高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数
周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识
第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ?。例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ?，例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属
于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y
定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。 定义6 差集，},{\B x A x x B A ?∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合
},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞
定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：
（1）);()()(C A B A C B A I Y I Y I = （2）)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =； （3）);(111B A C B C A C I Y = （4）).(111B A C B C A C Y I = 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若)(C B A x Y I ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即)()(C A B A x I Y I ∈；反之，)()(C A B A x I Y I ∈，则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x Y ∈，即).(C B A x Y I ∈
（3）若B C A C x 11Y ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ?或B x ?，所以)(B A x I ?，又I x ∈，所以)(1B A C x I ∈，即)(111B A C B C A C I Y ?，反之也有
.)(111B C A C B A C Y I ?
定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有
n m m m N +++=Λ21种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ???=Λ21种不同的方法。 二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设},,{2
2Z y x y x a a M ∈-==，求证： （1）)(,12Z k M k ∈∈-； （2）)(,24Z k M k ∈∈-；
（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈ [证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且2
2
)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-
（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2
2
24y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((2
2
y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ?-
（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2
2
2
2
，则))((2
2
2
2
b a y x pq --=
22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(
（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ?，再证A B ?，则A =B 。 例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A Y Y Y I I I ===,，求集合M （用A ，B 表示）
。 【解】先证M B A ?)(I ，若)(B A x I ∈，因为B A M A I I =，所以M x M A x ∈∈,I ，所以M B A ?)(I ；
再证)(B A M I ?，若M x ∈，则.B A M B A x Y Y Y =∈1）若A x ∈，则
B A M A x I I =∈；2）若B x ∈，则B A M B x I I =∈。所以).(B A M I ?
综上，.B A M I =
3．分类讨论思想的应用。
例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若
C C A A B A ==I Y ,，求.,m a
【解】依题设，}2,1{=A ，再由012
=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，
因为A B A =Y ，所以A B ?，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。
因为C C A =I ，所以A C ?，若?=C ，则082
<-=?m ，即2222<<-m ，
若?≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m
综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。
4．计数原理的应用。
例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A =Y ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数。 【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A ,I 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个。 5．配对方法。
例5 给定集合},,3,2,1{n I Λ=的k 个子集：k A A A ,,,21Λ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得1
2
-n 对，每一对不能同在
这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设?=1A A I ，则A C A 11?，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k 。综上，12-=n k 。 6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A I Y -+=
C B A C B C A B A C B A C B A I I I I I Y Y +---++=，
需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即
∑
∑∑∑
=≠≤<<≤=+
-=n
i k j i j
i n
k j i j i i n
i i
A A A A A A A
1
11
I I I Y .)
1(1
1
I
Λn
i i n A =--+-
定义8 集合的划分：若I A A A n =Y ΛY Y 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤?=I ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉
放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤==Λ，
}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，
+???
???+??????=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A I I I I I Y Y 7430100151001010061005100=??
?
???+??????-??????-??????-??????，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I Y Y 个。
例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最
多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21Λ满足：
}.2
)
1(,
,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i Λ 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时，
1,5,2,04321====a a a a 。下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21Λ满足条件。
令n a a a <<<=Λ210，则.2
)
1(-=
n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或
21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=
-n n n a a n n a 或2
)
1(-=
n n a n ，12=a 。 （ⅰ）若1,2
)
1(1-=-=
-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则
