《高等数学教程》第五章 定积分 习题参考答案
习题5-1 (A)
1.(1) )(2
12
2
a b -
(2) 1-e
2.
3
4
3.(1) 2
3 (2)
2
2
R
π
(3) dx
x dx x ??=-
20
22
cos 2cos
π
ππ
(4) ?
?-
-=0
2
0sin 2sin π
π
xdx
xdx
4. dt
e I Q T T ?
=
2
1
)(
5. KN 2.88
6.
?
=
l
dx
x M 0
)(ρ
8.(1) ?
?<
2
13
2
12
dx
x dx x (2) ?
?>
2
2
sin π
πxdx
xdx
(3) ?
?>
2
1
2
2
1
)(ln ln dx
x xdx (4) ?
?>
4
3
2
4
3)(ln ln
dx
x xdx
(5) ?
?+>
1
1
0)1ln(dx
x xdx
9.(1) e dx e x
<
02
1 (2)
e
e dx x
e e e
e
-<<
-?
2
2
2
ln 1)(2
1
(3) π
π
3
2arctan 933
1<<
?
xdx x (4)
4
102
2
222
---<<
-?
e
dx e
e
x
x
习题5-1 (B)
1.(1) ?1
0xdx (2) ?+1
2
11dx
x
(3)
dx
x a
b b
a
?-)(1
?
3. dx
x R
V
R
R
?
--=)(2
2
π
4. 约6.7升/分
习题5-2 (A)
1.
x
sin -,
2
2-
2. (1) 4
12x
x + (2)
8
12
21213x
x x
x
+-
+ (3)
)
sin
cos()cos (sin 2
x x x π-
(4) 2
'
2
2
2
'
)]
(sin[)()](sin[)(2x x x x x ????-
3. t t cot
4.
2
cos y
e
x -
5. 极小值0)0(=I
6. )4
1,0(
7.
3
38a
8. -1；2 9.(1)
8
21 (2)
a
3π
(3)
14
+π
(4) -1
(5) 4
1π
- (6) 4
)(arctan 2
π
-
e (7)
)
1(211
--e
(8)
2
4 (9)
)221(15
8+ (10)
2
cos 4cos 12
+-+e 10.(1) 0; 0 (2)
π
(3) 0 (4)
)
(),(0l k l k =≠π
11.(1) 1 (2) 2 (3) 3
2 (4)
3
1
习题5-2 (B)
1.(1) 2
ln (2)
1
1+k (3)
π
2
2. )
(x f 在0=x 处连续，可导，且0)0('=f
3.
1
2
3)(--=x e
x x f ，e
1
4.
2
π
，π
21-
5.
????
?≤≤+
-<≤=Φ时
当时
当2161122
1103
1)(22
x x x x x x
8. 2；5 9. -1
习题5-3 (A)
1.(1)
512
51 (2)
3
4-
π (3) 21
1-
-e (4) 0
(5) 2ln 21- (6) )32ln(2
3+- 或
)32(ln 2
3-
+
(7) 4
1π
- (8)
3
3
22-
2.(1) 32 (2)
π
(3)
324
3
π
(4)
2
4 3.(1) )12(9
13
+e
(2)
2
2ω
π
-
(3)
2
3ln
2
1)934
1(+
-π
(4) )
1(21
--e
(5)
)1(5
1-π
e
(6)
35
8
8. e
习题5-3 (B)
1.(1) 424-
(2) )2(2+π (3)
)11cos 1sin (21
+-e e
(4)
2ln 4
18
-
π
(5)
8
π
(6)
12
-e
(7) 0 (8)
4
π
(9) 4π
(10) 当m 为奇数，
2
!
!)1(!!π
?
+m m 当m 为偶数，
!
)!1(!!+m m
(11)
π
=1J ,???
???
??-?-=的奇数
为大于为偶数
1!!!)!1(2!
!!)!1(2
m m m m m m J m
ππ
2. )()(a x f b x f +-+
3. 4
1
4.
x
2
ln
2
1
9. 0, 2
!!48!!474π
??
