2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 若2log a ＜0，1()2
b
＞1，则 (D)
A ．a ＞1,b ＞0
B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 【答案】：D
【解析】由2log 0a <得0,a <<由1()12
b
>得0b <，所以选D 项。 2．对于非0向时a,b,“a//b ”的确良 （A ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】：A
【解析】由0a b +=，可得a b =-，即得//a b ，但//a b ，不一定有a b =-，所以“0a b +=”是“//a b 的充分不必要条件。
3．将函数y=sinx 的图象向左平移?(0 ≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的图
象，则?等于 （D ） A ．
6
π B ．56π C. 76π D.116π
【答案】：D
【解析】解析由函数sin y x =向左平移?的单位得到sin()y x ?=+的图象，由条件知函数
sin()y x ?=+可化为函数s i n ()6
y x π
=-，易知比较各答案，只有
11sin()6y x π=+s i n ()6
x π
=-，所以选D 项。
4．如图1，当参数2λλ=时，连续函数(0)1x
y x x
λ=
≥+ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则 [ B]
A 10λλ<<
B 10λλ<<
C 120λλ<<
D 210λλ<<
【答案】：B
【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数
120,0λλ>>，即排除C ，D 项，又取1x =
，知对应函数值12y y =
=
，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项。
5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位
[ C]
A 85
B 56
C 49
D 28 【答案】：C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：12
27C C 42?=，另一类是甲乙都去的选法有2127C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。
6. 已知D 是由不等式组2030
x y x y -≥??+≥?，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内
的弧长为 [ B] A
4π B 2
π C 34π D 32π
【答案】：B
【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所
求，易知图中两直线的斜率分别是1,21
3-，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，所以11|()|
23tan 1111|23
α--==+?-（），所以4πα=，而圆的半径是2，所以弧长是
2
π
，故选B 现。 7．正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（C ）
A ．2
B ．3 C. 4 D. 5
【答案】：C
【解析】解析如图示，则BC 中点，1B 点，D 点，1D
点分别到两异面直线
的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C 项。
8.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义。对于给定的正数K ，定义函数 (),()(),()k f x f x K
f x K f x K
≤?=?
>?
取函数()f x =1
2x e ---。若对任意的(,)x ∈+∞-∞，恒有()k f x =()f x ，则
A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2
C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 【
D 】 【答案】：D
【解析】由'()10,x f x e -=-=知0x =，所以(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，当(0,)x ∈+∞时，
'()0f x <，所以max ()(0)1,f x f ==即()f x 的值域是(,1]-∞，而要使()()k f x f x =在R 上
恒成立，结合条件分别取不同的K 值，可得D 符合，此时()()k f x f x =。故选D 项。 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 【答案】：12
【解析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有
(10)x -人，由此可得(15)(10)830x x x -+-++=，解得3x =，所以1512x -=，即所求
人数为12人。
10．在32(1)(1(1x +++的展开式中，x 的系数为___7__(用数字作答) 【答案】：7
【解析】由条件易知333(1),(1,(1x +展开式中x 项的系数分别是123333C ,C ,C ，即
所求系数是3317+++=
11、若x ∈(0,
2π)则2tanx+tan(2
π
-x )的最小值为
【答案】：【解析】由
(0,)2
x π
∈，知1t a n 0,t a n ()c o t 0,
2t a n
παααα>
-==>所以
1
2tan tan()2tan 2tan παααα+-=+≥
当且仅当tan
时取等号，即最小值是
12、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o
，
则双曲线C
【答案】
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30?
