初中数学标准教材
八年级数学：最简二次根式(教
案设计)
Mathematics is the door and key to science. Learning mathematics is a very
important measure to make yourself rational.
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八年级数学：最简二次根式(教案设计)
教学建议
1．教材分析
本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法．本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接．
(1)知识结构
(2)重难点分析
①本节的重点Ⅰ．概念
Ⅱ．利用二次根式的性质把二次根式化简为．
重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算．二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的．因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步．
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧．
难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用．化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方
数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题．熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力．
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断．因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧．
另外，化简运算在本节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中多要求学生观察二次根式的特点――根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析能力和观察能力――多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯．
2．教法建议
素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。因此教师设计教学时要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学中来。
⑴在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比较好的学生要用适当的方式给于表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的进入下一个环节。
⑵学生自主学习时段，教师要注意学生的反馈情况，根据学生的反馈情况和学生的层次采取适当的方式对需要帮助的学生给予帮助，中上等的学生可以启发，中等的学生可以与他探讨，偏后的学生可以帮他分析．
一．教学目标
1．了解的意义，并能作出准确判断．
2．能熟练地把二次根式化为．
3．了解把二次根式化为在实际问题中的应用．
4．进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能
最简二次根式教学设计示例3 一、教学目标1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．二、教学重点和难点1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．三、教学方法通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法．四、教学手段利用投影仪．五、教学过程(一)引入新课提出问题：如果一个正方形的面积是0。5m2，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？了．这样会给解决实际问题带来方便．(二)新课由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数．总结满足什么样的条件是最简二次根式．即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：1．被开方数的因数是整数，因式是整式．2．被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式．例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么．分析：说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式．例 2 把下列各式化成最简二次根式：说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．例3 把下列各式化简成最简二次根式：说明：1。引导学生观察例题3中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．2。要提问学生问题，通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件．通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况，并引导学生小结应该注意的问题．注意：①化简时，一般需要把被开方数分解因数或分解因式．②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母进行有理化．(三)小结1．满足什么条件的根式是最简二次根式．2．把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法．(四)练习
新修订小学阶段原创精品配套教材（数一数)教学设计教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 (Number one) instructional design 教师：风老师 风顺第二小学 编订：FoonShion教育
（数一数)教学设计 教学内容 北师大版二年级上册第一单元“数一数与乘法”第一课时“数一数”。 教材分析 本节课“数一数”是第一单元“数一数与乘法”的起始课，为体会学习乘法的必要性，理解乘法的意义奠定基础。学生经历从数数的问题中抽象出相同加数的连加算式的过程，体验这种相同加数的连加运算与生活的联系。 学生分析： 在教学设计前我设计了三个前测问题： 1、观察方阵图,让学生说说一共有多少个图形,你是怎么列式的,说说为什么这么列,我出示的是每排6个,有4列,通过调查孩子的列式有三种方法, （1）6+6+6+6= 4+4+4+4+4+4=(我横着看一行是6个,竖着看每行是4个) （2）只列出了6+6+6+6=(我横着看一行是6个)
