学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思
维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，
以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
学科培优数学
“几何计数”
学生姓名授课日期
教师姓名授课时长
知识定位
在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指
计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须
要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系
统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一
定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，
如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，
我们所使用的所有计数方法都离不开分类．
知识梳理
一、数线段
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么
这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
二、数角
数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D
∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C
同样还有：
∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 B ∠COD ，∠COE共2个 A ∠DOE共1个
合计有4+3+2+1=10（个）
三、数三角形
可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）
因为DE上有15条线段，每条线段的两端点
与点A相连，可构成一个三角形，共有15个
三角形，同样一边在BC上的三角形也有15
个，所以图中共有30个三角形。
四、
A M D
E P F
G Q H
B M C
线段AM与AE对应着长方形AMPE，
AM与AG对应着长方形AMQG，
AM与AB对应着长方形AMNB
AM与EG对应着长方形EPQG,
AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.
就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形
AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形
一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
五、染色问题
在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。
六、图形计数，方阵计数
这类问题大多比较困难。图形计数包括，圆，三角，直线，平面分割，等之间的互相交叉题型。而方阵计数，棋盘中计数是现在考试的热点。
几个计算公式总结：
1．线段、角的计数公式：
2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是
mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
= mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)
例题精讲
【试题来源】
【答案】100
【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】从A到F一共有多少种不同走法？
A B C
D E F
【答案】9
【解析】经过AB到F的有3种爬法
经过AE到F的有3种爬法
经过AD到F的有3种爬法，所以共9种爬法
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
【答案】630
【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：
最上一层只用了3根火柴；
从上向下数第二层用了3×2=6根；
从上向下数第二层用了3×3=9根；
……
从上向下数第二层用了3×20=60根；
所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】如图19—2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【答案】13975
【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘
米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．
【答案】10664
【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100
这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16） =124×86=10664
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数
的差是多少?
【答案】20
【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60
所以梯形比三角形多60-40=20个
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? ···
····
····
【答案】220
【解析】我们先任意选取三个点，那么第一个点有12个位置可以选择，第二个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一种图形，如下图，ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA均是同一个图形。
所以又12×11×10÷6=220种选法，但是如果这三点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种
所以可以套出220-3×4－1×4-4=220种不同的三角形。
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】图中共有多少个三角形？
【答案】118
【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类
（1）最大的三角形1个(即△ABC)，
（2）第二大的三角形有3个
（3）第三大的三角形有6个
（4）第四大的三角形有10个
（5）第五大的三角形有15个
（6）最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）
图中共有三角形2×59=118（个）
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？
【答案】196
【解析】注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法
第1步：找对应图形每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上。
第2步：明确对应关系从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）。
第3步：计算对应图形个数由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49
（个）交叉点，
第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）。
评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同 的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。 在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【答案】48
【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积
设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是 ?×2×3=3 2．思考图中怎样的三角形的面积等于3
（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）。
这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；
（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3。
这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线。
这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复 所以这样的三角形共有32+16=48（个）
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如果用四种颜色对下面三个图形的A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，那么，对（1）（2）（3）图分别有 、 、 种染法。
【答案】96 48 96
【解析】染色问题中乘法原理的应用，图1染色注意可以以下列顺序 D----A----B----C----E
4 × 3 × 2 × 2 ×2=96 图3和图1完全相同也为96 图2 顺序C----A----B--------D----------E 4 × 3 × 2 × 与A 相同1×2
A B D
E
C
A B
C
D
E
A B
C E
D
与A 不同1×1 注意分相同和不同颜色来讨论是易错点。
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【答案】16
【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：
由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n=
()
12
n n ++1个部分． 方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分． 一般的有k 条直线最多将平面分成： 1+1+2+…+k=
()
12
k k ++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【答案】26
【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内
部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．
同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．
第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．
所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】9902
【题目】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?
【答案】
【解析】先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．
同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．
再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因为5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．
评注：对于“100个圆最多能将平面分成多少个部分?”这种的问题，可以采用归纳法：1个圆将平面分成2个部分，2个圆最多将平面分成4个部分，3个圆最多将平面分成8个部分，4个圆将平面分成14个部分，…
于是，猜想n个圆最多将平面分成2+2+4+6+…+(n一1)×2=n×(n—1)．4-2个部分,则100个圆最多将平面分成100×99+2=9902个部分．
I．我们注意到，有些同学由“1个圆将平面分成2个部分，2个圆最多将平面分成4个部分，3个圆最多将平面分成8个部分，……”得出结论n个圆最多将平面分成2个部分．对于上面那个“n个圆最多将平面分成2个部分”结论，如果只看前3种情况，是无法判断出它的错误，这就要求我们尽可能的多验证几种情况．当然，限于我们采用的是不完全归纳法，所以对于得出的结论无法进行严格的论证．
Ⅱ．例如,n2+n+41，当n取0，1，2，3，…，39时，所得的值均是质数，但是我们不能就此说．当 n为自然数时．N2+n+41就是质数．因为当n=40，41，…时就不是质数，402+40+41＝(40+1)×40+41=412，显然不是质数；412+41+41=41×43，显然也不是质数．Ⅲ．大家还可以推导出n个正方形、n个锐角、n条直线分别最多将平面分成几个部分．图形切割总结： N个图形最多可把平面分成部分数
直线： 1+n×(n+1) ÷2
圆： 2+1×n×(n-1)
三角形： 2+3×n×(n-1)
长方形： 2+4×n×(n-1)
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】迎春杯试题
【题目】用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网，一共有＿＿种不同的覆盖方法。
【答案】8
【解析】5个1×2的小长方形都是竖直的时候有1种，3个竖直的时候剩下的要横着放，这样有4种，1个竖直的时候，有3种，所以总共只有8种。
[总结]：这题我是这样总结的：若用1×2的小长方形去覆盖2×N的方格网，则设方法数为An，那么A1=1，
A2=2，N≥3时。后面的方法数都是前面的两种数目和。这样A3=1+2=3，A4=2+3=5，A5=3+5=8种。
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】用图1所示的1×2小长方形和1×3小长方形去覆盖如图2所示的填有数字的2×6方格表，共有多少种不同的盖法?