，即得
tan 30b
c
?=
，所以c =，
所以a =
，离心率c e a =
==
13、一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为1
28
，则总体中的个数数位 50 。 【答案】：40
【解析】由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都
被抽到的概率是22
2n C C =128
，可得8n =，所以总体中的个数是48840?+=
14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC 的距离为 12 ；
（2）过Ａ，B 两点的大圆面为平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 【答案】：（1）12；（2）3
【解析】（1）由ABC ?的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过,,A B C 三点小圆的直
径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是d ，则由222
513d +=，可得12d =。（2）
设过ABC 三点的截面圆的圆心是1,O AB 中点是D 点，球心是O 点，则连三角形1OOD ，易知1ODO ∠就是所求的二面角的一个平面角
，14O D ==，所以
11112
34
OO ODO O D ∠=
==，即正切值是3。 15、将正⊿ABC 分割成n 2
（n ≥2，n ∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=
103，…，f(n)= 1
6
(n+1)(n+2)
15.【答案】：
101
,(1)(2)36
n n -+ 【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
1212121,,,a b c x x a b y y b c z z c a ++=+=++=++=+
1212121221122()2,2x x y y z z a b c g x y x z y z +++++=++==+=+=+ 12121262()2g x x y y z z a b c =+++++=++=
即12121211110(3)13233
g f a b c x x y y z z g =
=+++++++++=++=而 进一步可求得(4)5f =。由上知(1)f 中有三个数，(2)f 中 有6个数，(3)f 中共有10个数相加 ，(4)f 中有15个数相加….，若(1)f n -中有1(1)n a n ->个数相加，可得()f n 中有
1(1)n a n -++个数相加，且由
363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3), (3333333)
f f f f f f f +=====+==+==+
可得1
()(1),3n f n f n +=-+所以 11113
()(1)(2)...(1)3333333
n n n n n n f n f n f n f +++-=-+=-++==++++
=113211
(1)(2)3333336
n n n n n +-+++++=++ 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在ABC ?，已知2
23AB AC AB AC BC ?=?= ，求角A ，B ，C 的大小。
解：设,,BC a AC b AB c ===
由2AB AC AC ?=? 得2cos bc A =，所以cos A =
又(0,),A π∈因此6
A π
=
23AC BC ?= 得2bc =，于是2
sin sin C B A ?=
所以5sin sin(
)64
C C π?-=
，1sin (cos )224C C C ?+=，因此
22sin cos 20C C C C C ?+==，既sin(2)03
C π
-=
由A=6
π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而
20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故
2,,,636A B C πππ===或2,,663
A B C πππ===。
17.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、1
6
，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求ξ 的
分布列及数学期望。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
1A ,1B ,1C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，
1A ,1B ,1C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=，P （1B ）=1
3
，P
（1C ）=1
6
（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P （1A 2B 3C ）=6P （1A ）P （2B ）P （3C ）=6?
12?13?16=1
6
(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由己已知，η-B （3，13
），且ξ=3η。
所以P （ξ=0）=P （η=3）=1
3
C 3
1()3
=127， P （ξ=1）=P （η=2）= 23
C 3
1()3 2()3= 29
P （ξ=2）=P （η=1）=13
C 1()322()3=49 P （ξ=3）=P （η=0）= 0
3C 32()3= 827
故ξ的分布是
ξ的数学期望E ξ=0?27+1?9+2?9+3?27
=2 解法2 第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D ， i=1,2,3 ，由此已知，1D ·D ，1D 相互独立，且 P （1D ）-（1A ，1C ）= P （1A ）+P （1C ）=12+16=2
3
所以ξ--2(3,)3
B ,既3321()()()3
3
K
K
K
P K C ξ-==，0,1,2,3.
k =
故ξ的分布列是
18.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =
D 是11A B 的中点，点
E 在11AC 上，且
DE AE ⊥。 （I ） 证明平面ADE ⊥平面11ACC A
（II ）
求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。
解 （I ） 如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C 又DE ?平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.
而DE ⊥AE 。AA 1 AE=A 所以DE ⊥平面AC C 1A 1，又DE ?平面ADE ，故平面ADE ⊥平面AC C 1A 1。
（2）解法1 如图所示，设F 使AB 的中点，连接DF 、DC 、CF ，由正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 的中点知A 1B ⊥C 1D ， A 1B ⊥DF
又C 1D DF=D ，所以A 1B ⊥平面C 1DF ， 而AB ∥A 1B ，所以
AB ⊥平面C 1DF ，又AB ?平面ABC ，故 平面AB C 1⊥平面C 1DF 。
过点D 做DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面AB C 1。
连接AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角。
由已知AB=2A A 1，不妨设A A 1=2，则AB=2，DF=2，D C 1=3，
C 1F=5，AD=
22
1AD AA +=3，DH=F C DC DF 11·=5
3
2?—530，
所以 sin ∠HAD=
AD DH =5
10
。 即直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为
5
10
。
解法2 如图所示，设O 使AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A 1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)， B （3，0，0）， C 1（0，1，2）， D （
2
3
，-21，2）。
易知AB =(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， AD =(2
3
，-21，2）
设平面ABC 1的法向量为n=（x ，y ，z ）,则有
??
?