习题5-4
1. 145.6(平方米)
2.(1) 0.7188 (2) 0.6938 (3) 0.6931
3.(1) 1.3890 (2) 1.3506 (3) 1.3506
习题5-5(A)
1.(1) 收敛，2ln 1- (2)
0≤b 时发散，0>b 时收敛于1
)(-ab
be
(3) 收敛于2
π
(4) 收敛于2 (5) 收敛于2ln 2
14
+
π
2.(1) 收敛，3 (2) 收敛，1 (3) 发散
(4) 收敛，2
π (5) 收敛，3
8 (6) 收敛，3
π
3. 2
e
4. !n
习题5-5(B)
1.(1)
2
ln 31 (2) 发散 (3) 发散 (4) 0
(5) 发散 (6) π
2
2 (7) 2 (8)
)23ln(
2
++π
2. 1≤λ时发散，1>λ时收敛于
λ
λ--1)ln (ln 1
1
a
3. 1≤k 时发散，1>k 时收敛于
1
)
2)(ln 1(1
--k k ，2
ln ln 11-
=k 时取最小值
4.
2
π
习题5-6
1.(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛 (5) 收敛 (6) 发散 (7) 发散 (8) 收敛 (9) 发散 (10)绝对收敛
2.(1)
,)1
(
1
>Γαα
α
(2)
1,
)1(->+Γp p
《高等数学教程》第五章 定积分应用 习题参考答案
习题 6-2 (A)
1．3
8)
2(6)1(
2．3
32)
4(3
32)
3(1)2(6
1)
1(
3．21
)1(-+
e
e a b -)2( 6
7
)3( 69
4)4( 3
2)
5( 6
7)
6( 4)7( 346,342)8(-+ππ
4．)1(21--e 5．49
6．2
3
16p
7．
6
2
a
8．23a π
9．
2
e
10．2)1(a π 2
18)
2(a
π
2
)3(
11．2
02x a π 12．
ππ5
64,7
128
13．)](22[4
)
1(2
22
--+e e a a a
π 6
)2(2
π
π)
3( )2
32ln 4()4(-
π π2
5)
5( 2
160)6(π 14．
;35
π 15．)32
5
316(
-π
16．
3
3
1000
17．34 18．2
3ln 211+
19．3
4
32-
20．)1(12
-+?
a e
a
a
21．12
523ln
+ 22．)21(ln +
23． 8
习题 6-2 (B)
1．2
)2
36
7(
)1(a -π π4
5
)2( 2
3
16
)3(-+
π
2．3=a
.
33
1)(2
1,132,
)1,
11(
211121=?=
+=
+=
++a S S S a
S a
a a
l l 且的交点坐标
与提示：
3．)(741g π
4．15
224)
4(;3
8)3(;5
32)2(;
8)1(π
πππ 5．b a 2
2
2π 6．
π30
7
7．327a π
.
72)2(.
7)(.
20;)cos 1()cos 1(),
sin (.
,
23
220
22
3
2
20
2
12
221a dx y a a V a dx y y V a y y t a y t a y t t a x x x a y y y a a ππ
ππππ
ππ?
?
=-?==-=∴-=?=+-=?-=-=∴=-=法二：而曲线方程为轴作平移：
法一：对
提示：
8．???
?
?
?
-a a 2
3
],2332
[π分点坐标： 9．)32ln(
6++
10．]1)2
5
([9823
-
12．a a
a
6)3(105
32)
2(8
3)1(3
2
ππ
习题 6-3 (A)
1．)(18.0J k 2．)(2ln 800J π
3．)(7
273
732
为比例系数k a
c k
4．)(12cm - 5．
)(104
13
4J g R ?π 6．)(1023753
kJ g ?
7．
)(106
13
22J g h R ?π 8．)(65.1N 9．)(11)2()(1047.6)1(6m N ?
习题 6-3 (B)
1．
)(104)(103
43
43
4J g R J g R ??ππ
2．)(1075.26
J ?
3．压力增加一倍
)2(;6
1)
1(2
ah
4．)
2()
(ln
2
a l a a l k F ++=μν
的引力。
对，求处取微元固定一点
杆的，在处取微元杆的提示：在
ξξξd dx d B dx x A
习题 6-4
1．103000 2．)(3660工时 3．19850)2(5.9987)1(
4．7585，毛利－固定成本提示：净利=
5．
（万元）
（万元）（万元）台时总利润最大
当产量为万元总成本的增量万元，总收入的增量08.15)2.3(,48.20)2.3(,4.5)2.3()4(1
8
54)()3(320)2(1920)1(2
===--=C R L x x x L 6．亿元年；168
7．p
p Q ??
