相似三角形
——相似三角形证明题的思考方法
【知识要点】
熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。
相似判定（二）
例1、如图，在梯形ABCD 中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似。
相似判定（三）
例2、如图,A 、D 、B 、E 、C 、F 分别在射线OA 、OB 、OC 上且,OF
OC
OE OB OD OA ==试判断△ABC 与△DEF 是否相似。
A B
C
D P O C
A D
F
B
E
利用相似证明线段成比例
例3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ⊥AC ，D 是AC 中点，连结BD 。过A 作AE ⊥BD ，交BC 于E ，求证：BE=2EC 。
例4、如图，P 为等边△ABC 的BC 边上一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N ，求证：BP ·PC=BM ·CN 。
利用相似证明角等
例5、如图，在ABC Rt ?中，
M ACB ,90?=∠为BC 的中点，AM CN ⊥于N ，求证：
MAB CBN ∠=∠
A C N
M B P A B C D
E
A
B
M
N
C
【拓展练习】
1 已知：如图，AB=AD ，BD=CD ，DE ⊥BC 于点D ，交AC 于点E ，BE 交AD 于点F 。求证：（1）△BDF ∽△CBA （2）AF=DF 。
2 如图，在△ABC 中，∠B=60°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AE ⊥BC ，垂足为E ，求证：DE=
2
1
AC 。
3 如图，在□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，∠ECA=∠D ，求证：AC ·BE=CE ·AD 。
4 如图，在□ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，M 、N 分别为垂足，求证：△AMN ∽△BAC 。
D C E
B
A
F E A B
C D N
D
C M
B A A C
E B D
5、如图，△ABC 中，BD 、CE 是高，请问△ABC 与△ADE 是否相似？
6、如图，四边形ABDC ，CDFE ，EFHG 都是正方形，求证：（1）△ADF ∽△HDA （2）∠AFB ＋∠AHB=45°
【作业】
1．如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙1.6米，梯上点D 距墙1.4米，BD=0.55米，求梯子的长。
A D B
A B C D E F G H 1
2 3
4 1 A E D
B C
2．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10㎜，AC 被分成50等份，如果小管口DE 正好对着量具上30份处（DE ∥AB ），求小管口径DE 的长。
3.如图，在等腰Rt △ABC 中，D 在斜边BC 上，BD=2DC ，F 点在AC 上，BF ⊥AD ，垂足为E 。 求证：AF=FC 。
4、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。∠APB=120° 求AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式.
5、如图所示，D 为△ABC 内任一点，E 为△ABC 外任一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠ACB=∠DEB 。
A B C E
F D B A D
E C 50 40 30 20 10 P
A C D B
A B
C
D
E
3
1
2
4
6、如图所示，AD为△ABC （AB ＞AC）的角平分线，AD 的垂直平分线和BC 的延长线交于E。求证：
2
CE
=
DE?
BE
A
F
B E
C
D