排队论模型
随机服务系统理论是研究山顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，乂称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设讣与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用
每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。山于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队儿乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一.医院系统的排队过程模型
医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复朵的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1医院系统的多级排队过程模型
二、排队系统的组成和特征
一般的排队系统都有三个基本组成部分：
1.输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2.排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗, 在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。
3.服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的; 服务时间的分布与时间有关或无关。
三、排队模型的分类方法
一个实际问题作为排队问题求解时，首先要研究它属于哪个模型。如果按照排队系统特征的各种可能情形来分类，是很多的。但通用的分类方法为：
X / Y / Z
其中X处填写表示相继到达间隔时间的分布；Y处填写表示服务时间的分布; Z处填写并列的服务台的数目。
按照惯例，下面的符号常用来代替上式中的符号。
M——泊松到达或离去（或者到达间隔为指数分布或服务时间为指数分布）
G——一般离去分布（或一般服务时间分布）
D——定长服务时间
如M/M/ 1即表示到达过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台为一个的情形。
四、排队系统的数量指标
1.队长指在系统中的顾客数，它的期望值记作Ls；（这里及以后的顾客都可理解为病人）排队长（队列长），指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作Lq：队长=排队长+正被服务的顾客数。一般情形，Ls （或Lq）越大，说明服务率越低。
2.逗留时间指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws。
等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq。逗留时间=等待时间+服务时间
据心理学调查，诊病问题中仅仅等待时间是病人们所关心的。
五、排队模型
1.M/M/1 模型
M/M/ 1模型即指顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形。它乂分为标准型、顾客源有限型和服务系统容量有限型三种。山于一个城市或任何地区的所有人都被认为是医院的可能“顾客”，这样大的数口可以认为是无限的，因此顾客源为有限的这种情形本文就不讨论了。有些服务系统的容量是有限的，医院也有这种情形，如规定一天门诊挂100个号，那么第101 个病人就会被拒绝。但是笔者近期观察了儿家医院，发现由于实行了“门诊计量奖”,一般在日班门诊这段时间内到来的病人不会被拒绝（特殊科室除外）。因此我们也可假定医院系统的容量一般是无限的。这样我们就只讨论标准型。标准的M/M/1模型是指适合下列条件的排队系统：（1）输入过程一一病人源是无限的，单个到来且相互独立，一定时间的到达数
服从泊松分布，到达过程已是平稳的（到达间隔时间及期望值、方差均不受时间影响）。
（2）排队规则一一单队，且对队长设有限制，先到先服务。
（3）服务机构一一单服务台，各病人的诊治时间是相互独立的，服从相同的负
指数分布。
此外，还假定病人到达间隔时间和诊治时间是相互独立的。
因M/M/1模型要求到达规律服从参数为X的泊松过程，服务时间服从参数为口的负指数分布，所以先介绍这两个概念：