???????=+==+=,022·,03·1z y AC n y x n 解得x=-
3
3
y ， z=-y 2， 故可取n=(1，-3，6)。 所以，cos (n ·
=
3
1032?=
5
10
。 由此即知，直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为5
10。 19.（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程
费用为(2x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余
下工程的费用为y 万元。
（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m x +=-，即n=
所以 (2m m
x x x
+-1)+
2562256.x
m x
=+- （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，2
33
2222561'()(512).22m m
f x mx x x
x
=-
+=- 令'()0f x =，得32
512x =，所以x =64
当0 当64640x <<时，'()f x >0. ()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640 119.64 m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。 20（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之 和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ； （Ⅱ）设过点F 的直线I 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。 解（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），则d =3︳x-2 ︳ 由题设 当x>21 6,2 x =- 化简得 22 1.3627 x y += 当2x ≤时 3,x =+ 化简得212y x = 故点P 的轨迹C 是椭圆22 1: 13627 x y C +=在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1 （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C ，2C 的交点都是A （2 ，， B （2 ，-，直线AF ，BF 的斜率分别为AF k =-BF k =当点P 在1C 上时，由②知 1 62 PF x =- . ④ 当点P 在2C 上时，由③知 3PF x =+ ⑤ 若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为(3)y k x =- （i ）当k ≤AF k ，或k ≥BF k ，即k ≤-2 I 与轨迹C 的两个交点M （1x ，1y ） ，N （2x ，2y ）都在C 1上，此时由④知 ∣MF ∣= 6 - 121x ∣NF ∣= 6 - 1 2 2x 从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= （6 - 121x ）+ （6 - 122x ）=12 - 1 2 ( 1x +2x ) 由22(3) 13627 y k x x y =-???+ =?? 得2222(34)24361080k x k x k +-+-= 则1x ，1y 是这个方程的两根，所 以1x +2x =222434k k +*∣MN ∣=12 - 12（1x +2x ）=12 - 2 2 1234k k + 因为当2,24,k k ≤≥≥或k 22 21212100 1212.134114k MN k k =-=-=++ 当且仅当k =± （2） 当,2A E A N k k k k <<- <直线L 与轨迹C 的两个交点1122(,),(,)M x y N x y 分别在12,C C 上，不妨设点M 在1C 上，点2C 上，则④⑤知，121 6,32 MF x NF x =-=+ 设直线AF 与椭圆1C 的另一交点为E 00012(,),, 2.x y x x x <<则 10211 66,33222 MF x x EF NF x AF =- <-==+<+= 所以MN MF NF EF AF AE =+<+=。而点A ，E 都在1C 上，且 ,AE k =-有（1）知100100 ,1111 AE MN = <所以 若直线ι的斜率不存在，则1x =2x =3，此时 121100 12()9211 MN x x =-+=< 综上所述，线段MN 长度的最大值为100 11 21.（本小题满分13分） 对于数列{}n u 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有 1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤ 则称数列{}n u 为B-数列 （1） 首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （2） 设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断； A 组：①数列{}n x 是B-数列 ②数列{}n x 不是B-数列 B 组：③数列{}n S 是B-数列 ④数列{}n S 不是B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （3） 若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列。 解（1）设满足题设的等比数列为{}n a ,则1n n a q -=，于是 2 1 211,2n n n n n a a q q q q n -----=-=-≥ 因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=2 1 1(1...).n q q q q --++++ 因为1,q <所以21111 (11) n q q q q q q --++++=<--即 11211...1n n n n q a a a a a a q +--+-++-< - 故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列。 （2）命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设1,n x n N ?=∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n = 1121...n n n n S S S S S S n -+-+-++-= 由n 的任意性知，数列{}n S 是B-数列此命题为。 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列 此命题为真命题 事实上，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的1,n ∈有 1121...n n n n S S S S S S M +--+-++-≤ 即12...n n x x x M ++++≤。于是 1121...n n n n x x x x x x +--+-++- 1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+ 所以数列{}n x 是B-数列。 （III ）若数列{}n a {n b }是B -数列，则存在正数12.M M ，对任意的,n N ? ∈有 11211 ....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ 11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤ 注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111 ...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ 同理：21 n b M b ≤+ 记222K M b =+，则有222K M b =+ 111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+- 1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+- 因此 111 2 1 2 1 1 2 (......) n n n n K b b b b a a k M k M +--+ -+-≤+ +111212112(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+ 故数列{} n n a b 是B -数列
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