（3）6+12+6=(第一行是6个,第二行和第三行一共是12个第三行是6个) 2、你知道乘法吗？并用自己的语言讲一讲。（知道乘法，但是说不清楚。） 3、会背诵乘法口诀吗？（共同的答案不会.） 通过前测，我发现学生在数物体的时候，不一定有序的按照排和列来数，所以在课的伊始，我想应该给学生一个空间，让他们自己感到应该有序的数，多角度的数。 我们班的学生思维活跃，课堂上经常有灵动的思维火花闪现。所以我在教学中努力为学生创设主动思考的空间，从而使学生积极主动地参与到知识的获取中。 教学目标 1、结合数数的具体情境,经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，以便进一步体会学习乘法的必要性。 2、会用两种不同的方法（一排一排或一列一列地）数方阵排列的物体的个数，相应列出两个不同的连加算式。 3、在具体情境中，体会生活中存在着大量的相同加数连加的问题，为学习乘法奠定基础。 教学重点：感受相同加数连加与日常生活的联系，体会学习乘法和必要性。 教学难点：用两种方法数方阵排列物体的个数，并列出
最新八年级下册数学--二次根式知识点整理 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根. 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如： -2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共 部分.如｛3、 分母≠0 4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号. ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 . （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件. （4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!. 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜-
错误!） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质：
7 二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 教学目标 【知识与技能】 1.了解二次根式及最简二次根式的概念. 2.会化简二次根式. 3.理解并掌握二次根式的性质. 【过程与方法】 经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力. 【情感、态度与价值观】 积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣. 教学重难点 【重点】 理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式. 【难点】 化简二次根式. 教学过程 一、知识回顾,引入新课 师:同学们还记得平方根的概念吗? 生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
师:什么叫做算术平方根呢? 生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根. 师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容. 二、讲授新课 师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗? ,,,,(其中b=24,c=25). 生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空: = ,×= ; = ,×= ; = ,×= ; = ,÷= . 学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证. = ,÷= . 师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗? 学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善. 师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即: (1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);
二年级数学上册教学设计、“长度单位厘米”教学设计 【教学内容】 数学（二年级上册）》第1～3页和练习一的第1～3题。 【教学目标】 1．通过动手实践，使学生意识到量物体应该用相同的工具来量。 2．认识尺子，初步建立1厘米的长度概念，会用厘米度量比较短的物体的长度。3．培养学生的估算意识和能力。 4．培养学生动手实践和合作学习的学习方法，并感受到生活中处处有数学。【教学过程】 一、感知量物体可以用相同的工具来量 导入：同学们，今天老师给你们带来了一些礼物，就放在盒子里面，想知道是什么吗？请把盒子打开，拿出来相互看一看，并说说你们看到了什么。 （学生打开盒子观察并进行交流） 1．用学具量同样长的边。 教师请学生挑出一件自己最喜欢的物体，摆一摆数学书的短边是几个物体的长。（学生动手操作，并汇报测量结果，同时用多媒体显示测量结果） 师：难道你们数学书的短边不一样长吗？请动手比一比。 （学生相互动手比数学课本并回答“一样长”） 师：一样长的边为什么测量的结果不一样呢？ 生：因为量书时用的东西有的长，有的短。 师：如果都用同样长的工具来测量，结果会怎样呢？请小组再用正方体摆一摆，数学书的短边是几个小正方体的长呢？ （学生动手操作并分小组汇报，使学生知道，如果都用同样的物体量书的短边，得到的结果相同。） 2．用学具量长度不同的边。 （电脑出示数学课本和文具盒这两幅图，并演示用曲别针测量书的短边，用小刀测量文具盒的长边。） 测量后教师问发现了什么（小刀比曲别针长，文具盒的边比书的边也长）。 师：如果把小刀换成曲别针，让我们来看一看会出现什么情况。