?
??=311000)(
《高等数学教程》第七章 微分方程与差分方程
习题参考答案
习题7－1（A ）
1．
一阶
)1(
二阶
)2(
一阶
)3(
2． (1) 不是 (2) 是 (3) 是 3．25
)
1(2
2
=-x
y
x
xe
y 2)2(=
x y c o s )
3(-=
4．02=+'x y y
习题7－1（B ）
1．1)1()1(2
2
=+'y y
02)2(=-'+''xy y y x
2．)()1(2
为比例系数
k T
P k dT
dP =
)
()2(21为比例系数
k v
k t k dt
dv m
-=
习题7－2（A ）
1．x
C e
y =)
1(
C
x
x
y ++
=
3
2
5
12
1)2(
)
1(ln 1
)3(x a a C y --+=
C
x
y
=+-1010
)4(
C
x y +=a r c s i n a r c s i n )5(
C
x y
+--=2
2
12)6(
3
41
2
1)21()7(x
y C -=- C
y x =t a n t a n )8(
3
)
1(t a n )9(-=x
e
C y
C
e e
y
x
=-+)1()1()10(
2．)
1(2
1)
1(2+=x
y
e
e
c o s 2c o s )2(=-y x
2
tan
)3(x e
y =
)
1(ln 21)1(ln 2)4(2
e e y
x
+-++=
6.3=xy
2
3
1.
4x
y =
习题7－2（B ）
)
(10,64.90305.0.12
3
s h t 水流完所需时间约为+-=
)
/(3.26972500
.2s cm v ≈=
t
e
R R 000433.00.3-=
t
e
t v 5
2ln 6)(.4-
=
t
k m t
k
m e
v e
g k
m v --
+-=
0)1(.5
1
)
1(
.6--=m a
x b y
3
1.7x
e C y x
-
=
习题7－3（A ）
1．1
)
1(+=x C e
x y
2
2
2
)2(Cx
x
y
y =-+
)
(ln )
3(2
22
Cx x y
=
2
)
ln
()4(x
C x y =
)
0()5(>=x e x y x
C
x
y sh
C x 3
2
)6(=
2．x
x y ln sin
)1(=
2
)2(2
2
=++y
x
y
3． C
y
x
y =++
2
2
习题7－3（B ）
1．3
3
1)
1(y
C y
x =
- C
ye
x x
y
=+2)2(
2
2
3
)3(x
y y
-=
1
)
4(2
2
=++y
x
y
x
2*．
C
y x y x C
x y x y C
x y x y
C x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)
4()1()1()3(1
2arctan
])1(4ln[)2()32()34()1(5
2
2
2
2
习题7－4（A ）
1．)
()
1(C x e
y x
+=-
)
()2(s i n C x e
y x
+=-
)
(1)3(2x
x
e Ce x
y +=
x
x C y 2
c o s 2c o s )4(-= 1
sin )5(2
-+=
x
C x y
)
2()
2()6(3
-+-=x C x y
2．x
x
y cos 1)
1(--=
π
x
x
y cos )2(=
1
5sin )3(cos =+x
e
x y
)
4(3
2)4(3θ
ρ--=
e
)
1(2)5(1
1
3
2
--=x
e
x y
3．)1(2--=x e y
x
4．,
)1()()2(,)()
1(kt
e a a t y a y k dt
dy --+=--=
量的相对忘记速率。
为相对于以后要忘记的
为牢记不忘的量，k a )3(
5．x
Ce
x y
+-=sin 1)
1(
C
e
y
x
=+
2
2
3
)31()2( 2
4
)
ln 2
1(
)3(C x x y +=
x
e
C y
x
211)
4(3
--=
C
x x y
x ++-
=)ln 3
2(
3
2)
5(3
2
2
习题7－4（B ）
1．4
12
1)
1(2--
=y e
C x y
2
3
2
1)2(y
y
C x +
= y
C y y x +
=ln )3(
C
y y x +=2
ln ln 2)4(
1
arctan )5(arctan -+=-y Ce
x x
2．x
e
e
y
y
=+-)
1(
π
+=
x x y sin )2(
2
sin 1)4(2
+=+y y
x
x
ch x f =)(.3
)
3(20,10
6.410
x e x dt x dt dx --=-=
)
1(.5222
12
1t
m
k e k
m k t k k v -
--
=
6．)
(tan )
1(C x x y ++-=
C
x y x +-=-2)
()2(2
x
C e
y x =)
3(
y
e
x
x
C =+
4
)4(3
C
x x y +-
-=1sin 1)5(
7．?==-
+
代回，得通解。
求出积分后将xy v C v g v f v dv
v g x ,)]
()([)(ln
x
x
e
e
x f 2323)(.8-=
3
5)(3
2)
(.