02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾，
所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数。 （ⅱ）若1,2
)
1(2=-=
a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a 。考虑3-n a ，有2
3-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾。因此32-=-n n a a ，所以
12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n 。故当5≥n 时，不
存在满足条件的实数。
例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i I Λ求n 的最小值。 【解】 .16min =n
设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k 。若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合。i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n 。当16=n 时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n
【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i Λ=则1+2+…+∑==
n
i i
z
n 1
,43
所以∑==+n
i i z n n 1
42)
13(3。当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，
14，8}满足条件，所以n 的最小值为5。
第二章 二次函数与命题 一、基础知识
1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-
a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-a
b 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大
函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x a b 2- ≠}和空集?，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和?.f (x )图象与x 轴无公共点。 当a <0时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2- 时，f (x )取最大值f (x 0)=a b a c 442 -.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当 x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0 注1 “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ?q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中，如果已知p ?q ,则p 是q 的充分条件；如果q ?p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ?q 但q 不?p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不?q 但p ?q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ?q 且q ?p ，则p 是q 的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ). 【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0， 因为方程x 2-x +1=0中△≠0， 所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1， 所以c -1=1，所以c =2. 又b =-(a +1)，所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2. 再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β, 所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0. 即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0， 所以a =1, 所以f (x )=x 2-2x +2. 2．方程的思想。 例2 已知f (x )=ax 2-c 满足-4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f (1)=a -c ≤-1, 所以1≤-f (1)=c -a ≤4. 又-1≤f (2)=4a -c ≤5, f (3)= 38f (2)-3 5f (1), 所以38×(-1)+35≤f (3)≤38×5+3 5×4, 所以-1≤f (3)≤20. 3．利用二次函数的性质。 例3 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R, a ≠0)，若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f (f (x ))=x 也无实根。 【证明】若a >0，因为f (x )=x 无实根，所以二次函数g (x )=f (x )-x 图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的x ∈R,f (x )-x >0即f (x )>x ，从而f (f (x ))>f (x )。 所以f (f (x ))>x ，所以方程f (f (x ))=x 无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0 1, （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，求证：x （Ⅱ）设函数f (x )的图象关于x =x 0对称，求证：x 0< .2 1 x 【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根，所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2)， 即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x . （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x . 其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+ a 1 ]<0，所以f (x ) （Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2, 所以x 0= a x x a x x a 21 221)(2121-+=-+, 所以012121222210 ? ??-=-=- a x a x x x ， 所以.2 1 0x x < 5．构造二次函数解题。 例5 已知关于x 的方程(ax +1)2=a 2(a -x 2), a >1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a 2x 2+2ax +1-a 2=0. 构造f (x )=2a 2x 2+2ax +1-a 2, f (1)=(a +1)2>0, f (-1)=(a -1)2>0, f (0)=1-a 2<0, 即△>0， 所以f (x )在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 例6 当x 取何值时，函数y =2 224) 1(5 +++x x x 取最小值？求出这个最小值。 【解】 y =1- 222)1(511+++x x ,令=+1 1 2 x u,则0 ≥ +??? ? ? -u , 且当101= u 即x =±3时，y m in =20 19. 例7 设变量x 满足x 2+bx ≤-x (b <-1)，并且x 2+bx 的最小值是2 1 -，求b 的值。 【解】 由x 2+bx ≤-x (b <-1)，得0≤x ≤-(b +1). ⅰ)-2 b ≤-(b +1)，即b ≤-2时，x 2+bx 的最小值为-214,422-=-b b ，所以b 2=2，所以2±=b （舍去）。 ⅱ) -2 b >-(b +1)，即b >-2时，x 2+bx 在[0，-(b +1)]上是减函数， 所以x 2+bx 的最小值为b +1,b +1=-21,b =-2 3 . 综上，b =-2 3 . 7.一元二次不等式问题的解法。 例8 已知不等式组???>+<-+-1 20 22a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。 【解】 因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a , 若a ≤0，则x 1 2 1 时，x 1 ⅱ）当a = 21 时，a =1-a ，①无解。 ⅲ）当a >2 1 时，a >1-a ，由②得x >1-2a ， 所以不等式组的解集为1-a 所以1 例9 设定数A ，B ，C 使得不等式 A (x -y )(x -z )+ B (y -z )(y -x )+ C (z -x )(z -y )≥0 ① 对一切实数x ,y ,z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为A ，B ，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ). 