则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( ) A .N 1N ,N 2N ,N -N 1N
B .N 2N ,N 1N ,N -N 2N
C .N 1N ,N 2-N 1N ,N 2N
D .N 2N ,N 1N ,N 1-N 2N
[答案] A
[解析] P (A )的近似值为N 1N ,P (B )的近似值为N 2
N ,P (C )的近似值为N -N 1N .
二、填空题
7.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示).第一步:利用计算机产生两个0~1之间的均匀随机数,x ,y ,其中-1<x <1,0<y <1;
第二步:拟(x ,y )为点的坐标.共做此试验N 次.若落在阴影部分的点的个数为N 1,
则可以计算阴影部分的面积S .
例如,做了2 000次试验,即N =2 000, 模拟得到N 1=1 396, 所以S =________. [答案] 1.396
[解析] 根据题意:点落在阴影部分的概率是1 396
2 000
,
矩形的面积为2,阴影部分的面积为S , 则有S 2=1 3962 000
,所以S =1.396.
8.图形ABC 如图所示,为了求其面积,小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m 的圆,在不远处向圈内掷石子,且记录如下:
50次 150次 300次 石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的次数m
14 43 93 石子落在阴影内次数n
29
85
186
[答案] 3π
[解析] 由记录m
n ≈1∶2,
可见P (落在⊙O 内)=m n +m =1
3
,
又P (落在⊙O 内)=⊙O 的面积
阴影面积+⊙O 的面积,
所以S ⊙O S ABC =13,S ABC
=3π( m 2)
9.利用随机模拟方法计算y =x 2与y =4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a 1=RAND ,b 1=RAND ,然后进行平移与伸缩变换a =a 1·4-2,b =b 1·4,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a 1=0.3,b 1=0.8及a 1=0.4,b 1=0.3,那么本次模拟得出的面积约为________.
[答案] 10.72
[解析] 由a 1=0.3,b 1=0.8得:
a =-0.8,
b =3.2,(-0.8,3.2)落在y =x 2与y =4围成的区域内,
由a 1=0.4,b 1=0.3得:a =-0.4,b =1.2,(-0.4,1.2)落在y =x 2与y =4围成的区域内, 所以本次模拟得出的面积约为16×67
100=10.72.
三、解答题
10.在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ,以A 为圆心,以线段AM 为半径作圆.用
随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间的概率.
[分析] 圆的面积只与半径有关,故此题为与长度有关的几何概型.解答本题时只需产生一组均匀随机数.
[解析] 设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”. (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1=RAND ; (2)经过伸缩变换a =14a 1得到一组[0,14]上的均匀随机数;
(3)统计出试验总次数N 和[3,4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数); (4)计算频率f n (A )=N 1
N
,即为概率P (A )的近似值.
11.利用随机模拟方法主算如图中阴影部分(曲线y =2x 与x 轴,x =±1围成的部分)的面积.
[解析] (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a 1=RAND ,b 1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换,a =(a 1-0.5)×2,b =b 1×2,得到一组[-1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.
(4)计算频率N 1
N
,即为点落在阴影部分的概率的近似值.
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P =S 4,N 1N =S 4,所以S ≈4N 1
N ,即
为阴影部分的面积值.
12.在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,求这次模拟中π的估计值.(精确到0.001)
[解析] 假设正方形的边长是2,则正方形的面积是4,圆的半径是1,则圆的面积是π,
根据几何概型的概率公式得到7761 000≈π
4
.所以π≈3.104.