（多媒体演示用曲别针量文具盒的过程，让学生知道文具盒的长度比书的短边多用了6个曲别针。） 小结：我们通过动手实践和观察，知道了量物体应该用相同的工具。 3．实践活动。 （1）处理第2页“做一做”中的第1题。 （学生独立完成） （2）处理第2页“做一做”中的第2题。 （学生都用新铅笔量所想量的物体的长，可以自己量，也可以几人合作，最后相互交流并汇报测量结果。） （3）处理第2页“做一做”中的第3题。 （多媒体显示题目内容，说明题意，让学生估算，电脑验证。） 二、知道量物体的长度也可以用尺子来量 1．认识尺子。 师：刚才我们用铅笔来测量物体时，量了一次又一次，多麻烦呀。用什么去量比较方便呢？（尺子） 教师请学生拿出尺子看一看，能发现什么（数字、刻度线、cm），教师介绍刻度线和“cm”；并向学生说明“厘米”是一种长度单位。 2．认识长度单位“厘米”。 （1）认识1厘米有多长。 （电脑演示从0到1中间的长是1厘米） 师：你认为还有从哪个数字到哪个数字中间的长度也是1厘米呢？在你的尺子上找出1厘米给你的同桌看一看。 （小组活动） （2）感知厘米有多长。 ①测量棱长1厘米的小正方体的长。 ②感知1厘米有多长（教师带领学生用左手的拇指和食指轻轻夹住小正方体，右手慢慢把它拿走，告诉学生拇指与食指中间的空隙大约是1厘米，并让学生把它记在脑子里）。 ③闭上眼睛想想1厘米有多长。
人教版二年级数学下册教学设计 第一单元数据收集整理 单元教学内容： 义务教育教科书人教版数学最新教材二年级下册《数据收集整理》第2～6 页 单元教材分析： 本单元学生主要学习一些简单的统计图表知识。初步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，学会用简单的方法收集和整理数据，掌握统计数据的记录方法，并能根据统计图表的数据提出并回答简单的问题。使学生了解统计的意义和作用，初步了解统计的基本思想方法，认识统计的作用和意义，逐步形成统计观念，进而养成尊重事实、用数据说话的态度教学目标： 【知识技能】：使学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程能利用统计表的数据提出问题并回答问题。 【数学思考】：了解统计的意义，学会用简单的方法收集和整理数据。 【问题解决】：能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分 析 【情感态度】：通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点： 使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 教学难点： 使学生亲历统计的过程，在统计中发展数学思考，提高学生解决问题的能力。 课时安排：3 课时 1．数据收集整理............... 2 课时 2．练习..................... 1课时 教学设计： 第一课时：收集数据、认识简单的统计表 教学内容：教材第2页的例1 和练习一的第1、2小题教学目标： 1、让学生经历数据的收集、整理、分析和做出判断的过程，体会统计的必要性；
2、认识简单的统计表，能根据统计表回答一些简单的问题； 3、学会与他人合作，积累解决问题的经验，体会数学与生活的密切联系教学重点：学会收集数据，认识简单的统计表教学难点：能根据统计表回答一些简单的问题教学过程： 一、创设情境 引入新课师：同学们，新的学期开始了，学校要给同学们定做校服。有下面4 种颜色，出示例1 中的四种颜色，选哪种颜色合适呢？ 生：选大多数同学喜欢的颜色师：怎么知道哪种颜色是大多数同学最喜欢的呢？ 生：可以在全校的同学们中去调查一下生：全校学生有那么多，怎样调查呢？生：我觉得可以先在班里进行调查 生：还可以现在组内进行调查师：你们真聪明，你们刚才说的调查，其实也就是进行统计。 揭示课题：统计要统计出喜欢每种颜色的学生人数，首先要进行数据的收集过程。下面我们就一起来调查喜欢每种颜色的学生人数。 二、亲历统计过程体会收集数据的形式和过程 1、收集数据师：在这四种颜色中，你最喜欢哪种颜色？为什么？师：要想知道喜欢哪种颜色的同学最多？我们应该怎样调查呢？生：自由发言师：我们可以采用举手、起立、画"√" 、" ○"作记号等很多方式来收集数据，但是这些方式中举手既快速又简捷，下面我们就用举手的方式来进行调查，请听规则：每个人只能选一种颜色，每当老师说出一种颜色时。喜欢这种颜色的同学就举手，好吗？一个人能选两种颜色或不选吗？ 生：不能师：为什么？ 生：如果选一种以上就重复了，而不选又遗漏了。师：是呀，收集数据有很多不同的方式，但是无论采用哪种方式调查。都要做到不重复、不遗漏，也就是说你只能选择一次，那好。现在我们开始举手调查 2 、整理数据 师：刚才同学们已经通过举手这种方式选出了自己喜欢的颜色了。老师也知道了，但是负责定制校服的领导还不知道，那该怎么办呢？ 生: 自由发言 师：你们真会想办法，那我们现在再举一次手。在这张表中统计出喜欢每种颜色的人数，好吗？
二次根式知识点 一、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 二、最简二次根式：必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 三、同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 四、二次根式性质： 五、二次根式运算: 二次根式练习 一、选择题 １.22 x x x x =--成立的x 的取值范围是( ) A ． 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D ． 2x ≥ 2. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A ． 0.2b 1212a b -Ｃ22x y - 25ab
3.已知10182 22=++x x x x ,则ｘ等于（ ） Ａ.4 Ｂ．±２ C ．２ D.±4 4．下列说法正确的是( ). (A)被开方数相同的二次根式可以合并 （B)8与80可以合并 (C)只有根指数为2的根式才能合并?(D)2与50不能合并 5. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是( ) Ａ、x 25和x 3 Ｂ、2 375 b a 和a 12 C 、y x 2和2xy D 、a 和21 a 6. 已知ａ>b ＞0,a+b ＝6ab ，则 a b a b -+的值为（ ) A.22 Ｂ.2 C.2 D ．12 ７. 下列根式中,不能与 合并的是( ） ? ? ? A. B ． Ｃ. Ｄ. 8．下列运算正确的是( ) ? ?? ? A ． 5a ２+3a 2=8a ４? Ｂ. a 3?a 4＝a 1２ ?C ．(ａ＋2ｂ）２=a 2+4b ２ D.﹣ =﹣4 二、填空题 1. 在27,8,3 1 , 12,中，与3是同类二次根式的有 个。 ２. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12c ｍ2 , 则此边的高线长 。 3． 若()2 2340a b c -+-+-=，则=+-c b a 。 4. 若 =3﹣x ,则ｘ的取值范围是 ． 5． 1 1 m m -+有意义，则m 的取值范围是 6．已知411+=-+-y x x ,则x ｙ 的平方根为______。 7.已知ａ,b,c 为三角形的三边,则2 2 2 )()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 。 ８.若菱形的两条对角线长分别为)2352(+和)2352(-则此菱形的面积为______.