X——平均到达率，表示单位时间平均到达的病人数。
P ——平均服务率，表示单位时间能被服务完的病人数（期望值），而1/U 就表示一个病人的平均服务时间。在排队论中“平均”就指概率论中的数学期 望，这是一种习惯用法。
这两个参数都需要实测的数据经过统计学检验来确定（方法见例1） O
X / M 有着重要意义，它是相同时间区间内病人到达的期望值与能被服务的 期望值之比，这个比是刻划服务效率和服务机构利用程度的重要标志。 令p = X / p 我们称p 为服务强度。
在解排队论问题时，要求求出系统在任意时间的状态为n （系统中有儿个病 人数）的概率巳.它决定了系统运行的特征。
关于服务的排队系统
对于呼叫中心来说，服务水平是最重要的KPI 之一，是衡量呼叫中心服务质 量的指标，提高并维护服务水平是每一个呼叫中心管理者都应该认真面对的问 题。但是服务水平的控制却不是那么容易，原因是服务水平不像接通率那样，可 以直接山现成的容易理解的数据得到，并且服务水平的波动也非常大。
要控制服务水平，首先要理解服务水平，了解影响服务水平的因素。所以在 此，我们对服务水平进行深度的数学分析，全面了解服务水平的计算方法与主要 的影响因素，并且给出控制服务水平的方法。
服务水平（Service Level ）是一个百分比，指的是在指定时间内接听的电 话的比例。在业内，一般来说服务水平釆用的是20秒内接通率或者15秒内接通 率。从理论上来说，只要我们可以知道每一通呼入的具体数据，就可以通过每通 电话从转入人工到客户代表接起的时间，把在20秒或者15秒之内接听的呼入统 计出来，再与总体呼入量相比，就可以得到准确的服务水平。
但是每天面对成千上万的呼入量，要得到每一通电话的具体数据是非常烦琐 的，也是没有必要的。我们使用的CHS 系统会自己帮我们统计这些数据，并且经 过后台计算，得到服务水平的结果。但是CMS 系统只告诉我们数据，服务水平与 其他指标之间的关系还是需要我们自己去分析和理解，然后去控制。
其实，把呼叫中心简单化来看，就是一个非常标准的排队论模型。
从模型本身来看，是非常简单的三个过程，顾客到来、接受服务和离开。其 中当吝户世界
拝队等待
接龙服务
服务亢毕 川队筲待 爼话
顾客比较多，而服务台不能同时服务足够多的顾客时，就有顾客开始排队，直到自己被服务为止。对于呼叫中心，情况基本相同，服务水平就是本模型中有多少顾客等待时间少于20秒或者15秒。所以我们就可以利用排队论模型来对呼叫中心的相关数据进行分析。在排队论模型中，儿个关键前提是：
1.顾客的到来服从固定的分布；
2.服务台的服务时间服从固定的分布；
3.服务规则。
下面就根据排队论模型的关键前提来对呼叫中心进行建模。
相信每个呼叫中心都有预测分析人员，会掌握每日的呼入分布，例如：上午的9：00-11： 00和下午的3： 00-5： 00是呼入的高峰期，而吃饭时间呼入会比较小。呼入的分布从大的时段上看是有规律的，例如年周期、月周期、周周期等等。但是小到一定的程度呼入量就会趋向于随机分布。例如，从上午9： 00-9： 30的半小时，我们可以预测大约有300通呼入，但是我们不能预测呼入在这半小时中的分布情况，因为在半小时之内，呼入是随机的。那么，我们认为在半小时的时间内，呼入服从泊松分布。
相信每个呼叫中心的班次不同，各个时段的上班人数也不同，但是经过时段细分后，每半小时的上班人数是固定的。在我们的呼叫中心里，服务时间服从于以平均ACD与平均ACW之和为数学期望的负指数分布。
在每个呼叫中心，CTI和PBX对呼入进行分配，一般都采用了先到先服务的排队规则。
这样，以我们的呼叫中心为例，就得到排队论模型如下：
时间段：半小时
顾客：呼入的电话……服从泊松分布
服务台：所有的客户代表……服从负指数分布
服务规则：先到先服务
如果有的呼叫中心设定了系统容量或者到时间自动放弃等，也可以加入排队论模型，本模型只讨论系统容量默认为无限大，没有限时自动放弃（例如）的情况。这样，此模型中的指标也与呼叫中心的指标相对应，如下：顾客离开…… 呼叫放弃（半小时）
平均排队时长……平均速度应答（半小时）
平均顾客离开前等待时间……平均放弃时长（半小时）
这样通过对呼叫中心进行建模，我们可以掌握每半小时内的呼入等待分布、平均放乔分布、平均ACD与平均ACW之和的分布。进而明确影响这些指标的因素, 通过对每半小时的指标控制来对整日、整周、整月的KPI指标进行控制。
在此，先考虑呼入不会放弃的情况，假设在半小时之内，呼入的电话服从参 数为X 的泊松分布，客户代表的服务时间服从参数为？的负指数分布，目前有n 个客户代表上班，系统内有i 个客户的概率为p (i),分析这个时候的排队系