先证必要性，①可改写为A (x -y )2-(B -A -C )(y -z )(x -y )+C (y -z )2≥0 ② 若A =0，则由②对一切x ,y ,z ∈R 成立，则只有B =C ，再由①知B =C =0，若A 0，则因为②恒成立，所以A >0，△=(B -A -C )2(y -z )2-4AC (y -z )2≤0恒成立，所以(B -A -C )2-4AC ≤0，即A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ) 同理有B ≥0，C ≥0，所以必要性成立。 再证充分性，若A ≥0，B ≥0，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA )， 1）若A =0，则由B 2+C 2≤2BC 得(B -C )2≤0，所以B =C ，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A >0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理1 若a , b ∈R, |a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |. 【证明】 因为-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |，所以-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b |, 所以|a +b |≤|a |+|b |（注：若m>0，则-m ≤x ≤m 等价于|x |≤m ）. 又|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b |, 即|a |-|b |≤|a +b |.综上定理1得证。 定理2 若a ,b ∈R, 则a 2+b 2≥2ab ；若x ,y ∈R +,则x +y ≥.2xy (证略) 注 定理2可以推广到n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) （2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。 定义8 如果实数a a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y =x -21 , u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y = u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x -21在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 例1 求方程|x -1|=x 1 的正根的个数. 【解】 分别画出y =|x -1|和y =x 1 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 例2 求函数f (x )=11363242 4 +-- +--x x x x x 的最大值。 【解】 f (x )=2 2 2 2 2 2 )0()1()3()2(-+---+-x x x x ，记点P (x , x -2)，A （3，2），B （0，1），则f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。 因为|P A |-|P A |≤|AB |=10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y =x 2的交点时等号成立。 所以f (x )m ax =.10 2.函数性质的应用。 例3 设x , y ∈R ，且满足?????=-+--=-+-1 )1(1997)1(1 )1(1997)1(3 2 y y x x ，求x +y . 【解】 设f (t )=t 3+1997t ，先证f (t )在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0，所以f (t )递增。 由题设f (x -1)=-1=f (1-y )，所以x -1=1-y ，所以x +y =2. 例4 奇函数f (x )在定义域（-1，1）内是减函数，又f (1-a )+f (1-a 2)<0，求a 的取值范围。 【解】 因为f (x ) 是奇函数，所以f (1-a 2)=-f (a 2-1)，由题设f (1-a ) 又因为f (x )是以2为周期的函数， 所以当x ∈I k 时，f (x )=f (x -2k )=(x -2k )2. 例6 解方程：(3x -1)(15692 ++-x x )+(2x -3)(131242 +-x x +1)=0. 【解】 令m=3x -1, n =2x -3，方程化为 m(42 +m +1)+n (42 +n +1)=0. ① 若m=0，则由①得n =0，但m, n 不同时为0，所以m ≠0, n ≠0. ⅰ)若m>0，则由①得n <0，设f (t )=t (42 +t +1),则f (t )在（0，+∞）上是增函数。又f (m)=f (-n )， 所以m=-n ，所以3x -1+2x -3=0，所以x =.54 ⅱ)若m<0，且n >0。同理有m+n =0,x =5 4 ,但与m<0矛盾。 综上，方程有唯一实数解x =.5 4 3.配方法。 例7 求函数y =x +12+x 的值域。 【解】 y =x +12+x =2 1 [2x +1+212+x +1]-1 =21(12+x +1)-1≥21-1=-2 1. 当x =-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-2 1 ，+∞）。 4．换元法。 例8 求函数y =(x +1+x -1+2)(2 1x -+1),x ∈[0,1]的值域。 【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0,1]，所以2≤u 2=2+22 1x -≤4,所以2≤u ≤2, 所以222+≤22+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y =2 2+u ,u 2 ∈[2+2，8]。 所以该函数值域为[2+2，8]。 5．判别式法。 例9 求函数y =4 34 322+++-x x x x 的值域。 【解】由函数解析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ① 当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根。 所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0，解得 7 1 ≤y ≤1. 又当y =1时，存在x =0使解析式成立， 所以函数值域为[ 7 1 ，7]。 6．关于反函数。 例10 若函数y =f (x )定义域、值域均为R ，且存在反函数。若f (x )在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x 1 2 31 4++x x ，解方程：f (x )=f -1(x ). 【解】 首先f (x )定义域为（-∞，- 32）∪[-4 1 ，+∞）；其次，设x 1, x 2是定义域内变量，且x 1 32;231422++x x 231 411++- x x =) 23)(23()(51212++-x x x x >0, 所以f (x )在（-∞，- 32）上递增，同理f (x )在[-4 1 ，+∞）上递增。 在方程f (x )=f -1(x )中，记f (x )=f -1(x )=y ，则y ≥0，又由f -1(x )=y 得f (y )=x ，所以x ≥0,所以x ,y ∈ [-4 1 ，+∞）. 若x ≠y ，设x 同理若x >y 也可得出矛盾。所以x =y . 即f (x )=x ，化简得3x 5+2x 4-4x -1=0, 即(x -1)(3x 4+5x 3+5x 2+5x +1)=0, 因为x ≥0，所以3x 4+5x 3+5x 2+5x +1>0，所以x =1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1 ==== - -。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[ )+∞,a ，单调递减区间为[) ,a -和(] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（ ∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1 )2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （ ∑=n i i a 1 2）x 2-2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R, f (x )≥0， 所以△=4( ∑=n i i i b a 1 )-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。 例3 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2]，求u=??? ? ??+??? ? ?+ y y x x 11的最小值。 【解】u=??? ? ??+??? ? ? + y y x x 11=xy +xy x y y x 1++≥xy +xy 1+2·x y y x ? =xy + xy 1 +2. 令xy =t ，则0 1 ,0 c ≤1，所以f (t )在?? ? ??4,02c 上单调递减。 所以f (t )m in =f (42c )=42c +24c ，所以u ≥42c +24c +2. 当x =y =2 c 时，等号成立. 所以u 的最小值为42c +24c +2. 1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ± 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).高中数学竞赛_函数【讲义】
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