指数函数
(一)指数与指数幕的运算
1根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n > 1,且n € N 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作n .O 0。 当n 是奇数时，v a n a ，当n 是偶数时，即a n
| a | 2 ?分数指数幕
正数的分数指数幕的意义，规定：
m
a n :a m (a
0, m, n *
N ,n 1)
m
1 a n
m
a n
4 (a a
0, m, n
N *,n 1)
0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义 3 ?实数指数幕的运算性质
(1) r r a ? a r s
a
(a 0, r,s R)； (2) (a r )s rs a
(a 0,r,s R)； (3) (ab)r
r s
a a
(a 0,r,s
R)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 y 数，其中x 是自变量，函数的定义域为
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1.
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
(1 )在［a , b ］上，f(x) a x (a 0且 a 1)值域是［f (a),f(b)］或 ［f(b),f(a)］ (2) 若x 0，则f(x) 1 ； f(x)取遍所有正数当且仅当 x R ；
(3)
对于指数函数f(x) a x (a 0且a 1)，总有f (1) a ；
指数函数?例题解析
a (a 0) a (a
0)
a x (a 0,且a 1)叫做指数函 R.
【例1】求下列函数的定义域与值域:
x 2 x 1
(2)y = 2 1 (3)y = . 3 3
解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且y 丰1 . (2) 由 2x+2- 1> 0,得定义域｛x|x >- 2｝，值域为 y >0.
(3) 由 3-3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝ ,T 0< 3- 3x — 1< 3, ???值域是 0w
y < .3.
— 2
练习：(1)y 2x4 ;
(2) y
(3)|x| ; (3)
y 4x 2x 1
1 ;
则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是［
A. a < b < 1< c < d
B. a < b < 1< d < c
C. b < a < 1 < d < c
D. c < d < 1< a < b
解 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 则得 b < a < 1 < d < c .
练习：指数函数①-''②J_
'
1
(1)y = 32 x
【例2］指数函数y = a x , y = b x , y = c x ,
y = d x 的图像如图
2. 6-2所示,
【例1】求下列函数的定义域与值域: ().
【例3】比较大小:
（1） .2、3 2、5 4、8 8、9 16的大小关系是:
(3)4.5 4-1 _________ 3.7 3.6
112
3
4
解⑴ T .. 2 22 , 3 2 23 , 5 4 25 , 8 8 28 , 9 16 29 , 函数y = 2x , 2>1,该函数在(一x,+x )上是增函数， 又1 v 3 v - v 4 v 1，二 3 2 v 8 8< 5 4V 9 16V . 2.
3 8 5 9 2
解（3）借助数4.5 3.6打桥，利用指数函数的单调性, 4.5 x ，y 2 = 3.7 x 的图像如图 2. 6 — 3，取 x = 3.6，得 4.5 3*6 > 3.7 3*6 ???4.5 4.1 > 3.7 3?6 .
说明 如何比较两个幕的大小：若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数 的单调性进行比较，如例 2中的（1） ?若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小 时，有两个技巧，其一借助
1作桥梁，如例2中的（2） ?其二构造一个新的幕作桥
梁，这个新的幕具有与 4.5 4」同底与3.7 3?6同指数的特点，即为 4.5 3*6 （或 3.7 4.1 )，如例 2 中的(3).
4
(2)0.6 5
3
----------------- （2
）
4
解(2) T 0.6 5
> 1,
1> (3
) '2丿
二 0.6
5
＞（|） 4.5 4.1 > 4.5 3.6，作函数 y 〔= 练习： (1) 1. 72^ 与 1 . 73
0.1
0.8
与0.8
0.2
［例4】比较大小n 1a n与n a n1(a>0且a^ 1, n> 1).当a> 1 时，T n> 1, >0,
n(n 1)
1
n(n 1) n 1 n n n 1
…a > 1, . a > .. a
【例5】作出下列函数的图像：
1
(1)y =(2)x 1(2)y = 2x
-
2,
(4) y = |1 - 3x|
解（2）y = 2x- 2的图像（如图2. 6-5）是把函数y = 2x的图像向下平移2个单位得到
的.
解（3）利用翻折变换，先作y= 2|x|的图像，再把y= 2|x|的图像向右平移1个单位，就得y= 2|x-11的图像（如图2. 6 —6）.
n 1 —n 解
V -a
1
a*(n 1)
当0V a v
1,
1
??? n> 1,> 0,
n(n 1)
1
n(n 1)n 1 n n n
.a V、a
1
(3 ) 1 . 70'3与0. 93'1
2.1 2.0
(4)3.5 和2.7
V1,
(3)y = 2|x-11
是把函数
1
6- 4)，过点(0,-)及(一1, 1).
2
(2)的图像向左平移1个单位得到的.
解(1)y =1的图像（如图
1
x
解（4）作函数y= 3x的图像关于x轴的对称图像得y = -3x的图像，再把y
=-3x 的图像向上平移1个单位，保留其在 x 轴及x 轴上方部分不变，把 x 轴下 方的图像以x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.（如图2. 6-7）
证明f （x ）在区间（—8,+^ ）上是增函数.
解（1）定义域是R.
单元测试题
、选择
题: （本题共12小题，每小题 5分，共60分）
1
1、化简1
2 32
16
丄
2 32 B 、 1
丄
2 32
32
1
D 、
1 2 32
2
16
a 2
【例8】
已知f(x)= a 1
— (a > 1) (1)判断f(x)的奇偶性; a 1
⑵求f （x ）的值域；⑶
a x 1 f(
一 x) =
a x 1
厂 一 f （x
），
???函数f （x ）为奇函数.
X
⑵函数y =戸,
口 >0 - 1 1 y 即f （x ）的值域为（一1 , 1）. （3）设任意取两个值 X1、X2^ ( 一 ^o,+oo )且 x 〔v X2. f(x 1) — f(x 2) a xi 1 a x 2 1 — X| 1 Xc 1 — a 1 a 2 (a X2 + 1)>0, ? f(xj 2(aX1 a X2) ,T a > 1, X 1 (a X1 1)(a X2 1) 1 1 < a x 2, (a x1 + 1)
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