
3sin sin 3
BC a DC
b π
θ
πθ=
=
1))sin BD BC DC a b a b θ=+=
+≥+
)a b ≥+ 同理