最简二次根式的教学设计 关于最简二次根式的教学设计 教学目的 1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式； 2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。 教学重点 最简二次根式的定义。 教学难点 一个二次根式化成最简二次根式的方法。 教学过程 一、复习引入 1．把下列各根式化简，并说出化简的根据： 2．引导学生观察考虑： 化简前后的根式，被开方数有什么不同？ 化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。 3．启发学生回答： 二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？
二、讲解新课 1．总结学生回答的.内容后，给出最简二次根式定义： 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。 2．练习： 下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：3．例题： 例1把下列各式化成最简二次根式： 例2把下列各式化成最简二次根式： 4．总结 把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？ 当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。 当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。 此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二年级趣味数学活动设计 快乐运算 青岛华侨国际小学袁蓉蓉 活动目标： 1、通过独立思考，初步培养学生的逻辑维能力。 2、通过有趣的数学题，引起学生对数学的兴趣，开发学生智 力、提高学生探究问题的积极性，从而提高学生的逻辑思考能力。 3、学生通过练习掌握一定的数学方法，并体验到学习数学的 乐趣。 活动重点与难点： 通过解答例题引导学生思维方向，让学生学会善于思考。 活动过程： 一、数学故事： 师：今天，老师给同学们带来一个非常有趣的故事，大家想听吗？生：想？！ 出示《小狐狸的故事》：从前，山上住着一只粗心的小狐狸。这一天，妈妈让它背着8块马铃薯到外婆家去。一接到这个任务，小狐狸高兴得一蹦三尺高，马上背起马铃薯出发了。一路上，它哼着歌往前走。可是，走着走着，小狐狸觉得有点不对劲，怎么越背越轻了。它赶紧停下脚步，打开袋子一看，怎么只剩下3块
马铃薯了？原来，小狐狸背的袋子破了一个洞，马铃薯就从这个破洞掉下去的。后来，小狐狸到了外婆家。小朋友，你能猜猜看，小狐狸可能背了几块马铃薯到外婆家呢？ 生：0块，小狐狸很粗心继续往前走，马铃薯都丢光了。 生：3块，小狐狸绑好破洞，带着剩下的马铃薯到了外婆家。生：8块，小狐狸绑好了破洞，又回去捡丢掉的5块马铃薯。生：6块，小狐狸捡回3块，还有2块被小兔捡走了。 生：5块，小狐狸在路上碰到一只饿了的小狗，就送给它3块。师：刚才几个同学说的都有道理，其实如果从不同角度去想，用多种角度去思考问题，还可以说出更多、更精彩的原因。同学们，你们认为像这样从多种角度来想问题，有趣吗？ 师：这节课就让我们都来开动脑筋，从多种角度去想问题（板书课题）
一、选择题 1．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 3 1；⑵ 3 -；⑶ 1 2+-x ；⑷ 3 8 ；⑸ 2 3 1)(-； ⑹ )(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．当2 2 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 3、已知 2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－ 3 （D ）－3≤x ≤0 4．对于二次根式9 2+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值 是3
5．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 2 1 D ． b b 2 6．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是 （ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0 ≥b a 7．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．2 3a B ．3 1 C ．153 D ．143 8． 计 算 ： ab ab b a 1?÷等于 （ ） A ．ab ab 2 1 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 9、若x ＜y ＜0，则2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
10、若0＜x ＜1，则 4 )1 (2+-x x － 4 )1 (2-+x x 等 于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－ x 2 （C ）－2x （D ）2x 11． 化 简 a a 3-( a ＜0 ) 得 ……………………………………………………………… （ ） （A ）a - （B ）－ a （C ）－a - （D ） a 12．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2 )(b a + （B ）－ 2 )(b a - （C ） 2)(b a -+- （D ）2 )(b a --- 二、填空题 11．当x___________时，x 43-在实数范围内有意 义． 12．比较大小：23-______32 -． 13、把y x x 823 化为最简二次根式得______________。 14、若 2 a =－a,则实数a_________ 15、已知最简二次根式2 -+b a 和b a -2能够合并， 则a-b=