【答案】30
【解析】如果只用1×2的长方形盖住2×n的长方形，设种数为a n，则a1=l，a2=2．对于n≥3，左边可能竖放1个1×2的，也可能横放2个l×2的，前者有a n-1种(因为剩下2×(n一1)的长方形)，后者有a n-2种，所以a n= a n-1＋a n-2．
从而a3=1+2=3，a4=2+3=5，a5=3+5=8，a6=5+8=13
如果至少用1个1×3的长方形，那么由于共用2×6=12个小方格，而每个1×2的长方形盖住2个小方格，1×3的长方形盖住3个小方格，所以1×3的长方形必须用偶数个，盖住的方格的总个数才能是偶数12．
如果用4个1×3个长方形，盖法只用1种.
如果用2个1×3个长方形，这2个长方形全在上面或全在下面，各有1种盖法．这2个长方形一上一下，有以下几种可能：
(1)两个1×3小长方形不同行且并排：
图(1)中未覆盖的格子有2×3个，对应为a3=3种；图(2)中未覆盖的格子有2×3个，对应为a3=3种；图(3)中未覆盖的格子为2×1+2×2个，对应为a1×a2=1×2=2种；图(4)中未覆盖的格子为2×1+2×2个，对应为a1×a2=l×2=2种．
(2)两个1×3小长方形不同行且不并排：如图(5)、图(6)、图(7)、图(8)，共有4种覆盖
方法．
因此，覆盖方法共有：13+1+2×1+(3+3+2+2)+4=30．
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】小明有8张连在一起的电影票(如下图)，他自己要留下四张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有＿＿种不同情况. （04试验中学入学测试题）
【答案】25
【解析】四张构成正方形的有3种，3张竖的连在一起的有123对4、5、6。456对1、2、3、7、8总共有8种。3张横的连在一起的有368对2、5、7。2、5、7对3、6、8、1、4共8种,另外Z 字形还有6个，所以一共有25个。
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】将19枚棋子放入5*5的方格网内，每个方格最多只放一枚棋子，且每行每列的棋子数均为奇数个，那么共有_____________种不同的放法。
【答案】600
【解析】由于一共有25个格子,要放入19个棋子，还有6个空。 每行每列棋子数为奇数个，则每行每列空格数为偶数个。0，2或者4
假设某行的空格数为4，为了4个空格在的列都有偶数个空格，则至少还要4个空格，这样就有8个空格。不合题意。所以每行空格数只能是0或者2. 因为一共就6个空格，可以推出有3行和3列分别有2个空格， 先选择有空格的3行3列
35C ×35C =10×10=100
然后在这3行3列中选择6个空格，有3×2×1=6种 所以 一共有600种。
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋子．那么共有 种不同放法．
【答案】432
【解析】本题采用分类、分步讨论
将5枚棋子放入4×4的方格中，可以发现不论怎么放一定会有2个棋子在一
条直线上的情形，所以我们不妨先从这2个棋子开始放，选定一行有4种选法，然后在一行中
选定2个格子，即2列，有2
4
6C =种选法，故填完前2个共线棋子有4×6=24如右图示例，接下来我们填第三枚棋子，第三枚棋子填入后又会有2种情形出现：
(1) 第三枚棋子与2个△所在的列共线：
那么第三枚棋子共有6个格子可以填，即6种填法。 而最后2枚棋子只可能成对填入2个圆圈或2个□中，
则此类情况共121
4
4624662288C C C ???=???=种 (2) 第三枚棋子与前2个△所在的列不共线
那么第三枚棋子也有6种填法，而最后的2枚棋子必须填入同一列， 共
有
121
446466144C C C ??=??=种
答案 288+144=432
【知识点】几何计数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】一个圆上有12个点A 1，A 2，A 3，…，A 11，A 12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
【答案】55
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
△ △
△ △ △
○ □
□
○
△ △
△
△ △
△ ○
○
【解析】我们采用递推的方法．
I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个
点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有
可能的连法．
Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点
可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边
所对的弧上．
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．
共有12种连法．
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上：
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55种．
所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.
【知识点】几何计数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】
【题目】如下图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有块。
【答案】192
【解析】192
【知识点】几何计数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角
形）
【答案】40
【解析】40
【知识点】几何计数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？
【答案】135
【解析】135
【知识点】几何计数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在8×8的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形？
【答案】168
【解析】168
【知识点】几何计数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如下图，八面体有12条棱，6个顶点。一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
【答案】40
【解析】40
【知识点】几何计数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4