93
2
2
=
+
x f x
x f
习题7－5（A ）
1．C y y x x =++32233
43)1(
C y xy
y x ax =-
--3
2
2
3
1)2( C y
xe y
=-2
)3(
C x y y x =+cos sin )
4(
C x y x =-
3
3
1)5( C e =+)1()6(2θ
ρ
(7) 不是全微分方程 (8) C x y
=
(9)
C x
y y x +-
=+2
2
(10) C y x x =+)(sin (11) C e y e x x
y =+
2．(1) C x
y x =+22
(2) C y
xy x =--1
322
(3) x
e
C y x 222=+
(4) C x x y =+ln 2
(5) C x y
y =+
ln 1
(6) C x e x y
=--cos
3．(1) 2
21
2y
x e y C x =
(2) 3
3
313y
x xy e C x +=
习题7－5（B ）
3．C e y e x e x f x y x =+=,)(
习题7－6（A ）
1．3
22
1)3()
1(C x C x C e
x y x
+++-=
2
12
)1(ln 2
1arctan )2(C x C x x x y +++-
=
22
1)3(C x C y +=
2
2
121)4(C x x
e
C y x
+--= 2
1)(cos ln )5(C C x y ++-=
2
2
1)
14()6(C x C y +-=
2
13
ln 91)7(C x C x x
y +++=
21111
)(;
ln
)8(C x
C x C y x
y y y x C x +-=''=''+此题应为
2．2
212
1)(1)
1(C x C y
C +=- 12)(arcsin )2(C e C y x +=
??
?
?
???
?+-+±=+11
2
3122)(
32)
3(C y C C y C x
)
1(ln 1)4(11
2-=
+y C C C x
3．)
22(2)1(21)
1(2
3
2
2
3
--+
-+
-
=
a
a a
e
x a a
e x
a
e
e a
y a a a
ax
x
y arcsin )2(=
2
2)3(x x y -=
)
1(ln 1)4(+-
=ax a
y
x
y sec ln )5(=
x
e
y -=)6(
1
2
16
1.43
++
=
x x
y
习题7－6（B ）
1．3
21)
1(C x C e
C y x
++=
4
321)2(C x C e
C y x
C ++=
x
x y +-
=11)(.
2
2
1ln )(.
3C x C x f +=
),()(ln 1.42
2
2
2
2
2
k
g m
c
k t k ch k
s =
=
=μ
μ
习题7－7（A ）
1．(1) 线性相关 (2) 线性无关 (3) 线性相关 (4) 线性无关 (5) 线性相关 (6) 线性无关 x C x C y ωωsin cos .221+=
2
)(.
321x
e
x C C y +=
习题7－7（B ）
1．x
C x C y 1
2
1+= 2．)12(21++=x C e C y x
3．x x x x x C x C y cos ln cos sin sin cos 21+++= 4．.ln 2
1ln 2
21x x x x C x C y ++=
习题7－8（A ）
1．x
x
e
C e
C y 221)
1(-+= x
e C C y 421)2(+=
x C x C y sin cos )3(21+=
)
2sin 2cos ()4(213x C x C e
y x
+=-
x
x
e
C e
C y 3231)5(-+=
x
e
x C C y 3121)()6(-+=
t
e t C C x 2
5
21)()7(+= t
C t C y 3sin
3cos )8(21+=
2．x
x
e
e
y 324)
1(+=
x
e
x y 21)2()2(-+=
x
x
e
e
y 4)3(-=-
x
e
y x
5sin 3)4(2-=
x x y 5sin 5cos 2)5(+=
x
e y x
3sin )6(2=
习题7－8（B ）
1．x
x
e
C e
x C C y -++=321)()
1(
)3s i n 3c o s ()2(3221x C x C e e
C y x
x
++=-
x
C x C e C e C y x
x
sin cos )3(4321+++=- x
x C C x x C C y sin )(cos )()4(4321+++=
x
e x C C x C C y )()5(4321+++=
x
x C x C e
C e
C y x
x
3sin 3cos )6(432221+++=-
3．.0=''-'''y y
4．.0222)
4(=+'-''+'''-y y y y y
2
ln 2
1.