课型: 新授课 上课时间： 课时： 1 学习内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 学习目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 学习过程 一、 自主学习 （一）复习引入 1．计算（1）35== ，（2）3227==，（3）82a == 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，?那么它们的 传播半径的比是_________． （二）、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 1 222Rh Rh ==1211222 22h h Rh h Rh h ==. 例 1．化简：(1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 23 8x y == == == 例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长． 二、巩固练习 教材练习 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21) ?--=-+-=2-1， 132+=1(32)3232(32)(32) ?--=-+-=3-2， 同理可得：143 +=4-3，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 121++132++143++……120022001+）（2002+1）的值． == 2、归纳小结 （1）．重点：最简二次根式的运用． （2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 四、课堂检测 （一）、选择题 1．将x y （y>0）化为最简二次根式是（ ）． A ．x y （y>0） B ．xy （y>0） C ．xy y （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-111 a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A 1a -1a -．1a -．1a - 33227 -的结果是（ ） A ．-23 B ．3 C ．-63 D ．2 二、填空题 1422x x y +．（x ≥0） 2．21a a +- 化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提高题
八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x
一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159
二年级数学下册教学进度
教学计划 一、本学期教学的指导思想 1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。 二、教材分析 本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。 三、教学目标: 1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。 4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。
7、通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。 四、情感态度: 1、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作和创新精神。 2、培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。 4、让学生在学习中体验到成功的喜悦，增强学生学好数学家的信心。 5、使学生在解决实际问题的过程中，培养学习兴趣和敢于探索的科学精神。训练学生养成认真审题，仔细验算的良好习惯。 6、进一步学习用具体的数学描述生活中的事物，经历与他人交流活动，培养学习数学的兴趣和自信心。 五、教学措施: 1、从整体上把握教学目标。不光凭经验，过去看样提，现在也怎样提；也不能搬课本，凡是课本上有的内容，都不作统一的教学要求，而应该根据教学指导纲要，结合教学进行适当的调整。 2、要尊重学生，注重学法渗透。在学习中，不包办代替和以讲代学，把课堂中更多的时间留给学生探索，交流和练习。 3、注意培养学生的数学概括能力和逻辑思维能力。重视学生获取知识的思维过程。 4、注重培养学生的计算能力和解答应用题的能力。鼓励学生动用所学的知识解答日常生活和学习中的简单实际问题。激发学生的兴趣，培养学以致用的意识。 5、注意教学的开放性，培养学生的创新意识和实践能力。课本中的一些例题和习题的编排突出思考过程。在教学时，引导学生暴露思维过程，鼓励学生多角度思考问题。 6、渗透德育，注重培养学生良好的学习习惯和独立思考克服困难的精神。
16.2.2二次根式的除法教案【教学目标】 1.知识与技能 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 2.过程与方法 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 【教学难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法规定。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确运用二次根式的乘法法则进行计算吧。 课件展示题目。 【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。 带领学生复习，进行计算。 二、新课教学 1．二次根式的除法 【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用
同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。 课本P6探究内容。 【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？ （学生讨论回答） 【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则： 一般地，对二次根式的除法规定为 【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。 【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。 课本例4。 【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。 根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。 课本例5。 【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。 （1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母； （2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。 【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个 根式， 3 10 ，35，22，23，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当 中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？ 最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【练习】课件展示练习题，学生快速回答。 【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。 课本例6。 【过渡】从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就需要想办法去满足。这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。