统，得到状态转移关系图:
由此得到差分方程：
pP (1) =kP (0)
(n+1)卩P (n+1) + AP (n-1) = (X+np)P (n) (IWnWc) cpP (n+1) + XP (n-1) = (X+cp)P (n) (n>c)
求解，可以得到：
之后便可以进一步得到平均等待电话数和平均速度应答的公式:
r
> (-)"1 L = . P(O)
c ?c!(l -
山此数学模型，我们就可以计算出在半小时之内的平均速度应答情况，例如: 在上午10： 00-10： 30之间，平均呼入为200通，则可设定X=200o 客户代表 的平均
ACD+平均ACW 为180秒，则可设定?二10。本时段有25名客户代表上班， 则可设定吝户世界
W)=為臼讣諾
埒)") (1】Wc)
(n>c )
nWc n>c
c二25。
通过公式计算，可以得到，平均速度应答为7. 5秒，平均等待人数为0.8 个。当然这只是理想的惜况，在实际工作中，客户在等待时间过长的时候会主动放弃，不过在CMS系统中，我们可以得到客户的平均放弃时长，把这个参数也加入到模型之中。如果CTI和PBX的设定不同，也可以在本模型中修改参数。
从图中可以看到，根据？、入、c等参数的变化，分布曲线也是不同的，但是大体形状相同。因为呼入进线都需要客户代表有一个反映时间与震铃时间，所以在0秒处应答的电话为0o平均服务水平就是曲线与时间轴之间的面积。例如: 20秒内接通率为曲线从0到20所做的定积分。而平均速度应答就是使积分面积等于总面积一半的点。
在本图中需要注意一点，当把呼入放弃加入本模型之后，主动放弃的呼入将不计入本曲线之内。
在本曲线中，？、入、c等参数的变化是会影响图形形状的，如果X很大，而c 过小，则曲线将会便矮。如果X>c?,则曲线形状将发生比较大的变化，因为变化后的曲线类型比较多，在此不一一讲述。
从排队论模型中可以看到，直接影响服务水平的可控制因素为？、入、c等参数，同时服务规则等也会产生影响。我们在此对影响因素进行逐一分析。
1、X
严格意义上说，X是不可控制的，因为入代表了电话的呼入情况。但是从大的时段上来看，这个参数也是可以部分控制的。通过营销活动、客户引导来改变电话呼入的分布。在呼叫中心，我们是为了满足客户的需求，只要X在我们可预测的范围之内，我们可以不去改变它。
X在本模型中代表了呼入的分布，在其他条件不变的惜况下，X越大，服务水平
就越低。从影响程度上讲，X对放弃率的影响可以认为是线形的，而对服务水平的影
响是二次的。所以在呼叫中心的运营过程中，我们可以发现，当接通率下降1个百分
点时，服务水平可能下降5到10个百分点。
2、u
u代表客户代表对每一通电话的服务速度，这是我们可控制的，通过对服务流程的改进和对客户代表的培训，可以加快？。在其他条件不变的情况下，P越大, 服务水平就越高。从影响程度上讲，？与X是基本相同的。
3、c
C代表了排班人员在这半个小时内所安排的上班人数，完全是曲排班人员指定的，也是我们最容易控制的。在其他条件不变的情况下，C越大，则服务水平就越高。这个参数对服务水平的影响也是最大的，我们可以发现，有的时候在呼入很大的情况下，也许只多加一个人就可以缓解很大的呼入压力，就是这个道理。
4、服务规则
从理论上讲，改变服务规则也可以对服务水平产生影响。一般来说，各个呼叫中
心都使用了先到先服务的服务规则，但是如果把服务规则修改成当一通呼入等待时间
超过20秒之后，就把它排在等待的最后一位。这样，在等待的队伍中, 等待时间短于20秒的呼入会优先被接听。这样的话，在被接听的电话中，等待时间在20内的比率就会增加。在其他条件不变的情况，服务水平也会有所提高, 不过改变服务规则的可行性不大。
那么，在实际的运营工作中，如果通过可行的方法改进服务水平呢？根据排队论
模型的分析，我们给出以下建议：
1.做好话务预测工作，掌握呼入的周期性分布，能够准确预测出半小时呼入量。并
且通过对呼入量的分析来合理排班。
2.提高客户代表的工作效率，缩短每通电话的处理时间。
3.缩短震铃时间，就是从客户代表的电话铃响到接听的时间。一般来说，高效的呼
叫中心把这个时间控制在每通电话3秒钟以内。
4.当电话发生排队时（在呼叫中心的看板上显示），需要由现场监督人员加强现场
管理，尽快消除排队现象。
最后，本文中所列出的模型具有普遍性特征。因为电话的进线、排队、接听
从根本上就是排队行为，只不过在细节上有所不同。对于其他的呼叫中心，可以根据
自己的实际情况，找到呼入的分布，服务效率的分布，通过排队论模型得到相关的速
度应答分布，更好的控制服务水平。
r >0
r<0
/?(/) = <
伙—1)