5
.
0)0(0)()(==+''f x f x f ，且
得
由题意，提示：
习题7－9（A ）
1． x
x
x
e
e
C e C y ++=-221)
1(
2
211sin cos )2(a e
ax C ax C y x ++
+=
x
x
x
e
C C y x
25
7533
1)3(2
3
2521+
-+
+=- x
x
x
e
x x e
C e
C y ----++=)32
3(
)4(2
221
x
e
C e
C y x
x 2
18
11)5(421-
+
+=--
x
x
e
x x
e
x C C y 32
321)13
1(
2
)()6(++
+=
2．x
x e
C e
C y x
x
sin 745cos 74
7)
1(621++
+= t
t t t C t C x sin 9
2cos 3
12sin 2cos )2(21++
+= )
sin (cos 2
1)3(221x x e e
C e C y x
x
x
+-
+=---
x
e
x x C x C e y x
x
2cos 4
1)2sin 2cos ()4(21-
+=
x
x x C x C y 2cos 4
52sin 2cos )5(21-
+=
3．2
52
75)
1(2+
+
-=x
x
e
e
y
9
83
44
54
1)2(3-
-
+-=-x e
e
y x
x
)
()3(2
x x
e e
e y x x
x
-+-=- x
x
e
x e x y 22
22
1)21()4(--+
+= x
x x y 2sin 3
1sin 3
1cos )5(+
-
-= x x x y 2cos 61sin cos 6
7)6(-+=
x
x e
e
y x
x
cos 10
3sin 10
12
15
1)7(2-
+
+-=-
)
cos (sin 4
1sin )8(x x x x x y -+
=
习题7－9（B ）
1．x
e
C e
C y x
x
2cos 10
12
1)
1(21+-
+=-
)2sin 2(cos 1614
1)
2(221x x x e
C C y x
-++
+=-
x
x e
C x C y x
sin 2
2
sin cos )3(21+
+
+= x
x
e
C x C e y ++
+=2
5sin)cos ()4(21
3
5ln 2)
5(ln 5
3
1)5(2
321--++
-+=-x
x
x
x e
C e
C y
x
x
e
x x x
e
x C C y 22
2
2214342)()6(+++++= 2．x x e
C e
C C y x
x
3
2)
1(2
33321-
+++=-
)
sin (cos 2
1)2
3sin
2
3cos
()2(32211x x x C x C e
e
C y x
x
-+
++=-
x
y y -=-''1.3
x
x
xe
e y y y 22.4-=-'-''
)sin (cos 2
1)(.5x
e x x x
f ++=
)
1(.62
2
t
m
k e k
g m t k
mg x ---
=
.)()3
22
419(
ln 10)2(;)()625(ln 10)1(.7s g
t s g
t +=
+=
习题7－10（A ）
1．x
C x C y 21)
1(+
=
3
1
21)ln ()2(x x C C y += x
x x C C x y 2
21ln )ln ()3(++=3
2
215
1)4(x
x
C x C y +
+
=
4
1)ln (ln
2
1)5(2
2
21+
++
+=x x x C x C y
)
sin(ln 2
1)]ln 3sin(
)ln 3cos(
[)6(21x x x C x C x y +
+=
习题7－10（B ）
1．x x
x
C x C y ln 1)
1(2
2
21+++=
x
x x x x
C x C y 3
2
2
22
1ln
6
1ln )2(+++=
2
321ln )3(-++=x
C x x C x C y
x
x x x x C x C x x C y ln 3)2(ln 2
1])sin(ln )cos(ln [)4(2
321+-+++=
.