二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ）
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：
教案示例一 教学目标： 1．创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 2．让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 3．要注意课堂气氛，组织好活动，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 教学难点：让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 教学过程： 活动一：放筷子 1．我们每个小组都是一个小小家庭，每张桌子上都有一个圆片当碗，小棒当筷子，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算算一共有几根筷子？ 2．两组合并组织一个新家庭，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算一下一共有几根筷子？ 3．填一填． 活动二：探索2的乘法口诀 （黑板上竖放着主题图，对应着9道整齐的乘法算式．） 师：刚才，我们根据放筷子活动整理出了这9个乘法算式．看着这些算式，你有什么想法？ 生：他们的得数很有趣，我很想记熟这些得数． 师：你能连算式也记住吗？ 生：（摇摇头）那就难多了． 师：好，咱们一起来解决这个问题吧．自己先动脑想一想，然后各小组商量商量，看谁有好 办法记住这些算式和得数．
（各小组认真讨论） 生1：多读一读，读的遍数多了就记住了． （学生议论：太费劲，太麻烦．） 生2：想着图来记．．．．．．． 生3：根据乘法的意义来记．一个二等于二，二个二等于四，三个二等于六．．．．．． 师：如果说的简单一点呢？ 生4：可以说成：想5的乘法口诀．．．．．．这样记，我们觉得挺方便．．．．．．． 师：大家的讨论很精彩，我也很受启发．现在提个建议供给大家研究：一二得二，二二得四，二三得六 …… 活动三：对口令（15页练习1题） 1．我说二三、谁跟我对：生:得六 2．二九十八谁跟我对乘法算式：2×9＝18 或9×2＝18 3．师生对练同伴对练小组选代表对练 男女生对练 活动四：比一比谁画圈画得最快．（15页练习2题） 1．生独立完成． 2．小组交流你是怎么想的？为什么这样填写． 3．观察我们圈出的数有什么特点？ 注意：可以告诉学生圈出的数都是双数，其余都是单数． 活动五：看图列式（15页练习5题） 1．学生独立完成． 2．与小组交流你是怎么想的？为什么这样填写．
人教版初中数学八年级下册二次根式 二次根式(A 卷) 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列各式中，是二次根式的为（ ） A ．π B ．12 C D 2．下列判断正确的是（ ） A ．带根号的式子一定是二次根式; B 一定是二次根式 C ; D ．二次根式的值必定是无理数 3 ） A ．x 是非负数 B ．x 是实数 C ．x 是正实数 D ．x 是不等于零的实数 4．当x=5时，在实数范围内没有意义的式子是（ ） A B 52=a-1成立的条件是（ ） A ．a<1 B ．a ≠1 C ．a ≥1 D ．a ≤1 6有意义的实数x 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 二、填空题（每题3分，共12分） 7．________． 8．当______时，代数式 2x -有意义． 9．计算：（）2=______，（）2=________． 10．把919 写成一个正数的平方形式是________． 三、计算题（8分） 11．（）2）2-）0． 四、解答题（每题11分，共22分） 12．若0 13．已知，求（xy-64）2的算术平方根． 参考答案 一、 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 二、7．a≤3 2 8．x≥1且x≠2 9．175；4x 10．2 三、11．解：原式=32）2+8-1=9×2-9+8-1=16． 四、12．解：原式=│x│+（1-x）-│x-1│-1， 13．解：依题意，得 70, 70. x x -≥ ? ? -≥ ? 解得7≤x≤7， 所以x=7．代入解得x=9． ． 第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材任务分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念； 2.探索二次根式的性质； 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结. 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7， 121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开 方数．强调条件：0≥a 0≥，也就是说二次根式具有双重非负性. 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?=?， b a b a =． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ； 94 ＝ ，9 4＝ ； ＝ ，＝ ． （2）用计算器计算： 76?＝ ，76?＝ ；76 ＝ ，7 6＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：你发现了什么规律，能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0， b ＞0）． 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积； 商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根. 说明：（1）公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不 ≠≠； （2= （3）≠，也就是说遇见带分数，必须先化成假分数，即二次根式1教学设计
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