22
2
=+y dt y
d
.11,
)(,0.
3arcsin 2arcsin 12
2
<<-+==--x e
C e
C x y y dt
y
d
x
x
x
e
x
e
e C C y )(.421+=
习题7－11（A ）
1．（1）（4） 2．（1）（3） 3．;
0)
1(=?x y
;12)2(+=?x y x
;)1()3(x
x a
a y -=?
;)11(l o g )4(x
y a x +
=?
;2
1sin
)2
1(cos 2)5(a x a y x +
=?
.4)6()
3(x y x =?
6．;5
123743,
54
3)
1(x
x x
x y A y +
-=+-=
;
)1(3
52
3
1,
)1(2
31)2(x
x
x x
x
x y A y -+
=-+=
;
)4(125
1615
225
1125
36,
)4(5225
1125
36)3(2
2
x
x x
x x
x y A x
x y -+
+
+
-
=-+++-
=
;272121234,
27214)4(x
x
x
x
x
x
y B A y ??
? ??-+?
?
?
??+=??
? ??-+?
??
??+=
;
3
sin
3
24
,
)3
sin
3
cos
(4)
5(x y x B x A y x
x x
x πππ=
+=
x
y x B x A y x
x x
x 4
cos
2)2(,
)4
sin
4
cos
()2()6(π
π
π
=+=
7．(II)
3
2)
2()32(0+
--
=x
t P P
《高等数学教程》第八章 无穷级数 习题参考答案
习题8－1
1.(1)
2
3
4
5
6
11111(1ln 2)
(1ln 3)(1ln 4)
(1ln 5)
(1ln 6)
+
+
+
+
++++++
(2)2345
111
11
55555-+
-
+-
(3)1
13135135713579
2242462468246810
??????????+
++++??????????
(4)
222
2
2
2
3
4
5
6
471013162
2
2
2
2
-
-
+
+
+
2.(1)
1(2)!
n ； (2)
1
(1)
21n n ---； (3)
2
246(2)
n
x n ?? ； (4)1
1(1)
n n n
-+-?
； (5)1
(0.001)n
3.(1)21
21(1)
n n n ∞
=-=-∑
；
(2)1
112
n
n ∞
==∑
；
(3)
1
[arctan arctan(1)]2
n n n π
∞
=--=
∑.
4. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 发散； (4) 收敛；
5. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 发散； (4) 发散； (5) 发散；
(6) 发散； (7) 收敛
6. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 发散； (4) 发散
习题8－2(A)
1. (1) 发散； (2) 发散； (3) 发散； (4) 收敛； (5) 发散； (6) 收敛
2. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 收敛
3. (1) 发散； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 收敛
4. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 发散； (5) 收敛； (6) 收敛； (7) 收敛； (8) 收敛
5.
习题8－2(B)
1.(1) 发散； (2) 收敛； (3)b a <时收敛，b a >时发散，b a =时不定
(4) 收敛； (5)01a <≤时发散，1a >时收敛； (6) 01a <<时收敛，1a ≥时发散； (7) 0a e <<时收敛，a e ≥时发散； (8)12
q >
时收敛，12
q ≤
时发散；
(9)收敛； (10)发散.
习题8－3(A)
(1) 绝对收敛； (2) 绝对收敛； (3)条件收敛； (4)发散； (5) 绝对收敛； (6) 绝对收敛
习题8－3(B)
1. (1) 绝对收敛； (2) 条件收敛； (3) 条件收敛；
(4) 01a <<时绝对收敛， 12a ≤<时条件收敛， 2a ≥时发散； (5) 绝对收敛；
(6) 当1a >时绝对收敛， 01a <<时发散， 1a =时条件收敛
习题8－4(A)
1. (1) 1, []1,1- (2) 1, []1,1- (3) 3, [3,3)- (4)
111,,222??-????
(5) 1, []1,1- (6) 0，1x =-；
(7) [－4, 6 ) (8) 2, [－2, 2]
(9)(1-+ 2. (1) []1,1-, arctan x ; (2) (1,1)-, 2
1(1)
x -
(3) []1,1-, (1)ln(1)x x x +--
习题8－4(B)
1. (1)3,(-3,3) (2)1
11
,(,)2
22- (3)
111,(,)e e e
-
(4)1,(1,1)- (5) m ax(,)c a b =，(,)c c - 2. (1) (1,1)-，
3
2(1)
x - (2) []21,1,2arctan ln(1)x x x -+
3. 22
2
2(2)
x
x +-，3；
4. 32
习题8－5 (A)
1.
n
n x x n x n ))(2
cos(!1000
-+∑
∞
=π; (,)-∞+∞
2. (1)21
1
(21)!
n n x
n -∞
=-∑
, (,)-∞+∞
(2) 1
1
1ln (1)
()n
n n x
a n a
∞
-=+-∑, (,];a a -
(3)
21
1
(2)
(1)
2(2)!n
n n x n ∞
-=-?∑ , (,)-∞+∞;
(4) ∑
∞
=--+
2
)
1()1(n n
n
n n x
x , (1,1]-;
(5) 1
21)
12(!!)2(!!)12(+∞
=∑
+-+n n x
n n n x , []1,1-;
(6) 1
21
2
)2()
!(!)2(2)
1(+∞
=∑
-+
n n n
x n n x , ]1,1(-;
高数部分知识点总结 1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法 0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0, 0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0, 1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。 (1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,, 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答, 案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加 f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，, f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了, 这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下 a f(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,a aaa f(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0 ,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利 aaa 奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。在处理完积分上下,,,,a,a0 限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》 由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用 E、(AB)C、以下这组逻辑公式来作模型:假如有逻辑推导公式A:,, DE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的(C::, 证明题，其中一个可以是这样的:条件给出A、B、D，求证F成立。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类:1.已知的逻辑推导公式太多，难以 E就从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A,可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同时存在，有的逻辑::,,,
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
大一高数知识点总结 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法解析法 即用解析式表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg,y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x
?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F=0给出的，如2x+y-3=0，e 可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮叫做y=f的反函数，记作x=fˉ1或y= fˉ1. 二、函数常见的性质 1、单调性 2、奇偶性=f；奇：关于y轴对称，f=-f.） 3、周期性
高等数学下册习题常见类型 题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2 由已知条件求平面与直线方程 题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4 求多元复合函数的偏导数 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数 题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分 例1、 求 2 421 2x dx dx +? ? 解：（将二次积分交换顺序） 12 212 2421 22211sin sin sin sin (1)sin cos1sin1 x D D y y D D y y dx dx dxdy dxdy y y y y dxdy dy dx y ydy y y πππππ+=+===-=-???????????U 题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分 题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积 题型24 计算对坐标的曲面积分
题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27一阶线性微分方程 题型29 可降阶方程 题型30二阶常系数非齐次线性方程 第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ===r r r ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹 角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ?== 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?= θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧ ?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
高数第一章知识点总结 希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是xx精心收集的，希望能对你有所帮助。 篇一： 高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点： 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判
断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一 . 数列函数 : 1. 类型 : (1) 数列 : * ; * (2) 初等函数 : (3) 分段函数 : * ; * ;* (4) 复合 ( 含) 函数 : (5) 隐式 ( 方程 ): (6) 参式 ( 数一 , 二 ): (7) 变限积分函数 : (8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ): 2. 特征 ( 几何 ): (1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 ) (2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ). 3. 反函数与直接函数 : 二 . 极限性质 : 1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含) 2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):
3. 未定型 : 4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性 三 . 常用结论 : , , , , , , , , 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当时 , ; ; ; ; ; ; ; 2. 泰勒公式 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 五 . 常规方法 :
前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换( 如 : ) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : ) 3. 处理 ( 其它如 : ) 4. 左右极限 ( 包括): (1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , , 5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与) (2) 幂指型处理 : ( 如 : ) (3) 含变限积分 ; (4) 不能用与不便用 7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : ( 分段函数 ) 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1) (2) 双边夹 : * , * (3) 单边挤 : * * * 2. 导数定义 ( 洛必达 ?):
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;
大一下高数下册知识 点
高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量线性运算 定理1：设向量a ≠0，则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使 b ＝λa 1、 线性运算：加减法、数乘； 2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ； 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 4、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式：2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)